初二因式分解方法附专项练习题

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应

用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法

灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需

的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独

特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组

分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解

的方法、技巧和应用作进一步的介绍.

、提公因式法ma+nib+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因

式分解中常用的公式，例如：

(1)(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2)(a±b)2=a2±2ab+b2------a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3-----a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

222

例.已知ab,c是AABC的三边，fitz+h+c=ah+hc+caf

则AABC的形状是()

A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形

解：a2+C1=ab+bc+ca=2a1+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca

=>(a—Iff+(b—c)2+(c—a)2=0=>a=h=c

三、分组分解法.

(一)分组后能直接提公因式

例1、分解因式：am+an+bm+hn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用

公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有

bf因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考

虑两组之间的联系。

解：原式=«〃%+an)+(bm+bn)

=a{m+n)+b(m+/?)~~A每组之间还有公因式!

=(jn+fi)(a+b)

例2、分解因式：2QX-1Oay+5by-bx

解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。第二、三项为一组。

解：原式二(2ax-1Gay)+(5by-bx)原式二(2QK-bx)+(-1Qay+5by)

=2a(x-5y)-b(x-5y)=x(2a-b)-5y(2a-b)

=(x-5y)(2a-b')=(2a-b)(x-5y)

练习：分解因式1、a1-ab-\-ac-bc2、xy-x-y+\

(二)分组后能直接运用公式

例3、分解因式：A2->12+ax+ay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因

式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=(/一p2)+(公+分)

=(x+y)(x_y)+Q(x+y)

=(x+y)(x-y+a)

例4、分解因式：a2-2ab+b2-c2

解：原式二(1一2"+〃)一°2

=(a-b)2-c2

=(a-b-c)(a-b+c)

练习：分解因式3、x~-x—^y1-3y4、x~~y~~—2,yz

综合练习：(1)x3+X2>'-A>?2-y3(2)ax2-bx2+bx-ax-^a-b

(3)x~+6xy+9y2-16。~+8a—1(4)a2-6ab+12b+9b2-4a

(5)a，-2/-9(6)4a2x-4a2y-b2x+b2y

(7)厂-2xy-xz-\-yz+y~(8)—2a+b1—2b+2ab+1

(9)y(y-2)-(m-l)(m+1)(10)(a+c)(a-c)+b(b-2a)

(11)(Z?+c)+/?2(6z+c)4-c2(«+/?)+2abc(12)a3+b3+/-3abc

四、十字相乘法.

(一)二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式----X2+(〃+</»+pq=(x+p)(x+q)进行分解。

特点：(1)二次项系数是1;

(2)常数项是两个数的乘积；

(3)一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例,已知0V〃W5,且〃为整数，若2/+34+。能用十字相乘法分解因

式，求符合条件的。.

解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求

A=〃—4ac>0而且是一个完全平方数。

于是A=9-8。为完全平方数，a=l

例5、分解因式：A2+5X+6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6),从中可以发现只有2X3

的分解适合，即2+3=5o1X2

解：x2+5A+6=X2+(2+3)X4-2X3I3

=(x+2)(x+3)1X2+1X3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数

的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：犬―7工+6

解：原式=/+[(-1)+(-6)]x+(-1)(-6)

X

=(X-1)(A-6)・6

(-1)+(-6)=-7

2

练习5、分解因式(l)x~+14x+24(2)Q~—15。+36(3)x4-4x—5

练习6、分解因式(l)x?+x—2(2)y2—2y—15(3)x2—1Ox—24

(二)二次项系数不为1的二次三项式——ax1+bx+c

条件：(1)a=a[a2

(2)c=c1c.C2

(3)b=aAc2+a2c{b=a1c2+gC]

1

分解结果：ax+bx+c-{aAx+cx)(a2x+c2)

例7、分解因式：3/—llx+10

分析：1X?2

3，5

(.6)+(-5)=-11

解：3x2—1lx+10=(x-2)(3x-5)

练习7、分解因式：(1)5X2+7X-6(2)3X2-7X+2

(3)10x--17x+3(4)-6y2+1ly+10

(三)二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：a2-8ah-128b2

分析：将〃看成常数，把原多项式看成关于。的二次三项式，利用十字相

乘法进行分解。

18b

1-^

8b+(-16b)=-8b

解：a2-8ab-l28b2=a2+[Sb+(~\6b)]a+8bx(-16Z?)

二(〃+8b)(。-16/?)

练习8、分解因式⑴x?-3xy+2y2(2)m2-6mn+8n2(3)a2-ab-6b2

(四)二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2x2-Ixy+Gy2例10、x2y2-3xy+2

把个看作一个整体1-1

2尸、3v

(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3

解:原式=(x-2y)，2x-3y)解：原式二(肛—l)(xy—2)

练习9、分解因式：(1)\5x2+lxy-4y2(2)ci~x"-6dur+8

综合练习10、(1)8x6-7x3-1(2)I2X2-11X>-15>2

(3)(x+y)2-3(x+y)-10(4)(a+b)2-4a-4b+3

(5)x2y2-5x2y-6x2(6)m2-4mn+4n2-3m+6/2+2

(7)x2+4xy+4y2-2x-4y-3(8)5(a+b)2+23(a2-h2)-10(a-b)2

(9)4——4xy—6x+3y+)J—10(10)12(x+y)2+HU2->,2)+2(x-y)2

思考：分解因式：abcx2+(<72/?2+c2)x+

五、换元法。

例13、分解因式(1)2005X2-(20052-1)X-2005

(2)(x+l)(x+2)(x+3)(x+6)+x2

解：(1)设2005=a,贝！］原式=a/一(6/一1»一a

=(ar+l)(x-6z)

=(2005x+l)(x-2005)

(2)型如+e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=，+7x+6)(/+5x+6)+/

设x?+5x+6=A,则x?+7x+6=A+2x

；・原式=(A+2x)A+x2=A2+2>4x4-x2

=(4+X)2=(.X2+6X+6)2

练习13、分解因式(1)(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)

(2)(x2+3x+2)(4x2+8x+3)+90

(3)(c?+1尸+(/+5)2-4(〃2+3)2

例14、分解因式(1)2X4-X3-6X2-X+2

观察；此多项式的特点一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1,

并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式二(2x2—x—6---1——)=xL[2(x2H——)—(xd—)—6]

设％贝!)工2+二=，2-2

・••原式二炉[2(产-2)-r-6]=x2(2r2-r-10)

=X2(2/-5X/+2)=X2|2X4---5||X+-+2

Ix)\x

=(2.r2-5x4-2)(x2+2x+l)

=(X+1)2(2X-1)(X-2)

(2)x4-4x3+x2+4x+l

i、r11

解：原式二r(F—4x+1H1--)—x~%2+--4X——+1

XX厂JIX；

设X---=y>贝！IX2-l-----=y2+2

xx

・・・原式=F(y2_4y+3)=x2(y_i)(),_3)

—x—l^x2—3x-1)

练习14、(1)6x4+7x3-36%2-7x+6

(2)x4+213+X2+1+2(x+x2)

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式(1)X3-3X2+4

解法1一一拆项。解法2——添项。

原式=1+1-3x2+3原式二x3-3x2-4x+4x+4

=(x4-1)(x2—x-\-1)—3(x+1)(x—1)=X(JT2—3x—4)4-(4x+4)

=(x+l)(x2-x+1-3x+3)=x(x+l)(x-4)+4(x4-1)

=(x+l)(x2-4x+4)=(x+l)(x2-4x+4)

=(x+l)(x-2)2=(x+l)(x-2)2

(2)X9+X6+X3-3

解：原式二(7-1)+(1-1)+(/一])

=—1)(X6+1+1)+(J-])(工3+])+(工3-1)

=U3-1)(X6+X3+1+X3+1+1)

=(x-l)(x2+x+l)(x6+2x3+3)

练习15、分解因式

(1)x3-9x+8(2)(x+l)4+(x2-l)2+(x-l)4

(3)X4-7X2+1(4)x4+x2+2cix+\-a2

44444

(5)x+/+(x+y)(6)2a~b~+2//+2b2c2-a-b-c

七、待定系数法。

例16、分解因式工2+盯一6)，+工+13〉一6

分析：原式的前3项，+孙_6y2可以分为(x+3y)(x—2y),则原多项式

必定可分为(％+3y+m)(x-2y+n)

解：设x"+町〉一6y*+工+13y-6=(x+3y+/%)(x-2y+〃)

,:(x+3y+m)(x-2y+n)=x2+xy-6y2+(m+n)x+(3〃-2m)y-mn

x2+xy-6y2+x-i-13y-6=x2+xy-6y2+(m+n)x+(3/?-2m)y-irut

〃?+〃=1

m--2

对比左右两边相同项的系数可得-2m=13,解得

n=3

mn=-6

・,・原式=(x+3y—2)(x—2y+3)

例17、(1)当加为何值时，多项式工2-)，2+"优+5)一6能分解因式，并分

解此多项式。

(2)如果x'+ax?+Z?x+8有两个因式为x+1和x+2,求〃的值。

(1)分析：前两项可以分解为(x+y)(x-y),故此多项式分解的形式必

为*+y+〃)(x-y+6)

解：设X2-y2+〃ZK+5y-6=(x+y+〃)(x-y+/7)

贝!jx2—y2+)m+5y—6=工2一y2+(。+〃)％+(人一。))，+4人

a+b=ma=-24=2

比较对应的系数可得：b-a=5,解得：,b=3或＜b=-3

ah=-6m=1/??=-!

・・・当加=±1时，原多项式可以分解；

当"2=1时，原式=(x+y—2)(%—>+3)；

当/%=—1时，原式=(x+y+2)(x-y—3)

(2)分析：/+以2+陵+8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘,

因此第三个因式必为形如x+c的一次二项式。

解：设丁+。才2+6X+8=(%+D(X+2)(X+C)

贝!)1+4厂+bx4-8=x^+(3+c)x~+(2+3c)x+2c

a=3+ca=1

解得［=14,

；・</?=2+3c

2c=8c=4

・'・Q+b=21

练习17、(1)分解因式厂-3xy—10y~+x—9y—2

(2)分解因式/+3盯+2)产+5x+7y+6

(3)己知：一一2盯一3)/+6%-14丁+〃能分解成两个一次因式

之积，求常数〃并且分解因式。

(4)%为何值时，龙2一2孙+02+3尢-5)，+2能分解成两个一次

因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：习题大全

经典一：

一、填空题

1.把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做把这个多项式分解

因式。

2分解因式：m3-4m=.

3.分解因式：x-4y2=.

4、分解因式：_/_4x_4=o

5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值

为.

6、若X一)'=工肛=6,则/)，一盯2=,+2)3=。

二、选择题

7、多项式15/帝〃2+5〃22〃_2062〃3的公因式是()

A、5/7?72B、^m~n~c^5mF0、广

8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()

A(a+3)(a-3)=”-9B-人2=(a+b)(a-b)

.3

m~-2m-3=mm-2---

cr-4Q-5=Q(Q-4)-5m

c、D、

10.下列多项式能分解因式的是()

(A)x2-y(B)x2+l(C)x2+y+y2(D)X2-4X+4

2

11.把(x—y)—(y—x)分解因式为()

A.(x—y)(x—y—1)B.(y—x)(x—y—1)

C.(y-x)(y—x—1)D.(y-x)(y—x+1)

12.下列各个分解因式中正确的是()

A.10ab2c+6ac24-2ac=2ac(5bJ+3c)

B.(a—b)2—(b—a)2=(a—b)2(a—b+l)

C.x(b+c—a)—y(a—b—c)—a+b—c=(b+c—a)(x4-y—1)

D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(llb-2a)

13.若k-12xy+9/是一个完全平方式，那么k应为()

A.2B.4C.2y2D.4y2

三、把下列各式分解因式：

22

14、nx-ny15>4m-9n

17、a3-2a2b+ah2

16、

(X2+4)2-16X2

18、1)199("2+〃)2-16(m-/7)\

五、解答题

20、如图，在一块边长。=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长〃=3.33cm

的正方形。求纸片剩余部分的面积。

21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径

d=45cmf外径0=75。%,长/=3加。利用分解因式计算浇制一节这样

的管道需要多少立方米的混凝土？（万取3.14,结果保留2位有效数字）

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。

⑵x4-l=(x2+l|(x+l)(x-l)

⑶f-1=(/+1)(42+1)(工+1)(1-1)

(4)X16-1=(X8+1)(/+1)(/4-l)(X4-l)(A-l)

⑸_______________________________________________________

经曲一.

因式分解小结

知识总结归纳

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法

互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广

泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；

2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5.结果如有相同因式，应写成幕的形式；

6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7.因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首

先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不

能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利

用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、

试除法、拆顶（添顶）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容。

1.通过基本思路达到分解多项式的目的

例L分解因式tXL

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把

分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取

公因式后，再进一步分解；也可把x5—X%x3-x2,X—1分别看成一组,

此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：原式

=X3(X2—X-Fl)—(x2—X+1)

=(X3-1XX2-X-F1)

=(x-TXx2-X-t-lXx24-X4-1)

解―.：原式二(X’-X，)+(x3-X~)+(X-1)

=x4(x-l)+x2(x-l)+(x-l)

=(x-1)(x4+x2+1)

=(x-l)L(x4+2x2+l)-x2J

=(X-l)(x2-X+l)(x2+X+1)

2.通过变形达到分解的目的

例1.分解因式

解一：将3x2拆成2}+e,则有

原式=x3+2x2+(x2-4)

=X2(X+2)+(X+2)(X-2)

=(x+2)(x2+x-2)

=(x-l)(x+2)2

解二：将常数Y拆成TT,则有

x3-14-(3x2—3)

=(x—IXx2+x+l)+(x—1X3X+3)

=(X-1XX24-4X+4)

=(X-1XX+2)2

3.在证明题中的应用

例：求证：多项式彦的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。

本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：

=(x+^)(x—^(x—^)(x―7)+1G0

—(x+2XK—7XK―2Kx—③+1(0

=0^

ifty=x2—5x,则

4.因式分解中的转化思想

例：分解因式：令目巴后

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b,b+c与a+2b-c

的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：设a+b-A,b+c-B,a+2b+c-A+B

「.原式=(A+B)3-A3-B3

=A3+3A2B+3AB2+B3-A3-B3

=3A2B4-3AB2

=3AB(A+B)

=3(a+b)(b+c)(a+2b+c)

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要

的。

中考点拨

例1.在〜BZ中，三边a,b,c满足a?-16b2-c2+6ab+1Obc=0

求证：

证明：^—

:,a'+6ab+9b?-c?+lObc-25b'=0

即(a+3bf—(c—5b/二0

(a+8b-c)(a-2b+c)=0

a+b>c

/.a+8b>c,B(a+8b-c>0

于是有a-2b+c=0

即a+c=2b

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不

能丢分。

例2.已知：XH—=^4,贝短H=

XX

解：—I~~~—1I—

犬XX

=(X+-)[(X+-)2-2-1]

XX

=2x1

=2

说明：利用wTv+S2=等式化繁为易。

XTx

题型展示

1.若X为任意整数，求证：的值不大于10。。

解：v(7-X)(3-X)(4-X2)-1(X)

=-(X-7)(x+2)(x-3)(x-2)-100

=-(x2-5x-14)(x2-5x+6)-IOO

=-[(x2-5x)-8(x2-5x)+16]

=-(x2-5x-4)2<0

.\(7-X)(3-X)(4-X2)<100

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题.一个多项式的值不大

于100,即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形

成完全平方是一种常用的方法。

2.将

=a2+a2+2a+l+(a24-a)2

=2(a24-a)H-l+(a2-Fa)2

=(a2+a+l『

说明：利用因式分解简化有理数的计算。

实战模拟

1.分解因式：

2.已知：的值。

3.矩形的周长是28cm,两边x,y使殳求矩形的面

积。

4.求证：n'+5n是6的倍数。（其中n为整数）

5.已知：a、b、c是非零实数，且

求a+b+c的值。

6.已知：a、b^c为三角形的三边，比较了的大小。

经典三：因式分解练习题精选

一、填空：(30分)

1、若/+2(m—3)x+16是完全平方式，则皿的值等于o

2、x2+x+m=。一〃了贝ij团=n=

3、2/)，2与i2f),的公因式是—

4、若xn)-yn=(x+y2)(x-y2)(x2+y"),则m=,n=

5、在多项式3y2・5y3=i5),5中，可以用平方差公式分解因式的

有，其结果是

6、若/+2(“一3次+16是完全平方式，贝o

7、x~+()x+2=(x+2)(x+)

8、已知l+X+%2_...+/004+/005=o,则％2。06=

9、若16(。一力)2+M+25是完全平方式M=o

10、x2+6x+(—)=(x+3)2,%2+()+9=(x-3)2

11、若9/+Z+y2是完全平方式，则k二。

12、若，+4x—4的值为0,则3/+12x—5的值是________。

13>若X?15=(x+l)(x-15)则a-o

14、若x+y=4,丁+;/=6则芍，=。

15、方程%2+4%=0,的解是________o

二、选择题：（10分）

1、多项式一一3）（工一。）+。/。一x）3-幻的公因式是（）

A、一a、B、-a(a-x)(x-b)C、a{a-x)D、-a(x-a)

2、若/n*+Zx+9=（2x-3产，则m,k的值分别是（）

A^m=-2,k=6»B、m=2»k=12,C、m=—4,k=—12、Dm=4>k=12、

3卜歹|J名式：+）~,一工2_+（_y）2,尤4_y4中能

用平方差公

式分解因式的有（）

的值是（）

三、分解因式：（30分）

1、X4-2X3-35X2

2、3x6-3x2

3、25(/—2y)~—4(2y—犬尸

4、x2-4xy-\+4y2

5、-x

6、x3-\

•y,

7^ax^-bx~-bx^-cix+b-a

8、X4-18X2+81

9、9X4-36/

10、(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)—24

四、代数式求值(15分)

1＞已知2x-y=：,xy=2,求2工4)户一1),4的值。

2、若x、y互为相反数，且。+2)2-()，+1)2=4,求x、y的值

3、已知Q+〃=2,求32一/)2-8(。2+42)的值

五、计算：(15)

3

(1)0.75x3.66——x2.66

4

（3）2x56?+8x56x22+2x44?

六、试说明：（8分）

1、对于任意自然数n,5+7）25户都能被动24整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇

数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算（8分）

1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果

保留两位有效数字）

2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘

米求这两个正方形的边长。

八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进

行了描述：

甲：这是一个三次四项式

乙：三次项系数为1,常数项为1。

丙：这个多项式前三项有公因式

T：这个多项式分解因式时要用到公式法

若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将

它分解因式。（4分）

经典四:

因式分解

一、选择题

1、代数式a3b2-ia2b3,la3b'+a4b3,a4b2-a2b'的公因式是()

22

A^a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b3

2、用提提公因式法分解因式5a(x—y)—10b•(x-y),提出的公

因式应当为()

A、5a—10bB、5a+10bC、5(x—y)D、y—x

3、把一8n?+12n?+4m分解因式，结果是()

A、—4m(2m—3n)B、—4m(2m2+3m—1)

C>-4m(2m2-3m-1)D、一2m(4m2一6m+2)

4、把多项式一2x—4x2分解因式，其结果是()

A、2(-X4-2X2)B、-2(xl+2x2)C、-x2(2x2+4)D、一

2X2(X2+2)

5、(-2),+(-2)网等于()

A、-21998B、21998C、nl999D、21999

6、把16—x"分解因式，其结果是()

A^(2—x)1(4+x2)(4—xJ)

C、(4+x2)(2+x)(2-x)D、(2+X)3(2-X)

7、把a-2a2b2+6分解因式，结果是()

A、a2(a2—2b2)+b'B、(a2—bJ)JC>(a—b)1D>(a+

b)2(a—b)2

8、把多项式2xJx+；分解因式，其结果是，)

A、(2x-y)2B、2(x—；)2c、(x-y)2D、；(x

-I)2

9、若9选+6(1<-3)@+1是完全平方式，则k的值是()

A、±4B、±2C、3D、4或2

10^—(2x-y)(2x+y)是下列哪个多项式分解因式的结果()

A、4x:：—y24x:;+y2C^—4x:—y2D、—4x:'+y2

11>多项式x?+3x—54分解因式为()

A^(x+6)(x—9)B、(x—6)(x+9)

C、(x+6)(x+9)D、(x-6)(x-9)

二、填空题

12x2—4xy—2x=(x—2y—1)

2、4a3b2—lOaE=2a2b2()

3、(1—a)mn+a—1=()(mn-1)

4、m(m—n)2—(n—m)2=(_________)(_________)

5、x2-()+16y2=(?

6、x：!—(尸二(x+5y)(x—5y)

7、a2—4(a—b)2=(),()

8>a(x+y-z)+b(x+y-z)-c(x+y—z)=(x+y-

z)•()

9^16(x—y)2-9(x+y)2=()•()

10、(a+b)3—(a+b)=(a+b)•()•()

11、x2+3x+2=()()

12>已知x'+px+12=(x—2)(x—6),则p=.

三、解答题

1、把下列各式因式分解。

(1)x“一2x3(2)3y'—6y'+3y

(3)a2(x—2a)2—a(x—2a)2(4)(X-2)2-X+2

(5)25m~—10mn+n"(6)12a2b(x—y)—4ab(y—

x)

(7)(x-1)2(3x—2)+(2—3x)(8)a2+5a+6

(9)X2-11X+24(10)y2-12y-28

(11)x'+4x—5(I2)y1-3y3-28y2

2、用简便方法计算。

(1)9992+999(2)2022-542+256X352

3、已知：x+y1,xy=l.求/y+ZxV+xy?的值。

9

四、探究创新乐园

1Q

1、若a—b=2,a-c=—,求(b—c)2+3(b—c)+—的值。

24

2、求证：ir'-n^-n^iPxiog

经典五:

因式分解练习题

一、填空题：

1.+8a'+24a=4a()i

2.(a—3)(3—2a)=(3—a)(3-2a)；

3.ab3=ab(a"b)()i

4.(1-a)mii+a-1=()(mn-l)i

5.00009不=(汽

6.x3-()+T7=(x-)ai

-----------io—

7.()a2-6a+1=()ai

8.8x3-()=(2x-)(+6x+9)i

9.x'---,+2yz=x'-()=()(X

10.2ax-10ay+5by-bx=2a()-b()=()()；

11.xa+3x-10=(x)(x)i

12.若m2—3m+2=(m+a)(m+b),则a=,b=

13・x5-1y3=(x-1y)()i

o/

14.a2-be+ab-ac=(a2+ab)—()=()()i

15.当m=时，x2+2(m—3)x+25是完全平方式.

二、选择题：

1.下列各式的因式分解结果中，正确的是

[]

A.a2b+7ab—b=b(a2+7a)

B.3x2y—3xy_6y=3y(x—2)(x+1)

C.8xyz—6x2y2=2xyz(4—3xy)

D.-2a2+4ab—6ac=-2a(a+2b—3c)

2.多项式m(n—2)—m2(2—n)分解因式等于

[]

A.(n—2)(m+m2)B.(n—2)(m

—m2)

C.m(n—2)(m+1)D.m(n—2)(m

—1)

3.在下列等式中，属于因式分解的是

[]

A.a(x—y)+b(m+n)=ax+bm—ay+bn

B.a2—2ab+b2+l=(a—b)2+l

C.-4a2+9b2=(—2a+3b)(2a+3b)

D.X2-7X-8=X(X-7)-8

4.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是

A.a2+b2B.—a2+b2

C.-a2-b2D.—(—a2)+b2

5.若9x2+mxy+l6y2是一个完全平方式，那么ni的值是

A.一12

B.±24

C.12

D.±12

6.把多项式an+4—an+1分解得

A.an(a4—a)

an-1(a3—1)

C.an+1(a—1)(a2—a+1)D.an+1(a-

1)(a2+a+l)

7.若a2+a=—1,则a4+2a3—3a2—4a+3的值为

A.8

C.10D.12

8.已知x2+y2+2x—6y+10=0,那么x,y的值分别为

A.x=l,y=3

B.x=l,y=-3

C.x=-1,y=3D.x=l,

y=-3

9.把(m2+3m)4—8(m2+3m)2+16分解因式得

[]

A.(m+1)4!m+2)2B.(m—1)2(m—2)2(m2+

3m—2)

C.(m+4)2(m—1)2D.(m+l)2(m+2)2(m2+3m

-2)2

10.把x2—7x—60分解因式，得

[]

A.(x—10)(x+6)B.(x+5)(x

-12)

C.(x+3)(x—20)D.(x—5)(x

+12)

11.把3x2—2xy—8y2分解因式，得

]

A.(3x+4)(x—2)B.(3x

-4)(x+2)

C.(3x+4y)(x—2y)D.(3x

—4y)(x+2y)

12.把a2+8ab—33b2分解因式，得

A.(a+11)(a—3)B.(a

-lib)(a-3b)

C.(a+llb)(a-3b)D.(a-

11b)(a+3b)

13.把x4—3x2+2分解因式，得

[]

A.(x2—2)(x2—1)B.(x2

—2)(x+1)(x—1)

C.(x2+2)(x2+l)D.(x2

+2)(x+1)(x—1)

14.多项式x2—ax-bx+ab可分解因式为

[]

A.—(x+a)(x+b)B.(x

—a)(x+b)

C.(x—a)(x—b)D.(x

+a)(x+b)

15.一个关于x的二次三项式，其X2项的系数是1,常数项

是一12,且能分解因式，这样的二次三项式是

[]

A.x2—1lx—12或x2+1lx—12

B.x2—x—12或x2+x—12

C.x2—4x—12或x2+4x—12

D.以上都可以

16.下列各式x3—x2—x+1,x2+y—xy—x,x2—2x—y2+l,

(x2+3x)2—(2x+l)2中,不含有(x—1)因式的有

[]

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

17.把9-x2+12xy-36y2分解因式为

[]

A.(x—6y+3)(x—6x—3)

B.—(x—6y+3)(x—6y—3)

C.—(x—6y+3)(x+6y-3)

D.—(x—6y+3)(x—6y+3)

18.下列因式分解错误的是

I1

A.a2—bc+ac-ab=(a-b)(a+c)

B.ab—5a+3b—15=(b—5)(a+3)

C.x2+3xy—2x—6y=(x+3y)(x—2)

D.x2—6xy—l+9y2=(x+3y+l)(x+3y—1)

19.已知a2x2±2x+b2是完全平方式，且a,b都不为零，

则a与b的关系为

A.互为倒数或互为负倒数B.互为相反数

C.相等的数D.任

意有理数

20.对X4+4进行因式分解，所得的正确结论是

[]

A.不能分解因式B.有因

式X2+2X+2

C.(xy+2)(xy-8)D.(xy

-2)(xy-8)

21.把a4+2a2b2+b4—a2b2分解因式为

[1

A.(a2+b2+ab)2B.(a2+b2+ab)(a2

+b2-ab)

C.(a2—b2+ab)(a2—b2~ab)D.(a2+b2—

ab)2

22.-(3x-l)(x+2y)是下列哪个多项式的分解结果

[]

A.3x2+6xy—x—2yB.3x2—

6xy+x—2y

C.x+2y+3x2+6xyD.x+2y

—3x2—6xy

23.64a8—b2因式分解为

]

A.(64a4—b)(a4+b)B.(16a2

—b)(4a2+b)

C.(8a4-b)(8a4+b)D.(8a2

-b)(8a4+b)

24.9(x—y)2+12(x2—y2)+4(x+y)2因式分解为

[]

A.(5x—y)2B.(5x+y)2

C.(3x—2y)(3x+2y)D.(5x—

2y)2

25.(2y—3x)2—2(3x—2y)+1因式分解为