2026年高考数学终极冲刺：题号猜押13 全国卷高考数学第19题A（解答题）（原卷版）

1/7题号猜押13全国卷高考数学第19题A（解答题）溯源年份卷别原题号考点具体内容2025Ⅰ卷T19函数与导数三角函数最值、存在性证明、恒成立求最值2025Ⅱ卷T19概率与数列乒乓球比赛概率、递推关系、不等式证明2024Ⅰ卷T19数列新定义可分数列定义、组合计数、概率证明2024Ⅱ卷T19双曲线与数列点列构造、等比数列证明、面积定值2023Ⅰ卷T22函数与导数函数最值、存在直线、等差数列证明2023Ⅰ卷T21概率统计投篮比赛、递推概率、数学期望2023Ⅱ卷T22函数与导数不等式证明、极大值点求参2023Ⅱ卷T21双曲线定直线证明2022Ⅰ卷T22函数与导数函数最值、存在直线、等差数列证明2022Ⅰ卷T21双曲线直线斜率、三角形面积2022Ⅱ卷T22函数与导数单调性、恒成立、数列不等式2022Ⅱ卷T21双曲线渐近线、三点共线条件证明2021Ⅰ卷T22函数与导数单调性、极值点偏移、双变量不等式2021Ⅰ卷T21双曲线轨迹方程、斜率之和2021Ⅱ卷T22函数与导数单调性、零点证明（条件选择）2021Ⅱ卷T21概率统计微生物繁殖、概率递推、实际意义近5年压轴位置（原T22/现T19）考点高度集中，函数与导数出现8次，占据绝对主导地位。但2024-2025年出现新变化：2024Ⅰ卷考查数列新定义、2024Ⅱ卷考查双曲线与数列结合、2025Ⅱ卷考查概率与数列综合，表明压轴题已开始向跨模块融合与创新拓展。同时，原倒数第二题（T21）位置在旧版中常考查圆锥曲线与概率统计，这些内容在新版中可能上移或与压轴题融合。预测2026年压轴解答题（T19）极大概率以函数与导数为核心，但可能融合数列、概率等元素。第（1）问含参函数单调性讨论；第（2）问可能考查恒成立求参、零点讨论、不等式证明、极值点偏移，或借鉴近年趋势出现概率与数列综合、解析几何与数列结合等创新题型。若函数导数未出现于此，则可能在圆锥曲线与数列综合方向出题，但概率较低。备考核心主攻含参函数单调性，熟练掌握分类讨论标准（导数零点与定义域关系、二次函数开口与判别式）；突破恒成立问题，掌握参变分离与构造函数法；攻克零点问题，掌握零点存在定理、指对分离技巧；理解极值点偏移，掌握对称构造法与对数平均不等式；；熟练解析几何及与数列综合，掌握设而不求与递推关系处理。规范书写，分类讨论不重不漏，导数符号判断清晰。限时训练，每道题控制在20~25分钟，注重思维深度与计算精度。考点1导数及其应用1．（2026·江西赣州·一模）已知函数.(1)讨论函数的单调性.(2)设函数，若存在唯一实数使函数的最小值为0，求实数的取值范围.2．（2026·广西河池·二模）已知函数．(1)讨论的极值；(2)当时，证明：．3．（2026·河南南阳·一模）已知函数，其中，且．(1)当时，讨论的零点个数；(2)若恒成立，求的取值范围．4．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数．(1)若恰有两个零点，求实数的取值范围；(2)当时，证明：．5．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数．(1)当时，求在点处的切线方程；(2)当时，证明：对任意，都有；(3)证明：，.6．（2026·江苏·一模）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的零点个数；(3)当时，证明：．7．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若在上有两个零点，求实数的取值范围；(3)若函数有两个极值点，，证明：．8．（2026·河北保定·一模）已知函数(1)当时，求的极值.(2)已知.（i）证明:；（ii）若在上恒成立，求实数t的取值范围.9．（2026·江苏·一模）已知函数.(1)对任意，是的必要条件，求的最小值；(2)对任意，函数存在两个零点.（i）求的取值范围；（ii）对于（i）中给定的，证明：当取得最小值时，.10．（2026·浙江宁波·二模）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若有两个极值点，，且，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）求证：．11．（2026·河南开封·模拟预测）已知a为实数，函数，函数.(1)若在区间上单调递减，求a的取值范围；(2)求函数极值点的个数；(3)当时，证明：，，使.12．（2026·江西·一模）已知函数．(1)求在上的最大值；(2)求证：恒成立；(3)若都有恒成立，求的最大值．13．（2026·天津河东·一模）已知函数（）.(1)函数在定义域内无极值，求a的取值范围；(2)函数（），有三个不同的极值点，，，；（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明.14．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)函数．（ⅰ）当时，讨论函数在区间上的零点个数；（ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．15．（2026·河北邯郸·一模）已知函数．(1)若，证明：．(2)设有两个零点．①求的取值范围；②证明：．1．（2026·甘肃兰州·一模）已知.(1)若曲线在处的切线的一个方向向量为，求实数的值；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.2．（2026·河北唐山·一模）函数，.(1)若在上单调递减，求a的取值范围；(2)若曲线与在处有相同的切线，（i）求a的值；（ⅱ）若，证明：.3．（2026·山东淄博·一模）设、为实数，且，函数，.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明：；(3)若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.4．（2026·贵州安顺·一模）已知函数，．(1)令，求在点处的切线方程：(2)讨论在上的单调性；(3)证明：（i）当时，（ii）．5．（2026·广东佛山·一模）已知函数，其中为正实数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：．6．（25-26高三下·河南·开学考试）已知函数．(1)求的单调区间；(2)证明：；(3)设，若存在，使得，证明：．7．（2026·山东聊城·一模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求a的取值范围；(3)若有最大值，记曲线在点处的切线方程为，证明：当时，存在使，且．8．（2026·江西南昌·一模）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证：(3)当时，设，且满足，求证：.9．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程.(2)当时，证明：当时，.(3)若有两个零点，求a的取值范围.10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，且为函数的极值.(1)求实数a的值；(2)当时，恒成立，求实数m的取值范围；(3)证明：当时，．11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数在区间内极值点的个数．(2)设函数，若函数存在两个不同的零点，且．（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：．12．（2026·广东广州·一模）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若有且仅有1个零点，求的值；(3)若存在，使得对任意恒成立，证明：．13．（2026·湖北黄冈·一模）已知函数，．(1)当时，求函数的最小值；(2)当时，证明：在上存在2个不同的零点，且；(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．14．（2026·河北衡水·一模）已知函数.(1)证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.(2)当时，讨论零点的个数.(3)当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3.15．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数，.(1)若，求的单调区间；(2)若，.（ⅰ）求；（ⅱ）函数图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理由.16．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知函数，，记的导函数为．(1)当时，求的最小值；(2)若在区间内单调递增，求a的取值范围；(3)若，，证明：．17．（2026·福建泉州·一模）已知函数.(1)证明：有且只有一个极值点；(2)若恰有两个零点.（i）证明：；（ii）记的极值点为，若，求的取值范围.18．（2026·新疆·模拟预