初中数学几何模型大全+经典题型(含答案) (一)

初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

［称全等模

角分线模型

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，

形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直

也可以做为轴进行对称全等。

寸称半角模

说明：上图依次是45。、30。、22.5\15。及有一个角是30。直

角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、

等边三角形、对称全等。

专全等模

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

转半角模

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，

通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全

等。

自旋转模

构造方法:

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考

察的内容。通过字模型可以证明。

型变形

D

D

D.

A

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变

化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰

三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组

成三角形证全等。

中点旋转:

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等

腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与

中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直

角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的

等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等

三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

中点模型

几何最值模

对称最值（两点间线段最短）

线段和差模型

同侧、异侧两线段之和最短模型同侧、异侧两线段之举取小模型

轴对称模型

三线段之和过桥模型四边形周长三角形册长

以短模型最小模型最小模型

1称最值（点到直线垂线段最短）

说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距

离。

转最值（共线有最值）

说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线

段的和为最大值，定长线段的差为最小值。

三角形T四边形

四边形一四边形

图II

说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形

状。

形一正方形

H

说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形

状改变

方形+等腰直角三角形T正方形

互相似模

E

B

说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300

角的直角三角形成旋转相似。

推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三

边所成夹角符合旋转字的规律。

似模

AA

说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中

起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。

说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度.45

度.60度形式出现的居多。

（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与

不同之处。另外，相似、射影定理.相交弦定理（可以推广到圆

幕定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等

乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。

说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或

者结论的比值来做相应的平行线。

A模型一：手拉手模型-旋转型全等

a条件：均为等边三角形

a结论：①AO4C・&OBD,0LAEB-60°；0OE平分LAED.

(2)等朦RM

A条件:dA’"7）均为等胖直角三角形

a结论：①A〃/C・ACBI）,②LAEH-90°,

a③OE平分乙4E。。

<3）任直融三角形

a条件：AOeACD均为等腰三角形

a结论：①AOJC■\OBD.②LAEB-L.AOB.

a③8平分乙4£7，

A模型二：手拉手模型-旋转型相似

a条件：（?）〃力8,将MK7）旋转至右图位贸

A结论；

a右图中①A0C”AO43=AO/Ct^OBD,

a②延长4C交BD千点.E,必有LBEC•LBOA

（2）特殊情况

»条件：CDHAB,乙4（M・90。，将AOC0旋转至右图

位时

a结论：右图中①AOC〜AO/8=AO/ICAO8/）j②

延长4c交5。于点E,必有乙BEC・LBOAf

tanZOCD

；@BDlACf

⑨接、必有AD*AB⑥ACitBD

1ADBC,-'♦0%9,（对角线互相垂直的四边形）

A模型三：对角互补模型

A条件：①LAOB-LIKE-90°,②如平分LAOH

a结论：①CD=CE,②。，）・。卜：-42OC',③

S8cLsAOCQ+S皿.£■-

A证明提示：

初乍垂直，如图，证明AC。”"ACE\,

②过点C作CF1OC,如上图（右），证明AODC・AFEC；

>当乙”£的一边交4。的延长线于点D时：

Lt三怪论：（DCD=C£（不变）；

②OE-OD・4ioC、③S-—S….Q"

il睇论证明方法与笛T幡况Th可自行合试.

(2)全等型-120°

>条件：①乙(08・2,OC£-12O03

a②。(平分乙

A结论：①CD-CE3②。D♦OE・OC3

。。。

a、OOCE*、WCD+8M

04

证明梅示：①可缪考“全军型-90°”证法一；

②如图：在。3上取一点尸，使OF=OC,证明AOW

为等边三角形。

⑶全等型任意的

a-2a.Z.DC£-ISO-2n.@CD-CE.

a结论：d)OC平分LA()Rt^OD^OE-2OC•cosa,

AQSODC,-♦Sm-OC'•Sina•cosa

a当LIKE的一边交A0的延长线于点D时（如右上图）：

原结论变成：①、

②>

③，

可参考上述第②种方法进行证明。清思考冽合条件微化片模型的影峋・

A对角酬银型总结：

①常见初始条件：四边形对角互扑：注意两点、：四点共圆及直角三角形斜边中线J

②始条件“角平分线”与“两边相等”的区别：

③所他见的^昵戋作法；

@注意（K平分乙/阳时，LCDE-LCED-LCOA-,C°相等如何推导？

.A模型四二角含半角模型90。

（1））含半角模型9Q.1

A条件：①正方形ABCDJ②LEAF-45°,

>结论：①下尸■。尸♦8E；②ACEF的周长为正方形.48CO周长的一半.

也可以这样：

»条件：①正方形尸+

A结论：㈤尸・45。

《2）甬含半角犊型90・1

a条件：①正方形/&CO,②LEAF-45°：

a结论：EF-DF-BE

a$«®腐翎IT蹴示：

6）角含半角酶90・-3J，亦I

a条件：①RTMBC,②LDAE-45°,/M\\

»结论：心+C£-O£'UDECBDE«

若ZJA£旋车锄28c外部时，结论8°,+C£=06仍然成立.

DRECDB£C

<4）角含半角鼓型90•变形

i£/:AC《方上不唱一》

VZ/M«-44'.二

VZ.I/V/-N«Z-45.AVI/V/<^\IfT

,ai/.WHE^XUX

AH.4E

A条件：①正方形/BC'Qf②LEAF-45°,

a结论：A〃〃：力等腰直角三角形。

A模型五：倍长中线类模型

<O

》条件：6巨影加火"3②；③〃广・瓦

*第论：AFLCF

徽型提取：平行线刈>〃&£；②平行线间绯殳有中点、/»'-£/

可以构造“8”字全等MDF・AHEF.

(2)

aeff：诉行四边形4AC。；②8C-2AB；③AM-DM；@CE±.W.

a结论：LEMD-3乙A4E人

HMn：.4B//CD.M/-/JA/

心长EM.构迨/VM修W.X/N/F•逢MCM构

遗¥・MZC■NfCF

道只构遣8字分导nut做♦za”关系・勉的大

小“化

A模迎六：相似三角形38°旋耗模里

<1>相<0二届影（等■««）3eo-型的长中线法HIMry：M.吴DF1-。.<e户。・，>尸・段

M<Y>•H€i•M>ULF.5/X£为■JL筑

a条件sOMDE、M及均

为等腰直角三角形，②&Y.8:Wi

EF・CF

A结论M®W-sr,②

nr±BF

<o相慎二m影《等MO・簸转检举t田去

*条件：①g/“,均为等腹由角三角形J②片尸

»结论：①D尸一；②O/*±BK

也；・与K■离・\，ATD、、，//《•

4*/”•\HK廿彳匕的C'G与EH

<2>1MMn：<KKAG.fe.*>一血.0★

»条件=①A048SAOCj②乙CAH-ZLO/X'-90°<N»nAH<e/wm.•4&vm•

0BE・CE.

cry，仲逸飞“他整.”史<£:“，JEHre

〜给论=<D人E-I〉E3(2)"ED-URC

与HH.GA4”化Q£Z>

法<KDEX”•低、17%.WM

条件，0&C人Rs&CDC»<g)^CJAB--QO°Q小g■个年与ULF,、《，〃—\，/TO.此

RE-CE.

.♦・・MZZHA・4”《・nm•<K。25

结论：CD-DE-②"ED-2jBC

ZH'—AACJ收网"0*rbJL衾隽<

儿性3Q.a*，5/，〃"■一«川»

A模型七：最短路程模型

总体：以上力常H的“计体吴最黜44问我,

”博*之闷，人我与忖”e〉

HA：①动电&AA上:②抬点.片停./X

MMn：相作。*十OC时体力.？・0^

/V-/X?.itAA/ftlfffia4

.(〃，♦p.miqx'Ul(•♦>1*州)

A条件：①OC平分UOB,②M为。8上一定Q③P为火上TQ④。为08上一动点;

A求："夕"。最］时，E0的位舞？

a条件；*0,4),8(-20)J(0.“)

PB^—PA

AjofiS：〃为何值时，5最小

csinZ.OAC———■

>求解方法：①'.轴上取(Q.0),使5，②过H作以〃/C,交.》轴于点%即为所求j

tanLEBO-tanLOAC--..

③2,即演01).

DnAa<«4.UB-2(a«>cMri♦仲।a>na(x<«4.tw-2

®Iftvw.〃所・xr

2yo，Awr②"&"〃・4.rw».or/♦侵<i・

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乐:模型九：相似三角形模型

(2)楙6角跳I型制注

44<4

*忤：4龙身一伊阳/“刀・4*"19

“呛："x.的■.«*{〃

平行美：DE//HC

“论：AC2-.<£«AB

”论：叱jn・叱4E■D把E《；！京M度边委时应）

第力用法介・

ABACBCr«A..IBxECBCxAC

iX'•BE工HA,CE20BE*.4E

<3）相©三角彩模型一线三角型

条件：左阳；Z-4J1('-Z.4<E-ZC7)A-,Xr-

♦凰】NABC-ZACE-4CDE-S条件：中国.PA力■的切想

amtZ.<ZiC-Z.4CT-ZXJDE-45“论：AR9:/<lx/^-/J<x/7>

“论：“打留・，•今a箝”论

中图：。第・P《'PB

①1，欣5/V/M：®J//M/V-/Kx<7>

P.4xPR・”x1，D

一~三.答第幡曳电摩雷用Hit豆方”A.4被现

以上批论功可忒通过他似三角刀遗仔建明

<

初中数学经典几何题（附答案）

经典难题（一）

1.已知：如图，0是半圆的圆心，c、E是圆上的两点，CD±

AB,EF±ABfEG±CO.

求证：CD二GF.（初二）

2、已知：如图"是正方形ABCD内点，/PAD=NPDA=15°.

求证：WBC是正三角形.（初二）

3、如图，已知四边形ABCD.AiBiGDi都是正方形，Az.B2.

c2,D2分别是AA1、BBKCCKDD1的中点.

求证：四边形A?B2c2D2是正方形.（初二）

AD

D2

B

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD二BC,M、N分别是

AB、CD的中点，AD.BC的延长线交MN于E、F.

求证：/DEN=/F.

经典难题（二）

1、已知：△ABC中,H为垂心（各边高线的交点），O为外心,

且OMLBC于M.

（1）求证：AH=20M;

（2）gzBAC=60°,求证:AH=AO.（初二）

2、设MN是圆0外一直线，过O作OA，MN于A,自A引

圆的两条直线，交圆于B.C及D、E,直线EB及CD分别交

MN于P、Q.

求证：AP=AQ.（初二）

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、

DE,设CD.EB分别交MN于巴Q.

求证：AP=AQ.（初二）

D

4、如图，分别以SBC的AC和BC为一边，在SBC的外侧

作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点.

求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.（初二）

经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DEIIAC,AE=AC,AE与

CD相交于F.

求证：CE二CF.（初二）

2、如图，四边形ABCD为正方形，DEIIAC,且CE=CA,直

线EC交DA延长线于F.

求证：AE=AF.（初二）

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF_LAP,CF

平分NDCE.

求证：PA=PF.（初二）

4.如图，PC切圆。于C,AC为圆的直径，PEF为圆的割线,

AE、AF与直线P0相交于B、D求证AB=DC,BC二AD（初

A

B0D

=)

经典难题（四）

1.已知：SBC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3,PB

=4,PC=5.

求：/APB的度数.（初二）

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，HzPB^Xz

求证：zPAB=zPCB.（初二）B

BC

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB-CD+AD-BC=

AC・BD.（初三）

4.平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC.AB上的一点,

AE与CF相交于P,且

AE=CF.求证:zDPA=zDPC.（初二）

经典难题（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC,

求证：V3<L<2.

2,已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB

+PC的最小值.

3.P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a,PB=2a,PC=

3a,求正方形的边长.

4、如图，△ABC中，/ABC=zACB=80°,D、E分别是AB.

AC上的点，zDCA=30°,zEBA=20°,求/BED的度数.

A

经典难题（一）

1.如下图做GH_LAB,连接EOo由于GOFE四点共圆，所以/

GFH=zOEGf

即"HF-AOGE,可得铛=等=詈，又CO=EO,所以

G卜GHCD

CD=GF得证。

2.如下图做9GC使与AADP全等，可得WDG为等边△,从

而可得

△DGC^^APD2aCGR得出PC=AD=DCffflzDCG=zPCG

=15°

所以NDCP=30°，从而得出APBC是正三角形

BC

3.如下图连接BG和ABi分别找其中点F,E,连接C2F与A2E并

延长相交于Q点，

连接EB2并延长交CzQ于H点连接FBz并延长交A2Q于G

点，

由AzEfAiBifBiG二FB2,EB2=fAB=fBC=FCi，又N

GFQ+NQ=90。和

NGEB2+/Q=90。,所以NGEB2=/GFQXZB2FC2=ZA2EB2,

可得4B2FC2字A2EB2，所以AzB2=B2c2,

又NGFQ+NHB2F=90。和NGFQ=NEB2A2,

从而可得NA2B2c2=90°,

同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

BC

4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得/

QMF=NF,NQNM二NDEN和NQMN=NQNM，从而得出n

DEN=NF。

经典难题(二)

LQ)延长AD到F连BF,做OG±AFf

XzF=zACB=zBHD,

可得BH=BF,从而可得HD=DF,

又

AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB,OC,既得NBOC=120。，

从而可得NBOM=60。，

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得证。

3.作OFUD,OGJLBE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,

OQo

由工AD_AC_CD_2FD_FD

ABAEBE2BGBG

由此可得aADF*ABG,从而可得/AFC=NAGE。

又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得NAFC=NAOP和n

AGE=zAOQ,

zAOP=zAOQ,从而可得AP=AQ。

E

c

.过点分别作所在直线的高可得

4E,C,FABEG,CI,FHO

EG卜FH

PQ=~2~

由AEG睦，可得EG=AI,由aBFIH孚CBI,可得FH=BI。

经典难题（=）

L顺时针旋转^ADE,到aABG,连接CG.

ffi?zABG=zADE=900+450=1350

从而可得B,G,D在一条直线上，可得SGB'CGB。

:隹出AE=AG=AC=GC,可得^AGC为等边三角形。

zAGB=30°,既得/EAC=30。，从而可得NAEC=75°O

XzEFC=zDFA=450+30°=75°.

可证:CE=CFO

2.连接BD作CH.LDE,可得四边形CGDH是正方形。

AC=CE=2GC=2CH,

可得NCEH=30°,所以NCAE二NCEA=/AED=15°,

00

XzFAE=900+450+15=150f

从而可知道NF=15。，从而得出AE=AFO

FD

3.作FG±CD,FE±BE,可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y,BP=X,CE二Z,可得PC=Y・X。

tanzBAP=tanzEPF=^=—4—,可得YZ=XY*+XZ,

YY-X+Z

即Z(Y・X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出^ABPMAPEF,

得到PA=PF，得证。

经典难题（四）

L顺时针旋转^ABP