初高中数学衔接教材(代数部分)

初中学数学连接教材

求关于X的不等式的解.

编者的话

现有初中学数学教材存在以下“脱节

1、肯定值型方程和不等式，初中没有讲，中学没有特地的内容却在运用；

2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而中学还在运用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解,

对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；

中学教材中很多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化

是中学数学中函数、不等式常用的解题技巧；

5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而中学则是贯

穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解

二次不等式、推断单调区间、求最大最小值、探讨闭区间上的函数最值等等

是中学数学所必需驾驭的基本题型和常用方法；

6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦

达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简洁的常规运算，和难度不大的应

用题，而在中学数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有特地讲授，

因此也脱节；

7、图像的对称、平移变换初中只作简洁介绍，而在中学讲授函数时，则

作为必备的基本学问要领；

8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，中学则作为

重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必需考的综合题型之一；

9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）

和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交

弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；

10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。中学则在运用。

另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等

等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延长发掘，不利于中学数学的学习。

新的课程改革，难免会导致很多学问的脱节和漏洞。本书当然也没有详

尽列举出来。我们会不断的探讨新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初

中学数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。

欢迎广阔读者提出珍贵看法，我们将不胜感谢！

书目

第一章数与式

1.1数与式的运算

1.1.1肯定值

1.1.2乘法公式

1.1.3二次根式

1.1.4分式

1.2分解因式

其次章二次方程与二次不等式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

2.1.2根与系数的关系

2.2二次函数

2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

2.2.2二次函数的三种表达方式

2.2.3二次函数的应用

2.3方程与不等式

2.3.1二元二次方程组的解法

第三章相像形、三角形、圆

3.1相像形

3.1.1平行线分线段成比例定理

3.1.2相像三角形形的性质与判定

3.2三角形

3.2.1三角形的五心

3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用

3.3圆

3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆鬲定理

3.3.2点的轨迹

3.3.3四点共圆的性质与判定

3.3.4直线和圆的方程（选学）

1.1数与式的运算

1.1.1.肯定值

肯定值的代数意义：正数的肯定值是它的本身，负数的肯定值是它的相

反数，零的肯定值仍是零.即

肯定值的几何意义：一个数的肯定值，是数轴上表示它的点到原点的距

离.

两个数的差的肯定值的几何意义：目表示在数轴上，数回和数习之间的

距离.

例1解不等式：I—I>4.

解法一：由三।，得回；由三]，得向；

①若日,不等式可变为[—I,

即日>4,解得xVO,

又x<1,

/.x<0；

②若日,不等式可变为,

BP1>4,

・•・不存在满意条件的x；

③若日,不等式可变为I―/,

即日>4,解得x>4.

又x23,

/.x>4.

综上所述，原不等式的解为

x<0,或x>4.

解法二：如图1・1一1,日表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点

A之间的距离|PA|,BP|PA|=|X-1|；|x-3|

表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离巴『I

|PB|,即|PB|=|x—3|,pcABD

所以，不等式㈢>4的几何意义即（）I------H—r

为"~

图1.1-1

2.选择题:

(1)若日是一个完全平方式则回等于

()

(A)回(B)区(C)区(D)国

(2)不论可，目为何实数，I-I的值

()

(A)总是正数(B)总是负数

(C)可以是零(D)可以是正数也可以是

负数

1.1.3.二次根式

一般地，形如目的代数式叫做二次根式,根号下含有字母、且不

能够开得尽方的式子称为无理式.例如,日等是无理式，

而三］,N3,区等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)

有理化，须要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，假

如它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如

回与回，日与明仁］与闫，与㈢，等等.一般

地，区与冈，［X|与［X］,闫与二|互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中

的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化

去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进

行，运算中要运用公式一.;而对于二次根式的除法，通常

先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多

项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.

2.二次根式a的意义

日日

例1将下列式子化为最简二次根式：

(1)回；(2)；(3).

解：(1)；

(2)厂一■;

(3)I-・

例2计算：Ml.

解法一:1X1一

=IX|

=叵I

=3

=□•

解法二:[-1=a

=国

=□

=r^i

=0.

例3试比较下列各组数的大小：

(1)L^J和【一I；(2)区|和[x]

解：(DI―nu■

又4>2也

.".-\/6+4>^^6+2-^2,

.,•区1Vg.

例4化简：.

解：I—■

例5化简：(1)日；⑵[X[

解：(1)原式N]

口

(2)原式二区S,

■■』_

.IXI,

国，

所以，原式=a.

例6已知[x■,求的值.

IX1

练习

1.填空：

(1)□=——;

(2)若[,则目的取值范围是__

(3)_;

(4)若区J,则

2.选择题：

等式亘成立的条件是

()

(A)口(B)口(C)口(D)

3.若,求a的值.

4.比较大小：2—小木一木(填”＞「或"V”).

1.1.4.分式

1.分式的意义

形如习的式子，若B中含有字母，且目,则称可为分式.当M手。时，

分式可具有下列性质：

H；

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

像因，团这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

例1若,求常数a的值.

・・・国

解得.

例2(1)试证：(其中n是正整数)；

(2)计算：；

(3)证明：对随意大于1的正整数n,有[X・

(1)证明：:,

・・・r^~l(其中n是正整数)成立.

(2)解：由(1)可知

1X■

a

=0.

(3)证明：:

=s，

又n22,且n是正整数,

1

.二干肯定为正数，

例3设区,且e>1,2c2—5ac+2a2=0,e的值.

解：在2c2—5ac+2a2=0两边同除以a2,得

2e2—5e+2=0,

(2e—1)(e—2)=0,

■,-e=2V1,舍去；或e=2.

e=2.

练习

1.填空题：

对随意的正整数n,3(叵])；

2.选择题：

若s,则1

()

(A)1(B)gco](D)]

3,正数区满意1—J,求□的值.

4.计算[―I

习题1.1

A组

1.解不等式:

(1)目;⑵

(3)

2.已知目,求J的值.

3.填空：

(1)I

(2)若，则回的取值范围是

(3)

B组

1.填空：

(Da,H,则w]

(2)若IX■,贝I][X]

2.已知：[x],求的值.

C组

1.选择题：

(1)若[一;,则

()

(A)国(B)国(C)।一।(D)L^l

(2)计算叵]等于

()

(A)a(B)□(C)日(D)a

2.解方程|x■■

3.计算：|■

4.试证：对随意的正整数I,有[三三I

1.2因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分

解法，另外还应了解求根法及待定系数法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)x2-3x+2；(2)x2+4x-12；

(3)I■；(4)i一1.

解：(1)如图1.1-1,将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常

数项2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,

就是x2—3x+2中的一次项，所以，有

x2—3x+2=(x—1)(x—2).

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以干脆将图1.1-1

中的两个X用1来表示(如图1.1—2所示).

(2)由图1,1—3,得

x2+4x—12=(x—2)(x+6).

(3)由图1.1-4,得

1■—1X・X、/一1

(4)1x।—xy+(x—y)—1y1

=(x—1)(y+1)(如图1.1—5所示).图i.i—5

课堂练习

一、填空题：

1、把卜列各式分解因式：

(1)Lxjo

(2)L^Jo

(3)L^Jo

(4)i-J0

(5)

o

(6)L^Jo

(7)L_Jo

(8)LK|o

(9)i-Jo

(10)

\x■o

2\：____B

3、若「■则o

二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)

1X在多项式(1)NJ(2)NJ(3)(4)I-1

(5)0中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

G只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式i1■得()

、[nu.、[.一■

ABC\DxI

3、I一■分解因式得()

A、

C\[-D\I■

4、若多项式NI可分解为g，则八目的值是()

A、日，日B、曰，日C、曰，日D、曰

5、若1—■其中目、回为整数，则可的值为()

A、因或目B、因CxaD、臼或臼

三、把下列各式分解因式

4、r^i

2.提取公因式法

例2分解因式：

(1)I=1(2)I1・

解：(1).I・=।一・

(2)I—・=rx■=厂

=[—I.

或

课堂练习：

一、填空题：

1、多项式11中各项的公因式是

2、Ir—・O

3、1o

4、

5、I=一■<

6、I-J分解因式得。

7.计算日=

二、推断题：(正确的打上f,错误的打上“X”)

1、I

()

2、C

()

3、

()

4、匚

()

3：公式法

例3分解因式：(1)日(2)[x1

解：(1)NJ=I___——__・

(2)1x-二■------■

课堂练习

—X，目，目的公因式是

二、推断题：(正确的打上“〃，错误的打上"X")

1、I■......................................()

2、:----J.................................................

()

3、I__I..............................................................................

()

4、r-~..................................................................

()

5、1J.........................................................................

()

五、把下列各式分解

1\Ix।2、凶

3、4、

4.分组分解法

例4(1)(2)

(2)

或

课堂练习：用分组分解法分解多项式(1)

(2)1—■

5.关于x的二次三项式ax2+bx+c(a于0)的因式分解.

若关于X的方程—1的两个实数根是因、3,则二次三项式

就可分解为[X1

例5把下列关于x的二次多项式分解因式：

(1)日；(2)1T.

解：(1)令日二0,则解得,

・・曰=II

(2)令【x】=0,则解得[—■

练习

1.选择题：

多项式的一个因式为()

(A)目(B)田(C)回(D)目

2.分解因式：

(1)x2+6x+8；(2)8a3-b3；

(3)x2-2x—1；(4)।.

习题1.2

1.分解因式：

(1)臼;(2)I-1；

(3)1■；(4)「,

2.在实数范围内因式分解：

(1)C^l;(2)E^J；

(3)r^i；(4)■■.

3.日三边可，可，回满意1一■,试判定向的形态.

4.分解因式：x2+x—(a2—a).

5.(尝试题)已知abc=1,a+b+c=2,a?+b2+c2=，求区|+区|+叵］

的值.

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

｛情境设置：可先让学生通过详细实例探究二次方程的根的求法，

如求方程的根(1)(2)(3))

我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(aH0),用配方法可以将其

变形为

r^i①

因为a#=0,所以，4a2>0,于是

(D当b2—4ac>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个

不相等的实数根