2026年高考数学考前20天冲刺讲义（四）（解析版）

目录

倒计时08天

➤直线与圆（选填题）……………01

聚焦直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、弦长与切线等综合5大考向23个核心考点

倒计时07天

➤圆锥曲线（选填题）……………27

聚焦椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质等5大考向14个核心考点

倒计时06天

➤概率与统计综合（选填题）…………………79

聚焦概率模型、统计图表、数字特征、分布列与独立性检验等6大考向21个核心考点

倒计时05天

➤平面向量（选填题）…………111

聚焦向量加减数乘、数量积、夹角、模长、共线垂直与坐标运算等6大考向12个核心考点

倒计时08天为者常成，行者常至。

——《晏子春秋》

直线与圆（选填题）

考情透视--把脉命题直击重点

►命题解码：①核心考点包括直线的倾斜角与斜率、位置关系（平行垂直）、距离公式（点到

线、线到线），圆的方程（标准式、一般式）、直线与圆的位置关系（相切、相交、相离）、弦

长与切线方程、圆与圆的位置关系。②难度以中低档为主，常以数形结合为解题核心，注意几

何性质（垂径定理、圆心到直线距离）优先于代数联立。

►高考前沿：聚焦圆上的点到直线距离最值、切线长最值及两圆公共弦方程；突出直观想象与

数学运算，强调利用对称性、几何意义快速求解，避免繁琐计算。

考点抢分--核心精粹高效速记

终极考点1两点间的距离公式

，，22

Ax1,y1Bx2,y2ABx2x1y2y1

终极考点2中点坐标公式

xx

12

x0

Ax,y，Bx,y，Mx,y为的中点，则：2

112200AByy

y12

02

终极考点3三角形重心坐标公式

Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,Mx0,y0为ABC重心

xxx

123

x0

3

yyy

y123

03

终极考点4直线的斜率与倾斜角的定义及其关系

（1）斜率：表示直线的变化快慢的程度；k0，直线递增，k0，直线递减，

（2）倾斜角：直线向上的部分与x轴正方向的夹角，范围为0,

（3）直线的斜率与倾斜角的关系：ktan

030456090120135150

33

tan013不存在31

33

终极考点5两点间的斜率公式

yy

21

Ax1,y1，Bx2,y2，kAB

x2x1

终极考点6直线的斜截式方程

ykxb，其中k为斜率，b为y轴上的截距

终极考点7直线的点斜式方程

已知点Px0,y0，直线的斜率k，则直线方程为：yy0kxx0

终极考点8直线的一般式方程

AxByC0A2B20

终极考点9两条直线的位置关系

（1）平行的条件

k1k2

①斜截式方程：l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，l1//l2

b1b2

A1B2A2B1

②一般式方程：l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，l1//l2

A1C2A2C1

（2）重合的条件

k1k2

①斜截式方程：l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，l1,l2重合

b1b2

②一般式方程：

ABAB

重合1221

l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，l1,l2

A1C2A2C1

（3）垂直的条件

①斜截式方程：l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，l1l2k1k21

②一般式方程：

l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20

终极考点10点到直线的距离公式

Ax0By0C

点Px0,y0，直线l:AxByC0，点到直线的距离为：d

A2B2

终极考点11两条平行线间的距离公式

C1C2

l1:AxByC10，l2:AxByC20，d

A2B2

终极考点12圆的标准方程

xa2yb2r2，其中圆心坐标为a,b，半径为r

终极考点13圆的一般方程

x2y2DxEyF0（D2E24F0）

22

DED2E24F

配方可得：xy，

224

DED2E24F

圆心坐标为(,)，半径为r

222

终极考点14表示圆的充要条件：

D2E24F0

终极考点15点与圆的位置关系

222

已知点P(x0,y0)，圆的方程为：xaybr

222

若x0ay0br，点P在圆内

22

若x0ay0br，点P在圆上

222

若x0ay0br，点P在圆外

终极考点16直线与圆的位置关系

直线l:ykxb，圆C：xa2yb2r2

0,相交

代数关系0,相切，其中为联立方程根的个数，

0,相离

dr，相交

几何关系dr，相切，其中d为圆心到直线的距离

dr，相离

终极考点17圆上一点的切线方程

2222

xyr在px0,y0处的切线方程为：xx0yy0r

2222

xaybr在px0,y0处的切线方程为：xx0xayy0ybr

终极考点18圆与圆的位置关系

设圆C1的半径为r1，设圆C2的半径为r2，两圆的圆心距为d

若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切

dr1r2dr1r2dr1r2

若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆

r1r2dr1r20dr1r2d0

两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；

两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；

两圆内含，公切线的条数为0条；

终极考点19弦长公式

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则222

AB1kx1x21k(x1x2)4x1x2

11

或：AB1yy1(yy)24yy

k212k21212

终极考点20圆上一点到圆外一点的距离的最值

dmax点到圆心的距离半径

dmin点到圆心的距离半径

终极考点21圆上一点到圆上一点的距离的最值

dmax圆心到圆心的距离2半径

dmin圆心到圆心的距离2半径

终极考点22圆上一点到直线距离的最值

dmax圆心到直线的距离半径

dmin圆心到直线的距离半径

终极考点23过圆内一点的最长弦和最短弦

最长弦：直径；最短弦：垂直于直径

真题精研--复盘经典把握规律

考向01点到直线的距离公式

1．（2024·北京·高考真题）圆x2y22x6y0的圆心到直线xy20的距离为（）

A．2B．2C．3D．32

【答案】D

【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.

22

【详解】由题意得x2y22x6y0，即x1y310，

132

32

则其圆心坐标为1,3，则圆心到直线xy20的距离为2.

121

故选：D.

解题妙法

三步解题法：

1.代公式：点到直线的距离。

��0+��0+�

0022

��,��:��+��+�=0�=�+�

2.注意形式：若直线方程为斜截式，先化为一般式再代入。

3.几何应用：常用于求三角形的高、�圆=中��弦+心�距、平行线间距离�（�在−�一+条�线=上0取点），以及判断

点与圆的位置关系（圆心到直线距离与半径比较）。

口诀：点线距离代公式，分母根号平方和；分子绝对值莫忘，几何意义要记牢。

考向02直线与圆的位置关系求参数

2．（2022·北京·高考真题）若直线2xy10是圆(xa)2y21的一条对称轴，则a（）

11

A．B．C．1D．1

22

【答案】A

【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．

1

【详解】由题可知圆心为a,0，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a010，解得a．

2

故选：A．

2

3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线l:xmy10与C:x1y24交于A，B两点，写出满足

8

“ABC面积为”的m的一个值______．

5

11

【答案】2（2,2,,中任意一个皆可以）

22

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长AB，以及点C到直线AB的距离，结合面积公式即可解出．

【详解】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB24d2，

1284525

所以S△ABCd24d，解得：d或d，

2555

1122452251

由d，所以或，解得：m2或m．

1m21m21m251m252

11

故答案为：2（2,2,,中任意一个皆可以）．

22

考向03切线问题

4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆x2y21和(x3)2(y4)216都相切的一条直线的方程

________________．

35725

【答案】yx或yx或x1

442424

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】[方法一]：

显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0，

|c||34bc|

于是1，4.

1b21b2

故c21b2①，|34bc||4c|.于是34bc4c或34bc4c，

244

bb

b073

再结合①解得或或，

c1255

cc

73

所以直线方程有三条，分别为x10，7x24y250，3x4y50.

(填一条即可)

[方法二]：

22

设圆xy1的圆心O(0,0)，半径为r11，

22

圆(x3)(y4)16的圆心C(3,4)，半径r24，

则|OC|5r1r2，因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x10符合题意；

又由方程(x3)2(y4)216和x2y21相减可得方程3x4y50，

即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x3y0，

4

直线OC与直线x10的交点为(1,)，

3

4

4k7

设过该点的直线为yk(x1)，则3，解得k，

3124

k21

从而该切线的方程为7x24y250.(填一条即可)

[方法三]：

圆x2y21的圆心为O0,0，半径为1，

22

圆(x3)(y4)16的圆心O1为(3,4)，半径为4，

两圆圆心距为32425，等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

433

当切线为l时，因为k，所以k，设方程为yxt(t0)

OO13l44

|t|

d1535

O到l的距离9，解得t，所以l的方程为yx，

1444

16

当切线为m时，设直线方程为kxyp0，其中p0，k0，

p7

1k

1k224725

由题意，解得，yx

3k4p252424

4p

2

1k24

当切线为n时，易知切线方程为x1，

35725

故答案为：yx或yx或x1.

442424

5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点0,2与圆x2y24x10相切的两条直线的夹角为，则sin（）

15106

A．1B．C．D．

444

【答案】B

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，

结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k28k10，利用韦达定理结合

夹角公式运算求解.

2

【详解】方法一：因为x2y24x10，即x2y25，可得圆心C2,0，半径r5，

过点P0,2作圆C的切线，切点为A,B，

22

因为PC22222，则PAPCr23，

51036

可得sinAPC,cosAPC，

224224

10615

则sinAPBsin2APC2sinAPCcosAPC2，

444

22

226101，

cosAPBcos2APCcosAPCsinAPC0

444

即APB为钝角，

15

所以sinsinπAPBsinAPB；

4

法二：圆x2y24x10的圆心C2,0，半径r5，

过点P0,2作圆C的切线，切点为A,B，连接AB，

22

可得PC22222，则PAPBPCr23，

2222

因为PAPB2PAPBcosAPBCACB2CACBcosACB

且ACBπAPB，则336cosAPB5510cosπAPB，

1

即3cosAPB55cosAPB，解得cosAPB0，

4

1

即APB为钝角，则coscosπAPBcosAPB，

4

15

且为锐角，所以sin1cos2；

4

方法三：圆x2y24x10的圆心C2,0，半径r5，

若切线斜率不存在，则切线方程为x0，则圆心到切点的距离d2r，不合题意；

若切线斜率存在，设切线方程为ykx2，即kxy20，

2k2

则5，整理得k28k10，且644600

k21

设两切线斜率分别为k1,k2，则k1k28,k1k21，

可得2，

k1k2k1k24k1k2215

kksinsin

所以tan1215，即15，可得cos，

1k1k2cos15

sin2

则sin2cos2sin21，

15

15

且0,π，则sin0，解得sin.

4

故选：B.

解题妙法

三步解题法：

1.点在圆上：过圆上一点的切线只有一条，切线方程：

圆：

��0,�0

2222

圆�−�+�：−�=��0−��−�+�0−��−�=�

2222

2.点在圆外�：+过�圆=外�一点�可0�作+两�0条�切=线�。

几何法：设切线斜率，写出点斜式方程，利用圆心到切线距离等于半径，解出（注意

斜率不存在的情况）。

��

切线长公式：，其中为点到圆心的距离。

22

3.公切线：两圆公切�线=问�题，−利�用圆心距�与半径和、差的关系判定条数，再求方程。

口诀：点在圆上用替换，点在圆外设斜率；距离等于半径解，切线长用勾股理。

考向04求圆的方程

6．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．

222

2222476582169

【答案】x2y313或x2y15或xy或xy1．

339525

【分析】方法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；

【详解】[方法一]：圆的一般方程

依题意设圆的方程为x2y2DxEyF0，

F0F0

（1）若过0,0，4,0，1,1，则164DF0，解得D4，

11DEF0E6

22

所以圆的方程为x2y24x6y0，即x2y313；

F0F0

（2）若过0,0，4,0，4,2，则164DF0，解得D4，

1644D2EF0E2

22

所以圆的方程为x2y24x2y0，即x2y15；

F0

F0

8

（3）若过0,0，4,2，1,1，则11DEF0，解得D，

3

1644D2EF0

14

E

3

22

228144765

所以圆的方程为xyxy0，即xy；

33339

16

F

11DEF05

16

（4）若过1,1，4,0，4,2，则164DF0，解得D，所以圆的方程为

5

1644D2EF0

E2

2

22161682169

xyx2y0，即xy1；

55525

22

22224765

故答案为：x2y313或x2y15或xy或

339

2

82169

xy1．

525

[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）

设点A0,0，B4,0，C1,1，D4,2

（1）若圆过A、B、C三点，圆心在直线x2，设圆心坐标为(2,a)，

2

则4a29a1a3,r4a213，所以圆的方程为(x2)2(y3)213；

（2）若圆过A、B、D三点，设圆心坐标为(2,a)，则4a24(a2)2a1,r4a25，所以圆

的方程为(x2)2(y1)25；

（3）若圆过A、C、D三点，则线段AC的中垂线方程为yx1，线段AD的中垂线方程为y2x5，

4765427265

联立得x,yr，所以圆的方程为(x)(y)；

333339

（4）若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线方程为y1，线段BC中垂线方程为y5x7，联立得

81382169

x,y1r，所以圆的方程为(x-)2y1．

55525

22

22224765

故答案为：x2y313或x2y15或xy或

339

2

82169

xy1．

525

【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；

方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．

7．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线2xy10上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M的方程

为______________．

【答案】(x1)2(y1)25

【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.

【详解】[方法一]：三点共圆

∵点M在直线2xy10上，

∴设点M为(a,12a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在M上，

∴点M到两点的距离相等且为半径R，

∴(a3)2(12a)2a2(2a)2R，

a26a94a24a15a2，解得a1，

∴M(1,1)，R5，

M的方程为(x1)2(y1)25.

故答案为：(x1)2(y1)25

[方法二]：圆的几何性质

由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线2xy10的交点(1,-1).R5,

M的方程为(x1)2(y1)25.

故答案为：(x1)2(y1)25

222

8．（2025·天津·高考真题）l1:xy60，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与x1y3rr0

交于C、D两点，|AB|3|CD|，则r_________．

【答案】2

【分析】先根据两点间距离公式得出|AB|62，再计算出圆心到直线的距离d，根据弦长公式

|CD|2r2d2列等式求解即可.

22

【详解】因为直线l1:xy60与x轴交于A6,0，与y轴交于B0,6，所以|AB|6662，所

以CD22，

2|136|

圆(x1)2y3r2的半径为r，圆心(1,3)到直线l:xy60的距离为d2，

12

2

故CD2r2d22r2222，解得r2；

故答案为：2.

解题妙法

三步解题法：

1.选形式：

标准式：，需确定圆心和半径。

222

�−��−�

一般式：+=�，圆心�,�，半径�（须

22��1222

�+�+）。��+��+�=0−2,−2�=2�+�−4��+

2

2.列方程求�参−数4：�根>据0条件（如过三点、圆心在直线上、与直线相切、弦长等）建立关于

或的方程组。

�,�,�

过三点：设一般式，代入解。

�,�,�

圆心在直线上：设圆心坐标满�足,�该,�直线方程。

与直线相切：圆心到直线距离等于半径。

已知弦长：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形。

3.解出并验证：解方程组，代回方程；注意直径两端点可直接得圆心为它们中点，半径为半长。

技巧：优先利用几何条件（如弦的中垂线过圆心）简化计算。

考向05最值与范围综合

9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2y24y10交于A,B

两点，则AB的最小值为（）

A．1B．2C．4D．25

【答案】C

【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为a,b,c成等差数列，所以2bac，c2ba，代入直线方程ax+by+c=0得

x10x1

axby2ba0，即ax1by20，令得，

y20y2

2

故直线恒过1,2，设P1,2，圆化为标准方程得：C:x2y25，

设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PCAB时，AB最小，

PC1,ACr5，此时AB2AP2AC2PC22514.

故选：C

10．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线axbya2b0与圆C：x2y24y1=0交于A,B两点，则AB

的最小值为（）

A．2B．3C．4D．6

【答案】C

【分析】根据题意，由条件可得直线过定点P1,2，从而可得当PCAB时，AB的最小，结合勾股定理

代入计算，即可求解.

【详解】因为直线axbya2b0，即ax1by20，令x10，

则x1,y2，所以直线过定点1,2，设P1,2，

2

将圆C：x2y24y1=0化为标准式为x2y25，

所以圆心C0,2，半径r5，PC1

当PCAB时，AB的最小，

2

此时AB2r2PC2514.

故选：C

11．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数x,y满足x2y24x2y40，则xy的最大值是（）

32

A．1B．4C．132D．7

2

【答案】C

22

【分析】法一：令xyk，利用判别式法即可；法二：通过整理得x2y19，利用三角换元法即

可，法三：整理出圆的方程，设xyk，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.

【详解】法一：令xyk，则xky，

代入原式化简得2y22k6yk24k40，

2

因为存在实数y，则0，即2k642k24k40，

化简得k22k170，解得132k132，

故xy的最大值是321，

22

法二：x2y24x2y40，整理得x2y19，

令x3cos2，y3sin1，其中0,2π，

π

则xy3cos3sin132cos1，

4

ππ9ππ7

0,2，所以,，则2π，即时，xy取得最大值321，

44444

法三：由x2y24x2y40可得(x2)2(y1)29，

|21k|

设xyk，则圆心到直线xyk的距离d3，

2

解得132k132

故选：C.

12．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆x2(y2)2r2(r0)上到直线y3x2的距离为1的点有且仅

有2个，则r的取值范围是（）

A．(0,1)B．(1,3)C．(3,)D．(0,)

【答案】B

【分析】先求出圆心E0,2到直线y3x2的距离，然后结合图象，即可得出结论.

【详解】由题意，

2

在圆x2y2r2r0中，圆心E0,2，半径为r，

到直线y3x2的距离为1的点有且仅有2个，

03212

∵圆心E0,2到直线的距离为：d2，

y3x222

31

故由图可知，

当r1时，

2

圆x2y2r2r0上有且仅有一个点（A点）到直线y3x2的距离等于1；

当r3时，

2

圆x2y2r2r0上有且仅有三个点（B,C,D点）到直线y3x2的距离等于1；

当则r的取值范围为1,3时，

2

圆x2y2r2r0上有且仅有两个点到直线y3x2的距离等于1.

故选：B.

13．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点A(2,3),B(0,a)，若直线AB关于ya对称的直线与圆

(x3)2(y2)21有公共点，则a的取值范围是________．

13

【答案】,

32

【分析】首先求出点A关于ya对称点A的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于等

于半径得到不等式，解得即可；

【详解】解：A2,3关于ya对称的点的坐标为A2,2a3，B0,a在直线ya上，

a3

所以AB所在直线即为直线l，所以直线l为yxa，即a3x2y2a0；

2

22

圆C:x3y21，圆心C3,2，半径r1，

3a342a

依题意圆心到直线的距离d1，

l2

a322

2221313

即55aa32，解得a，即a,；

3232

13

故答案为：,

32

终极预测--压轴实战稳拿高分

一、单选题

1．（2026·山东聊城·二模）已知直线l1:xay10，l2:2x4y30，且l1//l2，则l1与l2的距离为（）

555

A．B．C．D．5

1052

【答案】A

【分析】根据两直线平行求出实数a的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果.

1a1

【详解】因为l//l，则，解得a2，即直线l的方程为x2y10，可化为2x4y20，

122431

2315

故l1与l2的距离为d.

22422510

2．（2026·江西·二模）已知直线xy40与圆C:x2y22x2y10相交于A，B两点，则|AB|（）

A．22B．2C．2D．1

【答案】B

【详解】将圆C的方程化为标准形式，得(x1)2(y1)23，故圆心为C(1,1)，半径为r3，

|114|

所以圆心到直线的距离为d2，所以|AB|2r2d22．

1212

3．（2026·河南濮阳·二模）圆C:(x1)2(y2)24上的点到直线l:xay2a20距离的最大值是（）

A．7B．5C．3D．2

【答案】A

【详解】圆C:(x1)2(y2)24的圆心C1,2，半径r2，

直线l:xay2a20可化为x2ay20，

x20

令，得xy2，故直线l过定点A2,2，

y20

22

由图知，当且仅当CAl时，点C1,2到直线l距离取得最大值：CA21225，

故圆C上的点到直线l距离最大值为CAr527.

4．（2026·四川成都·三模）若圆C过点M0,2，且与x轴相切，则圆心C的轨迹方程为（）

A．x24y