六年级奥数一至十讲课程教案

比较分数的大小01小学六年级奥

数教案一

同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法

比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因

此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及

分子、分母都不相同三种情况，

其中前两种情况判别大小的方法是：

分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；

分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通

常是采用通分的方法，使它们的

分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一

定是最简捷的。下面我们介绍另

外几种方法。

“通分子”。1.

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分

子的最小公倍数比较小时，可以

把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法

比通分的方法简便。

如果我们把课本里的通分称为〃通分母”，那么这

里讲的方法可以称为“通分子”。

化为小数。2.

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就

要看具体情况了。

先约分，后比较。3.

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

根据倒数比较大小。4.

-1-

若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）

大的分数较大；若两个假分5.

数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数

较大。也就是说，

借助第三个数进行比较。有以下几种情况：6.

若和对于分数。

>kzk>m,nm）1（n>m,

则n

m)对于分数2(。n>m,则n-k>m-k,若n

和

前一个差比较小，所以。n<m

,则,若和对于分数

k-n<k-mnm）3（on>

m

小于原来的两个分数k）中借助的数2）的差别在

于，（3）与（2注意，（；n和m

。n和m大于原来的两个分数k）中借助的数3

（4（）把两个已知分数的分母、分子分别相加，

得

到一个新分数。新分数一定介于两

个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个

分数小。

利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新

分数与其中一个已知分数容易比

较大小时，就可以借助于这个新分数。

-2-

比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习

中不断发现总结，但无论哪种方

法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分

子相同，分母小的分数大〃这一基本方法。

1练习

比较下列各组分数的大小：1.

1练习答案与提示

02小学六年级奥数教案一巧求分

数

我们经常会遇到一些分数的分子.分母发生变化的

题目，例如分子或分母加.减某

数，或分子与分母同时加.减某数，或分子、分母分

别加.减不同的数，得到一个新分数,

求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很

多f因此解法也不尽相同。

数。

就变成分子加.1分析：若把这个分数的分子,分

母调换位置，原题中的分母加.减

1,这样就可以用例1减求平均数的方法求出分子、

分母调换位置后的分数，再求倒数即可。

个分数。

因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的

方法求解。分析与解：

,这个分数是多少？

如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变

为：分析与解：

这个分数是多少？

类似，可以求出3于是与例

-4-

中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、

分母同时变化，4~例1在例

那么会怎样呢？

oa数

分析与解：。29+43=72等于分子与分母之和不

变，（约分前），a分母加上，a分子减去

,所以分子、分母约掉3+5=8约分后的分子与分

母之和变为

。45-43=2

求这个自然数。

,新分数约分后变45同一个自然数，得到的新分

数如果不约分，那么差还是

,分母增加23一个分数的分子与分母之和是7例

后得到一个新分数，19

得到6=7-42,是由新分数的分子,分母同时除

以1+5=6分子与分母的和是

-5-

（倍），为保持分数的大小不变，5=2+10,等于

分子增加了10分子加分析与解：

分母也应增加相同的倍数，所以分母应加

o2=16x8

中，分母应加的数是8在例

中，分子应加的数是9在例

这类分数问题的公式：9、例8由此，我们得到解

答例

分子应加（减）的数分母所加（减）的数X原分

数;=

分子所加（减）的数+原分数。=分母应加（减）

的数

这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说

是这类题中最难的，分析与解：

我们用设未知数列方程的方法解答。

)x2x+2(z4)xx+5(3二

,6x+6=4x+20

,2x=14

oX—7

2练习

-6-

是多少？

2练习

答案与提不

。12=5xa=53-4,(4+7)=12+(53+79)。解：

5.5

o5-22=13x7f=5)16-7):(67-22。解:

(6.13

-7-

,根据分母可列方程x解：设分子为

分数运算技巧03小学六年级奥数

教案一

对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法

则外，还应该掌握一些特殊的运

算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。

凑整法1.

与整数运算中的“凑整法〃相同，在分数运算中，

充分利用四则运算法则和运算律

（如交换律,结合律.分配律），使部分的和、差.

积、商成为整数、整十数,“，从而使运

算得到简化。

-8-

约分法2.

裂项法3.

若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中

间的分数相互抵消，则能大大简

化运算。

中找出在自然数例个数的倒数的

100~17o1

和等于10个不同的数，使这10

,而分母不同的1个分子为10这道题看上去比较

复杂，要求分析与解：

-9-

就非常简单了。

,于是做成：1个数的倒数和为10括号。此题

要求的是

6,2个数是10所求的。10,90,72,56,42,

30,20,12,

,仍是符合题意的解。30和10的

代数法4.

分组法5.

的分数之n利用加法交换律和结合律，先将同分母

的分数相加。分母为分析与解：

和为

-10-

的分数之和依次为20~2原式中分母为

3练习

在自然数8.。1个数的倒数之和等于8个不同的

数，使这8中找出60-1

3练习答案与提示

o1.3

-11-

。56,42,30,20,12,8,6,8.2

9.5680e

3的有4个，等于2的有3个，等于1的有2解：

从前向后，分子与分母之和等于

的有9+99=108个。分子与分母之和小于（n-1）的

有n个人“"一般地，分子与分母之和等于

1+2+3+（个），+106=5671,,

（个）。5671+9=5680

工程问题一05小学六年级奥数教

案一

顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学

问题。其实，这类题目的内容已

不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等

许多内容。

-12-

在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：

工作效率X工作时间，=工作量

工作量+工作效率，=工作时间

工作量+工作时间。=工作效率

表示，也可1工作量指的是工作的多少，它可以是

全部工作量，一般用数

工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间

里所干的工作量。单位时间的选

取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、

秒等。

时”等。但/天"，或"工作量/工作效率的单位是

一个复合单位，表示成“工作量

在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

50天完成。甲、乙两队合干150天完成，乙队需

100单独干某项工程，甲队需工例

天后，剩下的工程乙队干还需多少天？

天，甲的工作效100。甲队单独干需I以全部工

程量为单位分析与解:

45天完成，乙单独做需36某项工程，甲单独做需

2例天完成。如果开工时甲.乙

天才完成任务。问：甲队干了多18两队合做，中

途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了

少天？

天，后面的工作甲,乙两队合干18将题目的条件

倒过来想，变为〃乙队先干分析：

需多少天？”这样一来，问题就简单多了。

天。12答：甲队干了

-13-

天。开始三个队一20天，丙队需15天，乙队需

10单独完成某工程，甲队需3例

天完成这一工程。问：甲队实际工作了6起干，因

工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了

几天？

天的工作量，剩下6天，去掉乙、丙两队6乙、丙

两队自始至终工作了分析与解：

的是甲队干的，所以甲队实际工作了

时完成。如果两人同时做，30时完成，王师傅独

做20一批零件，张师傅独做4例

个零件。这批零件共有多少个？60那么完成任务

时张师傅比王师傅多做

这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的

时间，分析与解：

时可将空池灌满，单开排5一水池装有一个放水管

和一个排水管，单开放水管5例

时后又打开排水管，那么再过1时可将满池水排完。

如果一开始是空池，打开放水管7水管

多长时间池内将积有半池水？

分钟。40乙需分钟，60走完全程甲需相向而行。

乙二人同时从两地出发，甲、6例

分钟。甲再出发后多长时间5分钟，甲因忘带东西

而返回出发点,取东西又耽误了5出发后

两人相遇？

这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有

速度，所以不能用时间、分析：

路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟，再

加上取东西的10分钟后返回，路上耽误5

分钟，乙需60分钟。我们将题目改述一下：完成

一件工作，甲需15分钟，等于比乙晚出发

分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这

道题应该用工程问题15分钟，乙先干40

的解法来解答。

分钟两人相遇。15答：甲再出发后

-14-

5练习

天完成，他们合干多少天才可完成工程15天完成,

乙单独干10某工程甲单独干1.

的一半？

48某工程甲队单独做需2.天后转交给乙队6天。

甲队先干了36天，乙队单独做需

天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。

10干，后来甲队重新回来与乙队一起干了

天后，剩下的乙队单独又12天完工。现在合挖30

一条水渠，甲、乙两队合挖需3.

天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？24挖

了

棵。这批树共有多少棵？50则完成任务时乙比甲

多植

40修一段公路，甲队独做要用5.天。现在两队同

时从两端开24天，乙队独做要用

米处相遇。这段公路长多少米？750工，结果在距

中占

I/\\\

时注满。如24时注满，单开乙管需18蓄水池有甲、

乙两个进水管，单开甲管需6.

12果要求时注满水池，那么甲、乙两管至少要合

开多长时间？

时，比快车从8两列火车从甲、乙两地相向而行，

慢车从甲地到乙地需7.

千米。求甲、乙两地的距离。40

答案与提示5练习

无2.14

3.120无

棵。4.350

米。5.6000

-15-

时。6.8

时都开着，乙管开12提示：甲管

千米。7.280

工程问题二06小学六年级奥数教

案一

上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程

问题。在较复杂的工程问题中，

工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵

活运用基本的分析方法，问题也不难解

决。

天，20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接

着做5一项工程，如果甲先做1例

天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成?

8那么乙接着做

本题没有直接给出工作效率，为了求出甲.乙的工

作效率，我们先画出示意分析与解：

图：

从上图可直观地看出：甲天的工作5天的工作量

相等，即甲12天的工作量和乙15

天”这一条件，5天〃等量替换题中〃甲工作4天

的工作量。于是可用“乙工作4量等于乙

（天）20+4=24通过此替换可知乙单独做这一工

程需用

-16-

甲.乙合做这一工程，需用的时间为

天，然后7天完成，现在乙队先做6一项工程,

甲.乙两队合作需2例

么还要几天才能完成？

题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道

他们合作分析与解：

4天〃的过程转化为〃甲.乙合做4天，甲再做7

们把〃乙先做天，乙再单独

天完成，乙则要超过规定时间2单独完成一件工作,

甲按规定时间可提前3例天3

天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时

间完成。2才能完成。如果甲、乙二人合做

问：甲、乙二人合做需多少天完成？

天后乙继续做，刚好按时完成，说2天，甲、乙合

做3乙单独做要超过分析与解：

明甲做天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的

3天等于乙做2

（天）。甲、乙合作需要10+5=15,乙需要

分钟可以完成；若同20号阀门，贝U3,2,1放

满一个水池的水，若同时打开4例

,3,2时打开分钟可以28号阀门，则4,3,1

分钟可以完成；若同时打开21号阀门，则4

2,1完成；若同时打开号4,3,2,1分钟可以完

成。问：如果同时打开30号阀门，则4,

阀门，那么多少分钟可以完成？

-17-

分钟，1号阀门4,3,2分钟，再同时打开1号阀

门3,2,1同时打开分析与解：

1分钟，再同时打开1号阀门4,3,1再同时打开

4,3,2,1分钟，这时，1号阀门4,2,

分钟，放水量等于一3号阀门各打开了

天完成；由二、三、四小队合干，需要8某工程由

一、二、三小队合干，需要5例

10,,,,四、三、二、一、四、三、二、如果按一、天

完成。15需四小队合干，由一、天完成；

的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪

个队最后完成？

类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和

是4与例分析与解：

6例甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、

乙、丙的顺序每人一天轮流去做，

恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、

甲的顺序轮流

件工作，要用多少天才能完成？

把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中,

无论谁先谁后，完分析与解:

成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成

的工作量及用的天数都相同（见下图虚

线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右

边）。

由最后一轮完成的工作量相同，得到

-18-

6练习

甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件

总数的一半。甲完成L

有多少个？

需的时间相等。间：甲、乙单独做各需多少天？

时李师傅再做6王师傅先做加工一批零件，3.时

李师傅8王师傅先做时可完成，12

时，剩下的两人合做，还需要多少小时？2时也可

完成。现在王师傅先做9再做

独修各需几天？

,12,10蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、

乙、丙管单独灌满一池水依次需要5.

时。上午15点水池被灌满。间：甲2点三个管同

时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午8

管在何时被关闭？

时。如果按照甲、乙、甲、乙、，,”的顺12时，乙

需9单独完成某项工作，甲需6.

时，那么完成这项工作需要多长时间？1序轮流工

作，每次

天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，这样交替

轮流17一项工程，乙单独干要7.

干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二

天甲干，这样交替轮流干，那么比上次

轮流的做法多用半天完工。问：甲单独干需要几天?

答案与提示6练习

个。1.360

天。12天，乙18甲2.

_19-

时。3.7.2

2・12+6时，所以单独干李需3时等于李干2解:

由下页图知，王干（时），3=21x

（时）。所求为2=14x3・21王需

时。9上午5.

分。15时6.10

-20-

天。7.8.5

解：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲

先还是乙先，两种轮流做的方式

完成的天数必定相同（见左下图）0

甲甲乙甲乙"〃甲乙甲乙甲乙〃〃甲乙

现在乙先比甲先要多用半天，所以甲先时，完成的

天数一定是奇数，于是得到右上

1图，其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量

也相同，说明乙做天等于甲做半天，所以

天。8.5天等于甲做17乙做

〃1巧用单位"07小学六年级奥

教教案一

”。在许多分数应用题中，都会遇到1在工程问题

中，我们往往设工作总量为单位”

”的问题，根据题目条件正确使用单位“1单位

“”,能使解答的思路更清晰，方法更简捷。1

分析：因为第一天,第二天都是与全书比较，所以

应以全书的页数为单位

页。240答：这本故事书共有〃

的量在变化，依次是〃全书的页数〃,〃第一天

看1本题条件中单位“分析与解：

“。按照常规思路，1个不同的单位"3"第二天

看后余下的页数”，出现了后余下的页数”、

“反而更方便。我们先把全书1”，转化分率。但

在本题中，不统一单位-1需要统一单位”

”,1看成"

-21-

,就可以求出第三天看后余下的部分占全书的1

看成〃

共有多少本图书？

故事书增加了，图书的总数随之增加。题中出现两

个分率，分析与解：

”的一个窍门就是抓〃不变1”。统一单位这

给计算带来很多不便，需要统一单位”

1量"为单位""。

本题中故事书,图书总数都发生了变化，而其它书

的本数没有变，可以以

图书室原来共有图书

类似，甲、乙组人数都发生了变化，不变量是甲.

乙组的总人数，3与例分析与解：

〃。1所以以甲.乙组的总人数为单位〃

-22-

例在某一时刻，小轿车在后。货车在中，客车在

前，公路上同向行驶着三辆汽车，5

分钟，小轿车5分钟，小轿车追上了货车；又过了

10货车与客车、小轿车的距离相等；走了

追上了客车，再过多少分钟，货车追上客车？

根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相

等”，设这段距离为分析与解：

分钟，小轿车追上了货车“，可知小轿10”。由

“走了1单位”

分钟比客车多行了两个这样的距离，每分钟多行这

段距离的(10+5)可知小轿车

两班各有多少人？

（人）。84-48=36乙班有

7练习

-23-

树上原有多少个桃?

筐。共收西红柿多少千克？6剩下的部分收完后

刚好又装满

39人，其中女生有94六年级两个班共有学生7.

人，已知一班的女生占本

7练习答案与提示

个。1.35

个。2.60

吨。3.64

-24-

千克。4.384

人。21人，女生15男生6.

Ao49A,二班45一班7.

比和比例08小学六年级奥数教案

比的概念是借助于除法的概念建立的。

・5两个数相除叫做两个数的比。例如，。6:5

可记作6

比值。

7=9:3表示两个比相等的式子叫做比例（式）.

如，。判断两个比是否成比例，21:

就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，

这两个比能组成比例，否则不能组成比例。

a,那么d：b=c：a在任意一个比例中，两个外项

的积等于两个内项的积。即：如果

d=bx0ex

o连比中的"："c:b:a两个数的比叫做单比，

两个以上的数的比叫做连比。例如

不能用代替，不能把连比看成连除。把两个比

化为连比，关键是使第一个比的后项等

于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最

小公倍数。例如，

,3:二4,乙：丙6:二5甲：乙

-25-

，所以4]=12,[6因为

,9:3=12:4,12:6=10:5

得到甲：乙：丙o9:12:=10

oX,求9:(x-l)=7:3已知1例

7解：,9x(x-l)=3x

,7-r9xx-l=3

人。求44名女生后，全班共有4,又来了2:3六

年级一班的男、女生比例为2例

现在的男、女生人数之比。

（人），由男、女生人数之比为44-4=40原来共

有学生分析与解：知，如果将2:3

份。由此求出2份，女生占3份，那么男生占5

人数分为

：24（人），男生人数不变，现在男、女生人数之

比为16+4=20人变为4女生增加

5:20=6o

中，我们用到了按比例分配的方法。2在例

将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比

例分配。按比例分配的方法是将

按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到

总份数，各项与总份数之比就是各个分

量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。

,现在要配制这12:2:1硫磺粉和水的重量比是

配制一种农药，其中生石灰、3例

2700种农药千克，求各种原料分别需要多少干克。

,1+2+12=15，总份数是12:2:1千克，各分

量的比是2700总量是分析：

,180答：生石灰、硫磺粉、水分别需要干克。

2160和360

中，总3在按比例分配的问题中，也可以先求出每

份的量，再求出各个分量。如例

（干克），然后用每份的量分别乘以各分量的

15=180-2700,每份的量是1+2+12=15份数是

,就可以求出各个分量。12,2,1千克分别乘以

180份数，即用

-26-

分钟，徒弟加工一个零件9个，师傅加工一个零件

用400师徒二人共加工零件4例

分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？

15用

解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的

工作效率分析与解：

有多少学生?

按比例分配得到

6例元，小15元，小客车30某高速公路收费站

对于过往车辆收费标准是：大客车

:4小客车与小轿车之比是，6:5某日通过该收费

站的大客车和小客车数量之比是元。10轿车

210,收取小轿车的通行费比大客车多11元。求这

天这三种车辆通过的数量。

6中的6:5大客车、小轿车通过的数量都是与小客

车相比，如果能将分析与解：

[4统一成4中的11:4与，就可以得到大客车：

小客车：小轿车的连比。6]=12,

，得到33:11=12:4和12:6=10:5由

o33:12:=10大客车：小客车：小轿车

33辆小客车、12辆大客车、10以辆小轿车为一

组。因为每组中收取小轿车的通行

（组）。这天30=7-210（元），所以这天通过的

车辆共有10=30x33-30x10费比大客车多

通过

-27-

（辆），7=70x=10大客车

（辆），7=84x=12小客车

（辆）。7=231x=33小轿车

8练习

米，求这块地的面积。96,周长是35一块长

方形的地，长和宽的比是1.

o问：分米450,体积是4:5,宽与高的比是3:

4一个长方体，长与宽的比是2.

3

长方体的长、宽、高各多少厘米？

3.；5:3那么小明与小强的钱数之比是如果小明

买了这把小刀，元。6一把小刀售价

o问：两人原来共有多少钱？11：9如果小强买了

这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是

只，乙每取走4只乙就取走5只贝壳，甲每取走

138甲、乙、丙三人分5.只丙就5

只。问：最后三人各分到多少只贝壳？6取走

：2:1各段路程的长度之比是下坡三段，平路、分

成上坡、干米，60一条路全长6.

千米5。已知他走平路的速度是5:4:3,某人走

各段路程所用的时间之比是3时，他走完/

全程用多少时间？

,分为甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组2:3某

俱乐部男、女会员的人数之比是7.

,乙组中男、女会员的人如果甲组中男、女

1：30

会员的人数之比是7:8:10的人数之比是

,那么丙组中男、女会员的人数之比是多少？3:5

数之比是

答案与提示8练习

o米1.540

厘米。60厘米，高75厘米，宽100长2.

15:=20解：长：宽：高，12:

。12）=125=5x15x（20^450000

（厘米），5=75x=15（厘米），宽5=100x

=20长

（厘米）。5=60x=12高

元。3.86

元钱。根据小强的钱数可列方程x解：设小明有

-28-

（元）。36+50=86

元。4.2640

只。48只，丙40只，乙50甲5.

,（25+20+24）=2+138f24:20:=25解：甲：

乙：丙

（只），20=40x=2（只），乙25=50x=2甲

二2丙（只）°24=48x

时。6.12

9:7.5

百分数09小学六年级奥数教案

百分数有两种不同的定义。

这种定义着眼于形式，把百分数作为分数的一的分

数叫做百分数。io。分母是）1（

种特殊形式。

-29-

这表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的

百分之几的数叫做百分数。）2（

种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百

分数又叫百分比或百分率。

百分数通常不写成分数形式，而采用符号"％”来

表示，叫做百分号。

在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率

（百分数），这三者的关系如下：

分率（百分数），=比较数+标准数

比较数，=标准数X分率

标准数。=比较数+分率

根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解

答许多与百分数有关的应用题。

%o问：一25%,一车间的男工占全厂男工的80

纺织厂的女工占全厂人数的1例

车间的男工占全厂人数的百分之几？

%0=20%1-80%”,所以男工占全厂人数的80

因为“女工占全厂人数的分析与解：

20%”,所以一车间的男工占全厂人数的25又因

为“一车间的男工占全厂男工的%

%。=5%25x

90%,去年秋季植树的成活率为85棵，成活率为

500学校去年春季植树2例%0

棵树，那么去年学校共种活了多少棵树？20已知

去年春季比秋季多死了

（棵）。500-425=75（棵），死了=425%85x

500去年春季种的树活了分析与解：

（棵）。所以，=495%90%）X1-90+（55

（棵），活了75-20=55去年秋季种的树，死了

（棵）。425+495=920去年学校共种活

题的人数分别占参加考试人数5,4,3,2,1道

试题。做对第5一次考试共有3例

85的％。如果做对三道或三道以上为及格，那么

这次考试的及格80%,75%,90%,95%,

率至少是多少？

因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几，所

以不妨设总量即参加分析与解：

100考试的人数为。

（人）；=15%）l-85x（100题的有1由此得

到做错第

同理可得，做错第人。20,25,10,5题的分别

有5,4,3,2

（题）。15+5+10+25+20=75总共做错

（人），推知至多有3=25+75道以上为不及格，

由3道或3—人做错人不及格，25

%075人及格，及格率至少是75也就是说至少

有

10五年级学生比四年级学生少％,25育红小学四

年级学生比三年级学生多4例%,

人，那么三至六年级38%。如果六年级学生比三

年级学生多10六年级学生比五年级学生多

共有多少名学生？

%,五年级是三年级125以三年级学生人数为标准

量，则四年级是三年级的分析:

%x(125的％)。因为已知六年1+10%)x

(l-10%x(125%),六年级是三年级的1-10

人，所以可根据六年级的人数列方程。38级比三

年级多

x设三年级有解：名学生，根据六年级的人数可

列方程：

-30-

,=x+38%）1+10%）x（l-10%x（125xx

=x+38%110%x90%xl25xx,

,1.2375x=x+38

,0.2375x=38

ox=160

名学生。160=年级有

（名）。=200%125x160四年级有学生

（名）。180%）=l-10x（200五年级有学生

（名）。160+38=198六年级有学生

（名）。160+200+180+198=738

名。738答：三至六年级共有学生

将糖溶于水就得到了糖水，我们都知道…溶液配

比问题在百分数应用题中有一类叫

其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量

不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，

+糖=也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）与

糖水（溶液水）二者重量的比值决定的，这

个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶

于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的

比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量

有如下基本关系：

溶剂重量，+溶质重量=溶液重量

溶质重量+溶液重量，二溶质含量

溶质重量+溶质含量，=溶液重量

溶液重量x溶质含量。=溶质重量

克水中，含糖量（溶90克白糖溶于10溶质含量

通常用百分数表示。例如，

有含糖量为5例%,需要再加入多少克10克,

要使其含糖量加大到600%的糖水7

糖？

（克）。=42%7x600%的糖水中，有糖（溶质）

7克含糖量为600在分析与解：

）600+x（溶液有克,）42+x（此时溶质有％。

10可使其含糖量加大到克糖，x设再加

克，根据溶质含量可得方程

-31-

克糖。20需要再加入

发现含水量降低一星期后再测，干克，100%的一

种水果90仓库运来含水量为6例

%。现在这批水果的总重量是多少千克？80到

可将水果分成"水"和"果"两部分。一开始，果

重分析与解：

（千克）。=10%）l-90x（100

%，"果"与"水”的比值为80一星期后含水量

变为

千克，可求出此时“水”的重量为10因为"果"

始终是

（千克）。10+40=50所以总重量是

9练习

%o照此计算，完成任务还需多少天？20天完成

了全长的5某修路队修一条路，1.

三车间人数比二%,20二车间人数比一车间少％,

25服装厂一车间人数占全厂的2.

人，全厂有多少人？156%0已知三车间有30车

间多

%,20第三块地的面积比第二块多％,80第二块

地的面积是第一块地的有三块地，3.

公顷，求三块地各多少公顷。69三块地共

%。问：全年全勤的人至94%,92%,86%,90

某工厂四个季度的全勤率分别为4.

少占百分之几？

%24加了一定数量的水后稀释成酒精含量为％的

酒精溶液若干，30有酒精含量为5.

的溶液，如果再加入同样多的水，那么酒精含量将

变为多少？

%的硫酸23%和18克，需要用硫酸含量为1000%

的硫酸溶液20配制硫酸含量为6.

溶液各多少克?

%,现在这堆煤10%的煤，经过一段时间的风干,

含水量降为14.5有一堆含水量7.

的重量是原来的百分之几？

9练习答案与提示

天。1.20

（天）。-5=20%20+5解：

（人）。=600%25v）］%（l+30x）%［（l>204-

156Ao解：2.600

24和20,25第一.二、三块依次为3.%［1+80

-69公顷。解：第一块地的面积为

69-25=24（公顷），第三块地为=20%80x25

（公顷），第二块地为）］=25%（1+20%X+80

（公顷）。

-32-

o（人次）10+14+8+6=38则四个季度没有全勤

的共有人，100解；设全厂有％。4.62

人，所以至少有38当四个季度没有全勤的人互不

相同时，全年没有全勤的人最多，为

%o62（人）全勤，即全年全勤率至少为100-

36=62

%o5.20

克。稀释成酒精含量为30克，则溶质为100%的

酒精溶液有30解：设酒精含量为

克水，则酒精含量变为25(克)。若再加入一

100=25%24+30%的酒精溶液需加水24

%o(100+25+25)=20^30

克。400克,6.600

克。根据溶质重量可得(100-x)%的溶液23克，则

需要X%的溶液18提示：设需要

ox=600%o解得20x=1000%23x+(1000・x)%

18xx

%o7.95

吨，则由含X吨。又设风干掉水份14.5吨煤，则

有水份100解：设原有

%o95(吨)，是原来的100・5=95现在煤的重

量为

10

商业中的数学小学六年级奥数教案一

市场经济中有许多数学问题。同学们可能都有和父

母一起去买东西的经历，都知道

商品有定价，但是这个价格是怎样定的？这就涉及到

商品的成本、利润等听起来有些陌生的

名词。

这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用。

成本，■售出价二利润

100-80=20元，贝U这件商品的利润是100元，售

出价是80例如，一件商品进货价是

（元），利润率是

在这里我们用〃进货价”代替了〃成本〃，实际上

成本除了进货价，还包括运输费、

仓储费、损耗等，为简便，有时就忽略不计了。

个的钱12元的利润卖出11与按每个个的钱，13

元的利润卖出7某商品按每个1例

一样多。这种商品的进货价是每个多少元？

-33-

利润"，根据前、后两次卖出的钱+进货价二元。

由"售出价X设进货价是每个解：

相等，可列方程

(,12)XX+11(13=)XX+7

13x+91=12+132

。x=41

元。41答：进货价是每个

租用仓库堆放2例个月，3元。这些货物原计划

要销售7000吨货物，每月租金3

个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以

结算下来，反而2由于降低了价格，结果

元。问：每千克货物的价格降低了多少元？1000

比原计划多赚了

原计划租仓库分析与解：7000个月的租金1个月,

节约了2个月，现只租用了3

元，说明降价损1000元，但现在只多赚了7000

元。如果不降低价格，那么应比原计划多赚

(元)。7000-1000=6000失是

(元)。3000=2-6000千克货物，所以每千克

货物降低了3000吨，即3因为共有

100张先生向商店订购了每件定价3例张先生对

商店经理说：件。80元的某种商品

%,5件。"商店经理算了一下，若减价4元，我

就多订购1"如果你肯减价，那么每减价

元。问：这种商品的成本是多少元？100则由于张

先生多订购，获得的利润反而比原来多

(元)，张=5%5xl00%就是每件减5元。减价

x设这种商品的成本是分析与解：

(件)。由获得利润的情况，可列方程5=20x4先

生可多买

),80+20)x(100-5-x(80+100=)xlOO-

x(

,8000-80x+100=9500-100x

,20x=1400

,x=70

元。70这种商品的成本是

看出，商品降价后，由于增加了销售量，所以获得

的利润有时反而比3、例2由例

原来多。

元。从产地到商店的距1.20某商店到苹果产地去

收购苹果，收购价为每千克4例

元。如果在运输及销售过程中的损耗是1.50千米

收1千米，运费为每吨货物每运400离是

%的利润率，零售价应