2026年高考数学终极冲刺：压轴04 函数中构造问题的6大核心题型（压轴题专练）（全国适用）（原卷版及解析版）

压轴04函数中构造问题的6大核心题型导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特性构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立问题.题型01利用f(x)与x构造技法技法指导利用f（x）与xn构造函数（1）如果题目中出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；（2）如果题目中出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝f（1.已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A.（－1，0）∪（0，1）B.（－1，0）C.（0，1） D.（－1，1）2.已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．题型02利用f(x)与ex构造技法技法指导利用f（x）与ex构造函数（1）对于f'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝enxf（x）；（2）对于f'（x）－nf（x）＞0（或＜0），构造函数F（x）＝f（3.已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（

）A． B． C． D．4.已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（

）A． B．C． D．题型03利用f(x)与sinx，cosx构造技法技法指导利用f（x）与sinx，cosx构造函数的常见类型（1）F（x）＝f（x）sinx，F'（x）＝f'（x）sinx＋f（x）cosx；（2）F（x）＝f（x）sinx，F'（3）F（x）＝f（x）cosx，F'（x）＝f'（x）cosx－f（x）sinx；（4）F（x）＝f（x）cosx，F'5.（2025·云南大理·模拟）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为．6.（2025·福建龙岩二模）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．题型04根据数值特征构造函数技法技法指导1.观察实数的结构，对实数适当变形寻找实数间的联系.2.放缩法的应用：(1)用基本初等函数单调性放缩；(2)用切线不等式：ex≥x＋1，lnx≤x－1(x>0)，sinx<x<tanx等放缩；(3)用二项展开式放缩.7.（2022·全国甲卷T12）已知，则（

）A． B． C． D．8.（2021·全国乙卷T12）设，，．则（

）A． B． C． D．题型05通过变量构造具体函数技法技法指导根据所给代数式（等式、不等式）中数学运算的相同点或者结构形式的相同点，构造具体的函数，利用导数研究函数的性质并解决问题.9.若，则A． B． C． D．10.（2025江苏宿迁二模）已知，，，则（）A．

B．

C．

D．题型06指对同构技法技法指导1.积型：2.商型：3.和差型：11.（2025江苏扬州中学模拟）若，则（）A．

B．C．

D．12.（2025湖南长沙模拟）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．13.（2025·广东珠海二模）高不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．1.设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．2.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．3.（2025·济南二模）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．4.（2025·山东潍坊·三模）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．5.已知，不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．6．（2026·四川德阳·二模）若，则（

）A． B． C． D．7．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．8．（2026·河北邯郸·一模）已知，则（

）A． B． C． D．9．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列命题为真命题的是（

）．A． B．C． D．10．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则下列不等式恒成立的有（

）A． B．C． D．11.（2025·四川德阳·三模）已知，，，则把、、从小到大排列的顺序是.12.（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围13．（2026·湖北黄冈期末）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____

14．（2025·全国·模拟预测）若，则的最大值为________．15．（2025·山东泰安一模）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数a的取值范围.16．（2025·江西赣州二模）已知函数.(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若a＝e，证明：当x>0时，.

压轴04函数中构造问题的6大核心题型参考答案压轴题型精讲题型01利用f(x)与x构造1.【答案】A【解析】构造F（x）＝f（x）x2，则F'当x＞0时，xf'（x）－2f（x）＜0，可以推出当x＞0时，F'（x）＜0，F（x）在（0，＋∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F（x）为偶函数，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增.根据f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1）.2.【答案】A【解析】设，则，对任意，，恒成立，即在上单调递减，由可得，，解得，即解集为，故选A题型02利用f(x)与ex构造3.【答案】A【解析】设，则，∴在R上单调递增.又，则.∵等价于，即，∴，即所求不等式的解集为，故选A.4.【答案】AC【解析】构造，则，因为导函数满足对于恒成立，所以，即函数在上单调递减，即，故选:AC.题型03利用f(x)与sinx，cosx构造5.【答案】【解析】由，设，，所以函数在上单调递减，即，得，所以，所以不等式的解集为6.【答案】C【解析】因为，所以设，则，所以在上为增函数，又因为，，，，所以，即，故选C题型04根据数值特征构造函数7.【答案】A【解析】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.法二（常规法）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.8.【答案】B【解析】令，即函数在（1，+∞)上单调递减令，即函数在（1，3)上单调递增综上，，故选：B.题型05通过变量构造具体函数9.【答案】【解析】由，可得，令，则在上单调递增，且，所以，即，由于，故．10.【思维探究】看到什么想到什么，，对b,c取对数，加负号，转化为结构相同函数求导，分析单调性，比较大小【解析】第一步：观察式子，化为含有相同数的式子．，，，所以，．，．第二步：构造函数，判断单调性．令，其中，则．当时，，当时，．所以在上单调递增，在上单调递减．第三步：利用单调性比大小．因为在上单调递减，且，所以，所以，即，．第四步：得出结论．又函数在上单调递增，所以．故．故选D．题型06指对同构11.【解析】第一步：观察式子，化为相同结构．对已知不等式变形可得：．【技巧】观察不等式，发现要想将左、右两边化为相同的形式，需要将右边变形，根据对数的运算性质，可得第二步：构造函数，判断单调性．令，．易知函数与在上均为增函数，所以函数在上为增函数．第三步：利用函数的单调性比大小．即，根据函数在上为增函数，可得，则．【提醒】根据对数的真数部分大于0，可知a与2b均大于0，处在同一单调递增区间内第四步：得出结论．因为，所以，则，A错，B对．无法确定与1的大小，故无法确定与0的大小，CD都错．故选B．12.【思维探究】看到什么想到什么想到指对同构将恒成立问题转化为最值问题函数求导，利用单调性求最值【解析】因为，不等式成立，即成立，即，进而转化为恒成立，【卡壳点】巧用同构构造函数，可得，当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数m的取值范围是.13.【解析】由，【卡壳点】巧用同构当x＋lnx＋1≤0时，原不等式恒成立，当x＋lnx＋1＞0时，，由于，当且仅当x＋lnx＝1等号成立，所以，故．【提醒】忽视a自身的范围要求1.【答案】A【解析】令，又分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以，即为奇函数，当，有，所以在上单调递减，由奇函数的性质，在上单调递减，且，由，则，即，综上，上，上，所以不等式的解集是，故选A2.【答案】B【解析】根据题意可令，所以在上单调递增，则原不等式等价于，由，解之得．故选：B．3.【答案】A【解析】，构造函数，，则，当时，；当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减，由于，，且，则，即，又，∴.故选A.4.【答案】D【解析】令，则，所以在上单调递减，因为，所以不等式可变为，即，所以，即，所以不等式的解集为，故选：D.5.【答案】A【解析】.令，则易知在上单调递增，，令，问题转化为求在的最小值.因为，当时，（当且仅当时取“”）.所以在上单调递增，.所以的最大值为，故选A6.【答案】A【解析】根据题意，可知，，，∵，，，，∴，令，则，∵，令，∵，∴，即对于任意的，恒有，∴在上单调递增，7.【答案】D【解析】设，则.因为，所以，即，所以在上单调递减.不等式等价于不等式，即.因为，所以，所以.因为在上单调递减，所以，解得.8.【答案】D【解析】令，则．令，易知在上单调递减，且，所以在上恒成立，则在上单调递减，则，即，所以，所以，即．故选：D.9.【答案】BCD【解析】令，则，当，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．因为，函数在上单调递减，所以，即，又因为，故，即，所以A错误；因为，函数在上单调递增，所以，即，则，故B正确；因为，函数在上单调递减，所以，即，而因为，两边取对数得到，两边同时除以2得到，所以C正确；因为，变形可得，由函数的单调可知，故D正确．故选：BCD．10.【答案】BC【解析】对于A，构造函数，，所以在R上单调递增，又，所以，即，故A错误；对于B，，，即，故B正确；对于C，令，，所以在单调递减，，故C正确；对于D，当，时，，故D错误；故选：BC.11.【答案】【解析】设，则，时，，单调递减，所以，即，，设，则，时，，单调递减，因此，即，，综上，，12.【答案】D【解析】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①因为函数为偶函数，则，②联立①②可得，令，则，且不恒为零，所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数，故当时，，所以，函数在上为减函数，由可得，所以，，整理可得，解得或实数a的取值范围是13.【答案】【解析】由图象得在，上单调递增，在上单调递减，则当时，，当时，，若，则当时，或当时，，当，时，解得，当，时，解得，综上可得不等式的解集为.14.【答案】【解析】由可得，故，令，由于，故，则，记，当时，单调递减，当时，单调递增，故取最大值，当且仅当时，因此的最大值为，15.【解】（1）.当时，，所以在单调递增.当时，令，可得；令，可得，所以在单调递增，在单调递减.综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）因为当时，，所以，即，即，即.令，则有对恒成立.因为，所以在单调递增，

故只需，即对恒成立.令，则，令，得.当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以.因此，所