2027届新高考数学热点精准复习椭圆

2027届新高考数学热点精准复习椭圆1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解椭圆的简单应用.课标要求1.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做______.这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的______，焦距的一半称为半焦距.(2)其数学表达式:集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数:①若______，则集合P为椭圆;②若______，则集合P为线段;③若______，则集合P为空集.椭圆焦点焦距a>ca=ca<c2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形标准方程性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为______;短轴B1B2的长为______焦距|F1F2|=______离心率a,b,c的关系c2=____________2a2b2c(0,1)a2-b2常用结论与微点提醒1.如图所示，P为椭圆上的动点，设∠F1PF2＝θ，则:

常用结论与微点提醒

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(

)(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(

)

诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编××

√√

14根据椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，又a2＝100，即a＝10，所以6＋|PF2|＝20，故|PF2|＝14.3.(湘教选修一P126T3改编)若直线l:x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为____________.

例1(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(

)A考点一椭圆的定义及应用连接QA(图略).由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.故选A.A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆

B

感悟提升椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有:判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等;(2)与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系.

B

A考点二椭圆的标准方程∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，

B

感悟提升

B

考点三椭圆的几何性质

如图，取CF的中点Q，连接OQ，

A

(3)已知F1是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF1|的最大值为____________，最小值为____________.

感悟提升

感悟提升2.利用椭圆几何性质求值域或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.(3)利用定义实现距离的转化，利用三点共线关系求距离和、差的最值问题.

C

20如图，设F1为椭圆C的左焦点，则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0，所以△ABF周长的最大值为20.

蒙日圆拓展视野

ACD

A

C当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.

C如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，

A

4.已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点P到椭圆中心O的距离的取值范围是(

)A.[4，5] B.[6，8]C.[6，10] D.[8，10]A

C记圆x2＋y2＋4x＝0为圆C1，其半径为r1，圆x2＋y2－4x－60＝0为圆C2，其半径为r2，则圆C1的标准方程为(x＋2)2＋y2＝4，圆C2的标准方程为(x－2)2＋y2＝64，所以C1(－2，0)，r1＝2，C2(2，0)，r2＝8.

D

B如图，设椭圆C的左焦点为F1(－1，0)，

ACD

ACD

三、填空题10.若椭圆的焦点在x轴上且经过点(－4，0)，焦距为6，则该椭圆的标准方程为________________.

根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.

由点P，Q是C上位于