2026年高考数学终极冲刺：题号猜押04 全国卷高考数学第9~10题（多选题）（原卷版及参考答案）

1/7题号猜押04全国卷高考数学第9~10题（多选题）溯源年份卷别第9题第10题2025Ⅰ卷正三棱柱（线面平行、垂直、线线角）抛物线（焦点弦、切线、垂线）2025Ⅱ卷等比数列（前n项和性质、基本量）奇函数性质（解析式、极值、不等式）2024Ⅰ卷正态分布（3σ原则、概率比较）三次函数（极值点、切线、对称中心）2024Ⅱ卷三角函数（零点、最值、周期、对称轴）抛物线（切线、焦点弦、轨迹）2023Ⅰ卷统计（平均数、中位数、标准差、极差）声压级（对数运算、不等式比较）2023Ⅱ卷圆锥（体积、侧面积、二面角、三角形面积）抛物线（焦点弦、准线、圆相切）2022Ⅰ卷正方体（线线角、线面角）三次函数（极值点、零点、对称中心、切线）2022Ⅱ卷三角函数（单调性、极值点、对称轴、切线）抛物线（焦点弦、向量共线、面积、角）2021Ⅰ卷统计（样本数字特征线性变换）向量（模长、数量积、三角恒等变换）2021Ⅱ卷统计（离散程度：标准差、极差）正方体（线线垂直）近5年T9、T10作为多选题前两题，考点分布呈现“一轮换、一稳定”的特点。统计概率在T9位置高度稳定，近5年出现4次，侧重样本数字特征、正态分布、独立性检验；立体几何在T9或T10出现5次，以正方体、正三棱柱为载体，考查线面位置关系、空间角、体积；圆锥曲线（抛物线为主）在T10出现4次，侧重焦点弦、切线、几何性质；函数与导数（三次函数）在T10出现3次，考查极值、零点、对称中心、切线。三角函数的图象与性质、数列等比性质偶有出现。整体难度中档，注重概念辨析与几何直观。预测2026年T9大概率仍为统计与概率，侧重正态分布3σ原则、样本数字特征（平均数、中位数、标准差、极差）的综合判断，或独立性检验、条件概率的基本应用。T10可能在立体几何（空间位置关系与夹角、截面问题）与圆锥曲线（抛物线焦点弦、双曲线渐近线、椭圆离心率）之间轮换，其中立体几何考查线面垂直、面面平行的判定与空间角计算的可能性较大。三次函数作为备选，若出现在T10，则极可能与导数结合考查性质综合。备考核心主攻统计概率，熟练掌握正态分布的对称性与3σ区间，理解样本数字特征的线性变换性质，能准确计算古典概型与二项分布概率；强化立体几何，掌握正方体、正三棱柱中线面位置关系的判定方法，能用向量法或几何法求异面直线角、线面角、二面角；突破圆锥曲线，熟悉抛物线焦点弦性质（焦点弦长公式、以焦点弦为直径的圆与准线相切），理解双曲线渐近线与离心率的关系；关注三次函数，理解其图象特征（对称中心为拐点），掌握极值点、零点个数的判断方法。限时训练，每道题控制在3~4分钟，注意多选题“选全得满分，部分选对得部分分”的得分策略，不确定的选项谨慎选择。考点1统计与概率（2026·浙江宁波·二模）下列说法中正确的是（

）A．一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为4B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过D．若随机变量服从正态分布，且，则（2026·湖北襄阳·一模）下列说法正确的有（

）A．若事件A与事件B相互独立，，，则B．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为8C．一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥D．1，2，3，，2024，2025，2026这2026个数的上四分位数是507（2026·湖南长沙·模拟预测）下列结论正确的是（

）A．样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60C．若随机变量服从二项分布，则D．若随机变量服从正态分布，且，则（2026·辽宁辽阳·一模）下列说法正确的是（

）A．若随机变量X服从正态分布，则B．若随机变量X服从二项分布，则，C．线性回归直线不一定过样本中心点D．设两个随机变量的线性相关系数为r，若越接近于1，则这两个随机变量的线性相关性越强（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）一组数据的极差为4，平均数为3，方差为2，若，则（

）A．的第80百分位数为B．的极差为8C．的平均数为7D．的方差为4（2026·浙江·模拟预测）已知随机变量，且，（），则（

）A． B．C． D．（）（2026·陕西咸阳·二模）某种水果成熟后重量为200g左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出10个水果，称得重量如下：206，200，198，205，200，200，202，190，192，210（单位：g），重量在内的水果为优质水果，则（

）A．这10个数据的极差小于10B．这10个数据的中位数与众数相等C．从这10个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变小D．估计这块水果园中优质水果占60%（2026·四川内江·二模）下列说法正确的有（

）A．若事件，相互独立，则B．若事件，相互独立，则C．若随机变量，则D．若随机变量，且，则（2026·四川成都·二模）任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（

）A．B．事件，，两两独立C．当事件时，D．当事件时，满足条件的事件有3个（2026·甘肃兰州·一模）某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查.根据以上信息，下列说法正确的是（

）A．艺术社的学生人数有120人B．文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人C．从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为D．调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81（2026·宁夏银川·一模）某市气象部门对本市的温度（单位：℃）与相对湿度进行研究，记录了五组数据如表所示：温度2825221916相对湿度4148626570已知与线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为，则（

）A．与负相关B．经验回归直线一定经过点C．当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2%D．样本相关系数（2026·四川绵阳·模拟预测）设，分别为随机事件的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有（

）A．B．若，则C．D．（2026·重庆·一模）（多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：疗法疗效未治愈治愈甲1552乙663附常用小概率值及其相应的临界值表为：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828计算得．则下列说法正确的是：（

）A．以频率估计概率，有B．以频率估计概率，有C．若取，可以认为疗效与疗法独立D．若取，可以认为疗效与疗法独立（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，这是某校写作兴趣小组25名同学暑假的课外阅读量（单位：本）的折线统计图，则（

）A．这25名同学暑假的课外阅读量的众数是4本B．这25名同学暑假的课外阅读量的中位数是5本C．这25名同学暑假的课外阅读量的平均数是4.4本D．这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本（2026·湖北孝感·二模）春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（

）A．小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为B．小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小C．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为D．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为考点2立体几何（2026·江西九江·一模）如图，正方体中，点分别为的中点，则（

）A． B．平面C． D．平面（2026·广东深圳·一模）在正三棱台中，为的中点，则（

）A． B．平面C． D．平面（2026·河南·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，分别是，，的中点，则（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面（2026·江西南昌·一模）在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（

）A．平面 B．平面平面C． D．平面（25-26高三下·河南·开学考试）如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（

）A．圆柱的侧面积为 B．三棱锥的体积为C．圆柱的外接球的表面积为 D．平面（2026·山东德州·一模）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，则（

）A．异面直线与所成角的大小为B．直线与平面所成角的正弦值为C．平面D．四面体的体积为（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知正六棱锥的底面边长为2，高为3，则该正六棱锥的（

）A．侧面积为 B．表面积为C．体积为 D．外接球的表面积为（2026·山东枣庄·一模）在正方体中，若点为底面的中心，则（

）A．平面 B．C．与所成的角为 D．与平面所成的角的正切值为（25-26高三上·河南漯河·期末）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上任意两点，且的长为定值.则下列四个值中必为定值的是（

）A．的面积B．三棱锥的体积C．直线与平面所成的角D．二面角的大小（2026·广东佛山·一模）已知正方体的棱长为2，为的中点，为上的动点，则下列说法正确的是（

）A． B．平面C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥的体积为定值（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知正三棱柱的各棱长均为2，分别为棱，的中点，为上底面内一动点（包括边界），则（

）A．B．平面C．平面D．三棱锥的体积为定值（2026·重庆·一模）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（

）A．B．点到直线的距离为C．直线与直线所成角的余弦值为D．直线与直线是异面直线（2026·湖北黄石·一模）如图，在正方体中，记各面的对角线为它的面对角线，为它的体对角线.设分别为的中点，则（

）A．存在面对角线与平面平行B．存在面对角线与平面垂直C．存在体对角线与平面平行D．存在体对角线与平面垂直（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（

）A．圆锥的侧面积为B．三棱锥体积的最大值为C．的取值范围是D．若，为线段上的动点，则的最小值为（2026·四川内江·二模）在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（

）A．点的轨迹经过线段的中点B．点的轨迹长度为C．三棱锥的体积为定值D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为考点3圆锥曲线（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为，以为圆心，为半径得到圆，圆上有一点．过点的直线与交于两点，与圆另交于点，则（

）A．B．当时，的横坐标为C．当时，D．（2026·黑龙江·一模）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（

）A．若，则点P的坐标为B．若，则的最小值为6C．若，则的最小值为D．若，则的最大值为（2026·山西运城·一模）已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（

）A．圆与直线相切 B．圆的面积的最小值是C．的最大值是 D．存在点，使得（2026·山西朔州·一模）已知抛物线：的焦点为，点在上，且，则（

）A．B．C．直线与轴有公共点D．的面积为4（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，O为坐标原点，则（

）A． B．C． D．点F到直线OM的距离为（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知点在圆：上，，为坐标原点，动点满足：在中，.则（

）A．的轨迹方程为： B．的最小值为2C．的最小值是 D．的最大值为（2026·山东济宁·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（

）A．的离心率为B．C．的最小值为-9D．若以实轴为直径的圆与相切，则（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（

）A．的周长是B．时，的面积是C．的最大值是2D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆与双曲线的左、右两焦点，重合，则下列正确的有（

）A．当时，M的虚轴长为B．当时，C与M的离心率之积为C．当时，过作与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，则D．当时，若点P为C与M的其中一个交点，则的面积为（2026·辽宁抚顺·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点作垂直于的直线交于两点，则（

）A．的离心率为 B．的短轴长为C．为等边三角形 D．为等边三角形考点4函数与导数（25-26高三上·河北·期末）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（

）A． B．C．的极小值点为1 D．的极大值点为（2026·陕西渭南·一模）设函数，则（

）A．点是图像的对称中心B．当时，函数有三个零点C．当时，直线不是曲线的切线D．若有三个不同的零点，则（2026·河北·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（）A．为偶函数 B．为的导函数的极大值点C．是函数的极值点 D．函数的零点个数为1（2026·江西·一模）已知函数有两个极值点.设，点为曲线上一点，则（

）A．B．若直线的倾斜角为，则C．有最值D．若存在使得，则（2026·安徽宿州·一模）设函数，则（

）A．在处的切线方程为 B．是的极大值点C．当时， D．（2026·浙江·模拟预测）已知，则下列正确的是（

）A．直线为的切线B．若，则C．若在上单调递增，则D．设为曲线在处的两条切线，若，则（2026·福建福州·模拟预测）设函数，则下列说法中正确的有（

）A．函数是奇函数B．在区间上单调递增C．直线，与曲线的公共点个数不相等D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点（2026·河北唐山·一模）若函数与函数的图象关于y轴对称，则（

）A．与有相同的零点 B．为偶函数C．与有相同的极值点 D．对任意的，都有（25-26高三下·安徽·月考）设函数，则（

）A．曲线切线斜率的最小值为B．的图象关于点对称C．是的充要条件D．是的充要条件（25-26高三上·云南普洱·期末）已知函数，则（

）A．函数在上单调递减B．曲线在点处的切线方程为C．恒成立D．恒成立考点5三角函数（2026·广东·一模）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有（

）A． B． C． D．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．B．在上单调递增C．若，则的最小值为D．若，则的最小值为（2026·江苏·一模）已知函数，则（

）A．是偶函数B．的最小正周期为C．在区间上单调递增D．的图象关于点对称（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（

）A．B．函数的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象D．若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是（2026·河北邯郸·一模）已知函数，则（

）A．是奇函数 B．的最小正周期为C．在上单调递增 D．的值域为（2026·山东德州·一模）函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为（2026·湖北黄石·一模）已知函数，则下列命题正确的有（

）A．函数的图象关于点对称B．函数的最大值是2C．若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则D．是函数的单调递减区间（2026·河南开封·模拟预测）对于函数和函数，则下列正确的有（

）A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的零点C．在区间上单调递增 D．与的图象有相同的对称轴（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（

）A．B．C．D．在上单调递增（2026·山西朔州·一模）已知，则（

）A．是偶函数B．的图象关于直线对称C．的值域为D．当在有2个不同实根时，的取值范围是1．（2026·云南·模拟预测）已知，，是空间内三条不同的直线，，是空间内两个不同的平面，下列说法不正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则“”是“，且”的充分不必要条件2．（2026·山东威海·一模）在正方体中，P，Q，R分别是的中点，则（

）A． B．平面C．平面平面 D．平面3．（2026·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（

）A．样本相关系数越大，则线性相关性越强B．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15C．随机变量的方差，期望，则D．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.84．（2026·江苏镇江·一模）在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.9，若去掉一个最高分和一个最低分，则（

）A．这组分值的极差变小 B．这组分值的均值变大C．这组分值的方差变小 D．这组分值的第75百分位数不变5．（2026·江苏扬州·一模）一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（

）A．极差变小 B．平均数变大C．方差变小 D．第25百分位数变小6．（2026·四川成都·二模）设随机变量X的分布列为X12Pp其中．若，则一定正确的是（

）A． B． C． D．7．（2026·广东广州·二模）为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.成绩/分929395969899100人数5781413下列结论正确的是（

）A．众数为99 B．极差为9C．分位数为96 D．平均数大于中位数8．（2026·河南许昌·模拟预测）下列结论正确的是（

）A．的展开式中的系数为B．一组数据2，4，6，5，，4，3的中位数一定是4C．一组数据的线性回归方程为，若，则D．对随机事件，，若，，则事件与相互独立9．（2026·重庆·模拟预测）已知，为两个随机事件，，分别表示，的对立事件，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，相互独立，则D．若，则10．（2026·山东菏泽·模拟预测）下列结论正确的是（

）A．若随机变量，且，则B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好C．对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为－0.8728，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.511．（25-26高二上·广东江门·期末）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（

）A．B．双曲线的离心率为2C．双曲线的渐近线方程为D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或1412．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点.分别作抛物线在两点处的切线，两切线交于点为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．若过焦点，则最小值为4B．若过焦点，则一定为直角三角形C．若中点的横坐标为4，则最大值为12D．若点在直线上，则13．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过且斜率为的直线交于两点，则（

）A．B．C．D．当时，14．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知圆，抛物线的焦点为F，P为E上一动点，当P运动到点时，，直线l与E相交于A，B两点，则（

）A．B．若，则直线PF与圆C相切C．若M为C上一点，则的最小值为1D．存在直线l，使得A，B两点关于对称15．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数，是的一个极值点，则（

）A．B．的图像在点处的切线方程为C．若方程有一个解，则D．16．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）设函数，其中.则下列说法正确的是（

）A．可能为奇函数B．既有极大值也有极小值C．若恒成立，则D．若是方程的两个不同实根，且，则17．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正三棱锥中，，D是中点，E是中点，点F，G满足，，直线DF，GE相交于H，下列说法正确的是（

）A． B．C．与是共线向量 D．18．（2026·江苏·一模）已知函数，，则下列结论正确的有（

）A．曲线与曲线存在相同的对称中心B．曲线与曲线存在相同的对称轴C．曲线向左平移个单位得到曲线D．曲线与曲线关于轴对称19．（2026·黑龙江·一模）已知函数，下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．的一条对称轴为C．在区间内单调递增D．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称20．（2026·安徽安庆·一模）已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心的坐标可能为（

）A． B． C． D．21．（2026·河北衡水·一模）若函数（）在内存在唯一的，使得，则的取值可能为（

）A． B．1 C． D．322．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（

）A．三棱锥的体积是定值B．存在点P，使得与所成的角为C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D．存在点P，使得平面23．（2026·江西·模拟预测）已知椭圆上存在一点P，使椭圆C在点P处的切线l与直线所成角的大小是，点Q是切线l上的动点，，为椭圆C的焦点，则下列说法正确的是（

）A．的面积为2B．椭圆C的离心率C．D．24．（2026·四川·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（

）A．l的方程为 B．为正三角形C． D．的面积为25．（25-26高三下·甘肃白银·月考）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（

）A．椭圆的焦距为 B．的最小值为C．（为原点）是定值 D．的最大值为

题号猜押04全国卷高考数学第9~10题（多选题）参考答案押题预测考点1统计与概率1．【答案】BD【详解】选项A：第百分位数位置为，故取5，第百分位数是第5个数5，故A错误；选项B：样本相关系数的绝对值越接近1，代表两个随机变量的线性相关程度越强，故B正确；选项C：独立性检验中，在的显著水平下，无法判断与有关联，故C错误；选项D：正态分布关于均值对称，，已知，则，由对称性可知，，故D正确．2．【答案】AC【分析】运用独立事件概率公式、方差性质、互斥事件定义和百分位数计算方法，来判断各说法的正确性.【详解】选项A：事件与相互独立，则，又，，则，选项A正确；选项B：设原数据的方差为，新数据为，因为（为常数），则，选项B错误；选项C：记“至少有一个红球”为事件，“两个球颜色相同”为事件：事件的样本点：(红,黑)、(红,白)、(黑,红)、(白,红)；事件的样本点：(黑,黑)、(白,白)；事件与无公共样本点，不可能同时发生，故与互斥，选项C正确；选项D：对于个按从小到大排列的数据，上四分位数的位置为：，根据百分位数定义，位置为小数时，取第个数作为上四分位数，而非，因此选项D错误.3．【答案】BCD【分析】对于A，根据百分位数的求解步骤求解；对于B，由方差可得这组数的均值，据此得到总和即可；对于C，根据二项分布求出，再利用方差的线性关系计算即可；对于D，根据正态分布的对称性计算概率即可．【详解】对于A，样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23共10个数，从小到大排列为12，13，15，18，19，21，23，24，26，27，由于，故第70百分位数为第7和第8个数的平均数，即，故A错误；对于B，由方差的公式可知，这组样本数据的平均数是6，这组样本数据的总和为，故B正确；对于C，易得，则，故C正确；对于D，若服从正态分布，则，故D正确．4．【答案】ABD【分析】根据正态分布性质可判断选项A，根据二项分布的特征可判断选项B，根据回归直线性质可判断选项C，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项D.【详解】对于A，对于，根据正态分布的图像知对称轴为，所以可得，故A正确；对于B，的期望和方差公式就是，，故B正确；对于C，线性回归直线一定过样本中心点，故C错误；对于D，若越接近，两个随机变量的线性相关性越强，越接近，线性相关性越弱，故D正确.5．【答案】BC【详解】数据的大小不确定，所以第80百分位数不能确定，故A错误；数据的极差为4，即.由，可知，，，故B正确；由数据的平均数为3，，得数据的平均数为，故C正确；由数据的方差为，由，得数据,的方差为，故D错误.6．【答案】BC【分析】利用正态分布曲线的对称性逐一判断即可.【详解】对于A，因为，所以，故A错误；对于B，因为，则，则，即，故B正确；对于C，因为，而，故，故C正确；对于D，因为，所以，又，所以，故D错误.故选：BC.7．【答案】BCD【详解】把这组数据从小到大排列为190，192，198，200，200，200，202，205，206，210，则这组数据的极差为20，A选项错误；众数与中位数都是200，B选项正确；去掉最重的与最轻的，数据在区间内，差距小了，方差变小了，C选项正确；10个水果中有6个重量在内，优质率为60%，D选项正确.8．【答案】BC【详解】对于A，若事件，相互独立，则，而的值不确定，故A错误；对于B，若事件，相互独立，则，故B正确；对于C，由，则，即，故C正确；对于D，由，则，而，则，所以，故D错误.9．【答案】AC【分析】根据概率定义和独立性条件，分别计算验证AC即可，对于B，，故事件，不相互独立，故B错误，对于D，事件的样本点包含1不包含5，所以满足条件的事件有4个，故D错误.【详解】对于A，由题意得，故A正确；对于B，由题意得，，，所以事件，不相互独立，故B错误；对于C，当时，，解得，故C正确；对于D，当时，，解得，即事件包含4个样本点，并且必包含1，不包含5，再从剩下的2，3，4，6中选3个，所以满足条件的事件分别是，共4个，故D错误.10．【答案】ABD【详解】对于A，因为文学社有60人占比为，所以五类社团总人数为人，辩论社有90人，占比应为，所以体育社和艺术社共占比为，又因为体育社和艺术社的人数相等，所以两社团分别占比为，可知艺术社的学生人数有人，即A正确；对于B，文学社和辩论社共人，分层抽样比为，因此文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有人，即B正确；对于C，根据已有分析可知该学生不是文学社成员的概率为，又因为是科创社成员的概率为，因此在该学生不是文学社成员的条件下，该学生是科创社成员的概率为，即C错误；对于D，依题意可知社团活动总体满意率为，即D正确.11.（2026·宁夏银川·一模）某市气象部门对本市的温度（单位：℃）与相对湿度进行研究，记录了五组数据如表所示：温度2825221916相对湿度4148626570已知与线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为，则（

）A．与负相关B．经验回归直线一定经过点C．当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2%D．样本相关系数【答案】AC【详解】A.由表格可知，温度越小，越大，所以与负相关，故A正确；B.，，所以经验回归直线一定经过点，故B错误；C.，得，所以，当时，，所以当温度为时，相对湿度大约为，故C正确；D.因为与负相关，所以样本相关系数，故D错误.12．【答案】ABC【分析】根据全概率公式、条件概率公式等知识逐项计算判断即可.【详解】对于A，由全概率公式得，，故A正确；对于B，，所以，所以，相互独立，那么，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，表示在发生的条件下发生的概率，表示在发生的条件下发生的概率，两者之和不一定为1，例如：设为“掷骰子点数为偶数”，为“掷骰子点数为奇数”，为“掷骰子点数大于2”，则，，和为，D错误.13.（2026·重庆·一模）（多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：疗法疗效未治愈治愈甲1552乙663附常用小概率值及其相应的临界值表为：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828计算得．则下列说法正确的是：（

）A．以频率估计概率，有B．以频率估计概率，有C．若取，可以认为疗效与疗法独立D．若取，可以认为疗效与疗法独立【答案】ABD【分析】先由题设求出表格中各行各列总数，再由古典概型即可计算求解判断AB；再由独立性检验思想即可分析判断CD.【详解】由题设求出表格疗法疗效总数未治愈治愈甲155267乙66369总数21115136以频率估计概率，有，故A正确；以频率估计概率，有，故B正确；零假设：认为疗效与疗法独立，由题且，所以若取小概率值，则零假设不成立，即不可以认为疗效与疗法独立；若取小概率值，则没有充分的证据推翻零假设，故可以认为疗效与疗法独立，故C错误，D正确.故选：ABD14．【答案】BCD【详解】由图可得课外阅读量为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，对于A，这25名同学暑假的课外阅读量的众数是5本，A错误；对于B，将课外阅读量按照从小到大排列，第个数为，中位数是5本，B正确；对于C，平均数是本，C正确；对于D，，将课外阅读量按照从小到大排列，第个数为，第个数为，所以这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本，D正确.15．【答案】BCD【分析】根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD.【详解】记小张第次去洗车店为，第次去洗车店为，则，，，，，.选项A：，故A错误.选项B：，，所以小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小，故B正确.选项C：，故C正确.选项D：，故D正确.考点2立体几何1．【答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项一一判断，得到答案.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，对于A，，显然与没有倍数关系，故不平行，即与不平行，故A错误；对于B，平面的一个法向量为，，故，又平面，故平面，故B正确；对于C，因，，则，所以，故C正确；对于D，，，设平面的一个法向量为，则，故可取，因，则与平行，故平面，故D正确.故选：BCD2．【答案】BD【详解】如图，将三棱台补足为三棱锥，对于A，由于，而与相交，则与相交，故A错误；对于B，由于平面平面，且平面，则平面，故B正确；对于C，由于，且，则，又因为在平面内，所以与不垂直，故C错误；对于D，由于，，且，，平面，则平面，故D正确.3．【答案】ACD【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，判断A的真假；假设平面，可得，根据未必成立，可得假设错误，进而判断B时错误的；利用面面平行的判定定理证明平面平面，判断C的真假；利用面面垂直的判定定理证明平面平面，判断D的真假.【详解】对A：因为分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面.故A正确；对B：假设平面成立，因为平面，所以，因为四边形为矩形，所以未必成立，所以假设错误.故B错误；对C：因为分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面.因为，平面，且，所以平面平面.故C正确；对D：因为平面，平面，所以；又因为四边形为矩形，所以，因为，平面，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故D正确.4．【答案】BC【分析】设，如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，可求出平面的法向量，根据数量积公式，可判断A、C的正误；根据向量平行的坐标关系，可判断D的正误；根据面面垂直的判定定理，可判断B的正误.【详解】取AC中点O，中点，连接，设，因为正三棱柱，所以两两垂直，以O为原点，为轴正方向建系，如图所示，则，所以，选项A：设平面的法向量，则，即，令，则，即，则，所以与平面不平行，故A错误；选项B：连接，因为正三角形ABC，所以，又正三棱柱，所以平面ABC，因为平面ABC，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故B正确；选项C：，所以，则，故C正确；选项D：因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，故D错误.5．【答案】BCD【分析】代入圆柱侧面积的公式，判断A，将三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积，判断B，首先确定是圆柱外接球的直径，根据勾股定理求半径，再代入球的表面积公式，判断C，构造平行四边形，得到线线平行，再结合线面平行的判断定理，即可判断D.【详解】对于A，圆柱的侧面积，故A错误；对于B，由题意得，且所以，故B正确；对于C，取的中点，连接，易求得，即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为，故C正确；对于D，取的中点．连接．因为为的中点，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，故D正确．故选：BCD．，6．【答案】ACD【分析】对于异面直线所成角，因为异面直线所成角可通过找平行线转化为共面直线所成角，所以先找与其中一条直线平行的直线，再计算夹角；对于直线与平面所成角，因为直线与平面所成角是直线与平面中所有直线所成角中最小的，等于直线与它在平面内的射影所成角，所以先找直线在平面内的射影，再计算正弦值；对于线面垂直的判断，因为线面垂直的判定定理是直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线垂直于该平面，所以需验证直线与平面内两条相交直线的垂直关系；对于四面体体积，因为四面体体积可利用等体积法转换底面，所以选择易计算面积的底面和对应的高来计算体积.【详解】对于A，正方体中，，则异面直线与所成角即为与所成角，即（或其补角），而为等腰直角三角形，故，故A正确；对于B，由于平面，故为在平面内的射影，则直线与平面所成角为，在中，，故，故B错误；对于C，设G为的中点，连接，则，而，故，则四边形为平行四边形，故；≌，则，而，故，设交于H，则，即，则；又平面，平面，故，又平面，故平面，故C正确；对于D，由于，（h为三棱锥的高，），而，则，故D正确.7．【答案】AB【分析】根据底面边长求出底面积，根据高可求出侧面积，进而可求出表面积，根据外接球的球心在高上，列方程可求出外接球的半径，进而可求其表面积.【详解】如图，在正六棱锥中，取的中点，底面的中心，连接，因为底面正六边形的边长为2，则，所以底面积，又高为3，得体积，故C错误；则侧面三角形的高，侧面积，所以表面积，故A，B正确；因为正六棱锥的外接球的球心在上，设半径为，则，即，解得，所以正六棱锥的外接球的表面积，故D错误.8．【答案】ABD【分析】应用空间向量法证明线线垂直、线面平行以及向量法求线线角余弦，向量法求线面角从而确定正确答案.【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以，又因为，所以，B选项正确；取中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面，A选项正确；设与所成的角为，，所以，所以与所成的角为，C选项错误；设平面的法向量为，设与平面所成的角为，则，所以，所以，所以D选项正确.故选：ABD9．【答案】ABD【分析】根据三角形的面积判断A，根据三棱锥的体积公式判断B，根据线面角的定义判断C，根据二面角的概念判断D.【详解】对于A，的长为定值，且点到的距离即为两平行直线与之间的距离也为定值，所以的面积为定值，故A符合题意；对于B，的面积是定值．(定长，到的距离就是到的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据平面也就是平面，既然和平面都是固定的，所以到平面的距离是定值，所以三棱锥的高也是定值，于是体积固定．三棱锥即三棱锥的体积是定值，故B符合题意；对于C，到平面距离是定值（事实上即到平面距离），而长度在变化中，所以直线与平面所成的角不是定值，故C不符合题意；对于D，二面角的平面角即是二面角的平面角，而二面角的两个半平面均是固定平面，显然为定值，故D符合题意.故选：ABD.10．【答案】AD【分析】对A，利用判断；对B，平面即平面，由与平面关系可判断；对C，直接找到线面角对应的直角三角形，计算边长得到正切值；对D，由，分析动点到平面的距离是否为定值，结合的面积是否为定值判断体积.【详解】对于A：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，由题意得，设，向量，，故，A正确；对于B：平面即平面，直线过平面内一点且不在平面内，直线与平面相交，不平行，B错误；对于C：因为平面，则为在平面上的射影，所以即直线与平面所成角，在中，（是中点），，故，C错误；对于D：因为，平面，平面，故平面，上所有点到平面的距离恒为正方体棱长（定值），因此为定值，而，D正确.11．【答案】ABD【分析】利用面面垂直和线面垂直性质定理判断A选项；建立空间直角坐标系利用向量法判断B、C选项，最后利用锥体体积公式判断D选项.【详解】对于A，如图所示：在正三棱柱中，平面平面，且平面平面，在等边中，是棱的中点，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，取的中点连接，在正三棱柱中，由四边形为正方形，且是棱的中点，所以，又平面，所以平面，又，所以两两互相垂直，故以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

由正三棱柱的各棱长均为2，所以，则，设平面的一个法向量为，由，令，则，所以，由，所以，所以平面，故B正确；对于C，由B选项知，此时，所以不平行于平面，故C错误；对于D，因为为上底面内一动点（包括边界），所以点到平面的距离为即为三棱锥的高，所以为定值，故D正确.12．【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用向量法求出点到直线距离判断B；利用线线角的向量法求解判断C.【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，点，对于A，，，则，A正确；对于B，，点到直线的距离为，B正确；对于C，，直线与所成角的余弦值，C正确；对于D，，即，又直线，因此直线直线，点共面，直线与直线不是异面直线，D错误.13．【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由空间关系的向量求法可得出结论.【详解】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图：设正方体的棱长为2，则，所以，设平面的一个法向量为,所以，令，则，可得；对于A，由可得，因此，又平面，所以平面，所以A正确；对于B，又，则，显然以上向量与法向量均不平行，所以以上面对角线与平面均不垂直，即B错误；对于C，体对角线，易知,因此不存在体对角线与平面平行，即C错误；对于D，显然，所以平面，即D正确.14．【答案】BCD【分析】利用条件求出圆锥的母线长和底面半径，对于A，根据圆锥侧面积公式求结论即可判断，对于B，先求的面积的最大值，结合体积公式求体积最大值即可判断，对于C，先求，确定的范围，再根据等腰三角形性质和内角和公式求的范围即可判断，对于D，将以为轴旋转到与共面的位置，结合平面几何知识求结论即可判断.【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径，对于A，圆锥的侧面积为：，A错误；对于B，当时，的面积最大，此时，则三棱锥体积的最大值为：，B正确；对于C，是等腰三角形，，又因为，则，依题意，，而，因此，C正确；对于D，由，，得，有为等腰三角形，将以为轴旋转到与共面的位置，得到为等腰三角形，，，，于是，所以，D正确．15．【答案】ACD【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解.【详解】如图，取的中点，连接，，易知，又平面，平面，所以平面.又是中点，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面，所以点的轨迹为线段（不含端点）.对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确；对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误；对于C，因为平面，点是棱的中点，则，所以C正确；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为，则，设，球心，半径为，由，得到，解得，，所以，又，且，所以当时，取到最小值，最小值为，故D正确.考点3圆锥曲线1．【答案】AC【分析】写出圆的方程，利用给定点求出，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，即可逐个选项判断．【详解】抛物线的焦点为，圆方程为，对于A，由点在圆上，得，而，则，A正确；抛物线的焦点为，设直线方程为，由对称性不妨令点在第一象限，由，得，则，对于B，由，得，解得，B错误；对于C，由选项B得点，直线斜率，即，则，而，因此，C正确；对于D，，又，且圆的弦，因此不一定小于，D错误．2．【答案】BCD【分析】根据抛物线定义以及性质可以得出A、B、C选项，利用直线斜率和倾斜角的关系，得出的表达式，再利用函数导数求最值.【详解】对于A，因为焦半径，所以，代入，解得，所以，故A错误；对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得，所以点A在抛物线内，所以，当且仅当与轴平行时取等，故B正确；对于C，设，则，所以，所以的最小值为，C正确；对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限，如图所示：则，令，分母为，则，当，，所以在上单调递减；当，，所以在上单调递增；所以当时，，此时，由图知，所以，故D正确.3．【答案】ACD【分析】对AB直接用抛物线的定义判断可得，对CD用抛物线的定义及距离公式即可得.【详解】如图：过点作于点，设，则，.对于A，由抛物线的定义可知，圆心到直线的距离等于半径，所以圆与直线相切，A正确；对于B，因为圆经过点，所以圆的半径，所以圆的面积的最小值是，B错误；对于C，因为，所以，所以，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以C正确；对于D，，，化简得，得，即，再代入得，所以存在或使得成立，D正确.4．【答案】AD【分析】根据抛物线的定义求出及抛物线方程，再逐项分析判断即可.【详解】抛物线的焦点为，准线为.选项A：由抛物线的定义知，，解得，故A正确.选项B：由A知，.因为点在上，所以，解得，故B错误.选项C：焦点，，所以直线是垂直于轴的直线，与轴没有公共点，故C错误.选项D：，，因为轴，所以，故D正确.5．【答案】BC【详解】抛物线的焦点，准线，对于A，由抛物线的定义，得，则，A错误；对于B，由点在抛物线C上，得，则，B正确；对于C，，C正确；对于D，设点F到直线OM的距离为d，则，，D错误.6．【答案】AC【分析】根据题意作出示意图，设点坐标，然后表示出，即可建立方程，求得的轨迹方程，判断A；当为时，时取最小值，即可判断B；由抛物线的性质化简结合基本不等式求得结果判断C；设点在一象限，化简，由基本不等式求得的最值，从而得到角的范围，判断D；【详解】由题意可知，设，过点P作轴于点N，如图：对于A，则，∴，即，∴，A选项正确；对于B，，，∴当点为时，的最小值为1，B选项不正确；对于C，，当且仅当时，的最小值是，C选项正确；对于D，由对称性可假设点P在一象限，则，∵，当且仅当，即时取等号，所以∴，∴最大值为，当AQ与圆F相切时，，∴的最大值，∴，D选项错误.7．【答案】BCD【分析】对于A选项，通过离心率的定义求解即可；对于B选项，直线与双曲线联立，由韦达定理以及直线与双曲线交于右支求解即可；对于C选项，设，分别表达出，，再由在双曲线上求解即可；对于D选项，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，求解，再由直线与双曲线联立，由余弦定理求解即可.【详解】对于A选项，由双曲线方程为，可得，，所以，所以，，所以离心率为，故A错误；对于B选项，，设直线：，直线与双曲线联立可得，，，，，，因为直线与双曲线右支交于一点，所以，解得，故B正确；对于C选项，设，，，所以，由在双曲线上可得，代入可得，，当时，取得最小值，可得，故C正确；对于D选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点，半径，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，，联立求解坐标，将代入双曲线方程，可得，解得，，所以，，，，故D正确.8．【答案】ACD【分析】对于A，先得到，再根据椭圆的定义求解判断即可；对于B，根据余弦定理可得，再求解判断即可；对于C，由基本不等式求解判断即可；对于D，设，易得切线方程为，进而得到，由结合基本不等式可得，进而求解判断即可.【详解】对于A，由椭圆知椭圆焦点在轴上，且，则的周长是，故A正确；对于B，由椭圆的定义得，，由余弦定理得，，则，即，则，所以的面积为，故B错误；对于C，由，则，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，先证明：椭圆上的一点处的切线方程为.联立，得，点在椭圆上，，，即，，得，故直线和椭圆仅有一个公共点，则椭圆上的一点处的切线方程为.设，由题意知的切线斜率存在，则切线方程为，令，得，令，得，即，又，则，即，当且仅当时等号成立，则面积为，即的面积的最小值为，故D正确.9．【答案】BC【分析】由题意可得，对于AB：可知，进而可得的虚轴长以及椭圆和双曲线的离心率；对于CD：可知，进而可得椭圆通径，联立方程可得，即可得面积.【详解】由题意可得，即得，对于选项AB：当时，则，所以的虚轴长为，故A错误；且椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，所以与的离心率之积为，故B正确；对于选项CD：当时，则，可得椭圆与双曲线：，且，所以，，故C正确；联立方程，消整理得，所以的面积，故D错误.10．【答案】AC【分析】先根据椭圆方程应用焦点坐标列式得出，进而求出离心率及短轴长，判断A，B，C，最后结合椭圆定义求出边长判断D.【详解】由的左、右焦点分别为，得1，解得，则，所以C的离心率，短轴长为，又因为，所以为等边三角形，故选项A正确，选项B错误，选项C正确；由题意设，则，解得，所以，又，所以，即不是等边三角形，故选项D错误.考点4函数与导数1．【答案】ACD【分析】根据导数的几何意义求出，结合即可求出可判断AB，通过导数求出函数的单调性，结合极值点的定义可判断CD.【详解】因为，切线斜率为，所以，由题意得，切点在切线上，故，则，联立，解得，故A正确，B错误；，当时，，在单调递减，当或时，，在单调递增，所以的极小值点为1，极大值点为，故CD均正确，故选：ACD.2．【答案】ABD【分析】对于A计算即可判断，对于B由函数的单调性结合三次函数的图像特征即可判断，求切线方程即可判断C，结合零点的定义代入计算，即可判断D，【详解】对于A：由，所以是图像的对称中心，故A正确；对于B：当时，，所以，令，得或，由有：或，由有：，所以在单调递减，在单调递增，又，所以函数有三个零点，故B正确；对于C：当时，，所以，由，，所以在处的切线方程为：，故C错误；对于D：设的三个零点为，所以，对比项的系数有：，故D正确；故选：ABD.3．【答案】BD【分析】利用函数奇偶性判断选项A，对函数求导得，令，对求导，利用函数单调性分析即可得出结论；通过函数在上单调性分析得出选项C；利用函数零点存在性定理以及函数单调性判断即可得出选项D.【详解】由函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数不是偶函数，故A选项不正确；由，令，则，令，因为，所以，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以为的极大值点，即为的导函数的极大值点，故B选项正确；由B选项可知当时，，即当时，，所以函数在上单调递减，所以不是函数的极值点，故C选项不正确；由函数在上单调递减，且，，所以函数在上只有1个零点，故D选项正确；故选：BD.4．【答案】BD【分析】A将问题转化为有两个零点求解；B求出，再根据斜率公式计算；C结合B选项求出，结合函数的单调性即可；D求出线段的垂直平分线的方程，将问题转化为在区间有零点，利用导数求出最大值即可.【详解】由题意知，有两个零点，则，则，故A错误；由得或；得，则在，上单调递增，在上单调递减，则，，则，因为直线的倾斜角为，所以，得，则B正确；由B选项可知，直线的斜率为，则，易知函数在单调递减，当时，；当时，，故的值域为，无最值，因此也无最值，则C错误；因为，所以，，则线段的中点为，因为直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线的方程为，若存在使得，则与有交点，因为，所以的定义域为，则在区间有零点，得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，即，因为，所以解得，则D正确.故选：BD.5．【答案】AD【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解.【详解】对于A，，在处的切线方程为，化简可得，故A选项正确；对于B，，令，解得：,令，解得：或,令，解得：,所以函数在和递增，在递减，则是的极小值点，故B选项错误；对于C，由于函数在和递增，在递减，故当时，最小值为，最大值为，所以，故C选项错误：对于D选项，由于，D选项正确.故选：AD6．【答案】ACD【分析】根据导数的几何意义可求得处切线为得到A正确；通过举反例证明B错误；根据导数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，找到相应等式即可求得D正确.【详解】已知，求导得选项A：当时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为，故直线一定是的切线，故A正确；选项B：当时，，故B错误；选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，，因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确；选项D：求导得：，切线等价于，整理得：，因为，两边除以得，即，故D正确.7．【答案】ACD【分析】A选项运用奇函数的定义进行运算判断即可；B选项根据函数的导函数的正负性进行判断即可；C选项根据函数的单调性，结合B的结论进行判断即可；D选项根据函数的导函数解析式，结合配方法进行判断即可.【详解】对于A，，令，函数定义域为R，因为，所以函数是奇函数，所以A选项正确；对于B，，当时，单调递减，所以B选项不正确；对于C，因为，所以当时，单调递减，当，或时，单调递增，因为，当时，，当时，，所以直线，与曲线的公共点个数分别为和，所以C选项正确；对于D，设斜率为-12的直线方程为，联立，消去得，即，令，，当且仅当时取等号，所以在R上单调递增，当时，；当时，，根据单调函数的性质，与轴有且仅有一个交点，所以斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点，所以D选项正确.8．【答案】ABD【分析】利用对称性求出，求出零点判断A；确定奇偶性判断B；求出极值点判断C；借助单调性及偶函数性质推理判断D.【详解】由函数与函数的图象关于y轴对称，得，对于A，由，得，由，得，则与有相同的零点，A正确；对于B，，则，为偶函数，B正确；对于C，由，求导得，当时，，当，，函数有唯一极值点，由，求导得，当时，，当，，函数有唯一极值点，C错误；对于D，令，函数都是上的增函数，则是上的增函数，当时，，则，由为偶函数，得当时，，因此，都有，D正确.9．【答案】AD【分析】对原函数求导，结合导数的几何意义及二次函数的性质即可判断选项A；根据函数的对称性即可判断选项B；分别求出，，结合充分条件、必要条件、充要条件的概念即可判断选项C、D.【详解】对于A，由题意，得，根据导数的几何意义可知，切线斜率的最小值为，故A正确；对于B，若的图象关于点对称，则.又，所以的图象不关于点对称（关于点对称），故B错误；对于C，，若，即，所以，解得且.所以的解集为.因此是的充分不必要条件，故C错误；对于D，，若，即，所以，解得，所以的解集为.因此是的充要条件，故D正确.10．【答案】BCD【分析】利用指数和对数的运算化简，再利用求导判断单调性，利用求导来求切线斜率，利用导数来证明不等式即可作出选项判断.【详解】由，得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，故A错误；由，,可得在点处的切线方程为，故B正确；由，构造，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，即，故恒成立，故C正确；由，求导得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，即，则，当时,上式两边取对数可得:，则由，可知恒成立，故D正确.故选：BCD考点5三角函数1．【答案】BD【分析】根据选项中的函数，利用三角函数的周期公式和单调性判断方法逐一判断即可.【详解】对于A，因函数在上单调递减，故在区间上单调递增，故A错误；对于B，函数的最小正周期为，且在上单调递减，故B正确；对于C，函数的最小正周期为，故C错误；对于D，因函数的最小正周期为，则函数的最小正周期为，当时，，函数在上单调递减且函数值为正，故函数在上单调递减，即D正确.2．【答案】AD【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；根据余弦型函数的最值可得出关于、的表达式，进而可得出的表达式，可判断CD选项.【详解】对于A，函数的最小正周期为，故对，，A对；对于B，当时，，故函数在上不单调，B错；对于C选项，若，则或，若，则，将两式相减，得，可得，此时的最小值为；若，则，将两式相减，得，可得，此时的最小值为，综上所述，的最小值为，C错；对于D，若，则，，所以，将两式相减，得，所以，故的最小值为，D对.3．【答案】BCD【分析】利用奇偶性的定义，举反例可判断A；利用周期公式可判断B；利用复合函数的单调性法则可判断C；利用三角函数对称中心的求法可判断D.【详解】函数可化为，据此分析各选项：A：取，则：，，由于，因此不是偶函数，A选项错误；B：正弦型函数的最小正周期为，B选项正确；C：当时，令，，由于在上单调递增，且在上单调递增，故C选项正确；D：令，解得，当时，，即的一个对称中心为，故D选项正确.4．【答案】BC【分析】根据图象可确定，判断A的真假；利用可验证B的真假；利用函数的平移变换结合诱导公式，可判断C的真假；利用换元法，结合函数图象可求的取值范围，判断D的真假.【详解】由题意：，，又，所以，，故A错误；对B：因为，所以，所以函数的图象关于点对称，故B正确；对C：将函数的图象向左平移个单位长度，可得：，故C正确；对D：，当时，.设，，若要在上有两个不相等的实数根，由下图可知：，故D错误.5．【答案】AC【分析】利用奇偶性的定义判断A，由三角恒等变换化简函数式为，结合正切函数的性质判断B、C，特殊值法说明D即可.【详解】由，得，则的定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，A正确．由，其最小正周期，且在上单调递增，B不正确，C正确．由，可得，则，D不正确．6．【答案】ABD【分析】根据周期以及最值可得，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整体法求解函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D.【详解】由图可得，函数的最小正周期，又，所以，则，由，得，，解得，，又，所以，故A正确；由上分析，得故，因为，故函数的图象关于点对称，故B正确；令，，解得，，故函数的单调递增区间为，令，，解得，，故函数的单调递减区间为，，则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故C错误；当时，则，要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，需使，解得，故D正确.故选：ABD.7．【答案】BC【分析】首先化简函数，分别求函数的单调性，对称性及值域，选项C将函数数形结合，转化为交点问题.【详解】若函数图象关于点对称，则.但是，所以A错误；因为的最大值为1，所以的最大值为，所以B正确；方程在上恰好有三个实数解，即在有三个解，此时，对应的三个解为：，则，所以C正确；求的单调递减区间：，解得，所以D错误.8．【答案】ABD【分析】根据正弦函数和正切函数的图像性质即可求解.【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，正弦函数加绝对值后，最小正周期变为原来的，所以的最小正周期为；的最小正周期为，正切函数加绝对值后，最小正周期不变，所以的最小正周期为，故A正确；对于B选项，令得，解得，令得，解得，故B正确；对于C选项，取，则，取，则，因为，，所以函数一定不是单调递增，故C错误；对于D选项，函数的对称轴为，解得，函数的对称轴为，解得，故D正确.综上所述，选项ABD都正确.9．【答案】AC【分析】先由函数的性质可得，，进而可得，从而判断各个选项可得.【详解】因为的一个零点为，的图象关于点对称，且在上单调递增，所以，所以，A正确；由及，得，B错误；所以，C正确；因为时，不存在，因为，所以函数在上单调递增，故D错误．10．【答案】AD【分析】A选项，根据奇偶性的定义和诱导公式判断；B选项，根据对称性的性质判断；C选项，分和两种情况讨论；D选项，结合图象得到的范围和，然后判断即可.【详解】的定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，A正确；，所以关于对称，B错；当，时，，，，则，当，时，，，，则，综上可得的值域为，C错；时，，图象如下所示：所以，，则，D正确.1．【答案】AC【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系结合充分不必要条件定义一一分析判断即可.【详解】对于A：若，，则或，故A错误；对于B：若，，则．又因为，则在平面内存在直线使得，所以，所以，故B正确；对于C：若，，则与的关系是异面或平行，故C错误；对于D：当，则可以得到；当时，若平行，则无法推出，所以“”是“，且”的充分不必要条件，故D正确.故选：AC．2．【答案】AC【分析】根据线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行的判定定理逐项判定即可.【详解】对于A，因为分别是的中点，所以.因为在正方体中，，所以.因为，所以，A正确；对于B，因为分别是的中点，所以.而平面，所以与平面相交，不平行，B错误；对于C，因为，所以.因为平面ACD1，不在平面ACD1内，所以平面AC因为，所以，因为平面ACD1，不在平面ACD1内，所以平面AC又平面，所以平面平面ACD1，C正确；如果平面，而平面，所以，则根据勾股定理有.设正方体的棱长为1，则在直角三角形中，，所以，而，.很显然不成立，所以不成立，所以D错误.故选：AC.3．【答案】BD【详解】A：样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，则A错误；B：该组数据共8个数据，又，因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，因此B正确；C：因为，由方差，期望，可得，即C错误.D：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为，因此方差为，即D正确.4．【答案】AC【分析】根据极差、百分位数、平均数和方差的定义求解，即可判断选项．【详解】原始数据：7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.9，去掉一个最高分和一个最低分后：8.1，8.2，8.7，9.4，极差分别为，极差变小，故A正确；均值分别为，，均值变小，故B错误；方差分别为，，方差变小，故C正确；，，第75百分位数分别为，，第75百分位数变小，故D错误．5．【答案】AC【详解】由题意可知，原数据是公差为的等差数列，设，则，去掉后，新数据为共8个数.选项A：原极差：，新极差：，极差变小，A正确；选项B：原平均数：，新平均数：，平均数不变，B错误；选项C：原平均数和新平均数均为，原方差新数据的方差所以方差变小，C正确；选项D：原数据共个：，向上取整得第25百分位数为第3个数新数据共个：，第25百分位数为第2、3个数的平均，百分位数变大，D错误.6．（2026·四川成都·二模）设随机变量X的分布列为X12Pp其中．若，则一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先通过求出未知参数，再依次计算和，最后验证选项.【详解】依题意，，已知，代入得：，故A错误，B正确；，代入得：，C正确；，D错误.7．（2026·广东广州·二模）为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.成绩/分929395969899100人数5781413下列结论正确的是（

）A．众数为99 B．极差为9C．分位数为96 D．平均数大于中位数【答案】AC【详解】根据题意，总共有50名市民，所以成绩为或的共人，则99分有14人，众数为99，A正确；极差为，B错误；因为，则第13个数分值为96，C正确；中位数是第25和第26两个数的平均数，由于这两个数都是99，所以中位数为99，设成绩为的有个人，平均数为，所以平均数小于中位数，D错误.8．【答案】ABD【分析】A选项，利用二项展开式的通项求展开式中的系数；B选项，结合中位数的定义求解；C选项，根据回归直线恒过样本中心点，求得，即可求解；D选项，利用条件概率公式和相互独立事件的定义求解.【详解】对于A，的展开式的通项为，时，，则有，所以的展开式中的系数为，A选项正确；对于B，这组数据共7个，中位数为排序后第4个数，先排序已知数：，加入后，无论还是，第4个数一定是4，所以这组数据中位数一定是4，B选项正确；对于C，由得.因为过点，所以，所以，C选项错误；对于D，由，有，已知，则，又，则，得，所以事件与相互独立，D选项正确.9．【答案】ABD【分析】根据事件的包含关系，结合互斥事件的概率公式，可判断A、B的正误；根据独立事件的概率公式，可判断C的正误；根据全概率公式及条件概率公式，可判断D的正误.【详解】选项A：由，得，故A正确；选项B：由，得A、B互斥，所以，故B正确；选项C：若，相互独立，则所以，故C错误；选项D：因为，所以，则，故D正确.10．【答案】ABD【分析】根据正态分布的性质、残差的意义、相关系数的内涵以及百分位数的计算公式逐项计算判断即可.【详解】由题意得，，，则，故选项A正确；∵在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确；∵，且，∴a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故选项C错误.对于D，，所以一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为第8个数字和第9个数字的平均值，即，D正确；故选：ABD.11．【答案】BC【分析】先根据题意，求出的值，再由选项内容逐一判断A，B，C项；对于D，需要按照点在双曲线的左支还是右支进行分类，结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可.【详解】对于A，因双曲线的焦距为，即得，由：（）可得，则，故A错误；对于B，由上分析，，故B正确；对于C，由上分析可得，，则该双曲线的渐近线方程为，即，故C正确；对于D，若点在双曲线的左支上，由可得，此时，的周长为；若点在双曲线的右支上，因，这与已知不符，故D错误.故选：BC.12．【答案】ABD【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求解判断A；求出切线方程并求出切点坐标，利用向量垂直的坐标表示判断BD；利用抛物线定义求出弦长最大值判断C.【详解】抛物