2026年高考数学考前20天冲刺讲义（三）（解析版）

目录

倒计时12天

➤三角函数的图象及其性质（选填题）………01

聚焦三角函数图象变换、周期性、单调性、对称性与最值等综合4大考向5个核心考点

倒计时11天

➤三角恒等变换与解三角形（选填题）………29

聚焦三角恒等变换公式应用及正弦余弦定理解三角形等2大考向16个核心考点

倒计时10天

➤数列（选填题）………………54

聚焦等差等比数列通项、性质及求和，数列递推与单调性等3大考向14个核心考点

倒计时09天

➤立体几何（选填题）…………79

聚焦空间几何体表面积体积、点线面位置关系与空间角等综合问题5大考向8个核心考点

倒计时12天宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

——《警世贤文》

三角函数的图象及其性质（选填题）

考情透视--把脉命题直击重点

►命题解码：①核心考点包括三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、图象变换（平

移伸缩）及三角函数模型（ω、φ的求值）。②难度以中低档为主，常以f(x)=Asin(ωx+φ)为载体，考查整体

代换数形结合，注意特殊图象的识别（如绝对值型、分段型）。

►高考前沿：聚焦ω与φ的逆向求解（由图象或性质求参数）及复合三角函数的单调区间；突出直观想象与

逻辑推理，强调利用单位圆和五点法快速判断，提升选填解题速度。

考点抢分--核心精粹高效速记

终极考点1特殊角的三角函数值

终极考点2同角三角函数的基本关系

平方关系：sin2cos21

sin

商数关系：tan

cos

终极考点3三角函数的图象与性质

函

性数ysinxycosxytanx

质

图

象

定

义RRxxk,k

2

域

值

1,11,1R

域

当x2k时，当x2k时，

2

最

；当

；当ymax1x2k既无最大值也无最小值

ymax1x2k

值2

时，．

时，．ymin1

ymin1

周

期22

性

奇

偶奇函数偶函数奇函数

性

在2k,2k

22在2k,2k上是增函

单

上是增函数；数；在k,k

调22

3在2k,2k上是减函

性在2k,2k上是增函数．

22

数．

上是减函数．

对

对称中心k,0k

对称中心k,0对称中心,0

称22

对称轴xk

性2对称轴xk无对称轴

终极考点4三角函数型函数的图象和性质

（1）正弦型函数、余弦型函数性质

yAsin(x)h，yAcos(x)h

A振幅，决定函数的值域，值域为A,A

2

决定函数的周期，T

x叫做相位，其中叫做初相

（2）正切型函数性质

yAtan(x)h的周期公式为：T

终极考点5三角函数的伸缩平移变换

（1）伸缩变换（A，是伸缩量）

yAsin(x)h

A振幅，决定函数的值域，值域为A,A；

若A↗，纵坐标伸长；若A↘，纵坐标缩短；A与纵坐标的伸缩变换成正比

2

决定函数的周期，T

若↗，T↘，横坐标缩短；若↘，T↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比

（2）平移变换（，h是平移量）

平移法则：左右，上下

真题精研--复盘经典把握规律

考向01三角函数求值

1．（2025·天津·高考真题）设xR，则“x0”是“sin2x0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【详解】由x0sin2xsin00，则“x0”是“sin2x0”的充分条件；

又当xπ时，sin2xsin2π0，可知sin2x0x0，

故“x0”不是“sin2x0”的必要条件，

综上可知，“x0”是“sin2x0”的充分不必要条件.

故选：A.

π1

2．（2023·全国乙卷·高考真题）若0,,tan，则sincos________．

22

π

【详解】因为0,，则sin0,cos0，

2

sin1

又因为tan，则cos2sin，

cos2

55

且cos2sin24sin2sin25sin21，解得sin或sin（舍去），

55

5

所以sincossin2sinsin.

5

5

故答案为：.

5

3．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：sin2sin21，乙：sincos0，则（）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

π

【详解】当sin2sin21时，例如,0但sincos0，

2

即sin2sin21推不出sincos0；

当sincos0时，sin2sin2(cos)2sin21，

即sincos0能推出sin2sin21.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

4．（2023·北京·高考真题）已知命题p:若,为第一象限角，且，则tantan．能说明p为假命

题的一组,的值为__________，_________．

ππ

【详解】因为fxtanx在0,上单调递增，若000，则tantan，

2200

取2k1π0,2k2π0,k1,k2Z，

则tantan2k1π0tan0,tantan2k2π0tan0，即tantan，

令k1k2，则2k1π02k2π02k1k2π00，

π3π

因为2kkπ2π,0，则2kkπ0，

1220012002

即k1k2，则.

ππ9ππ

不妨取k1,k0,,，即,满足题意.

12040343

9ππ

故答案为：;.

43

解题妙法

三步解题法：

1.观察角度关系：看已知角与所求角之间是否有和、差、倍、半、互余、互补关系，利用诱导公

式或和差公式转化。

2.确定符号：根据已知角的范围（或所在象限）判断三角函数值的正负。

3.选用公式计算：

已知sin求cos，用sin2+cos2=1，注意符号。

已知tan�求sin2�等，用齐�次式或�万能公式。

给值求值�：将所求角�用已知角表示，代入和差倍半公式。

口诀：角度关系先看透，象限符号定正负；公式选用要熟练，给值求值靠恒等。

考向02三角函数值域问题

ππ

5．（2025·上海·高考真题）函数ycosx在,上的值域为_________．

24

ππ

【详解】由函数ycosx在,0上单调递增，在0,单调递减，

24

ππ2

且f()0,f(0)1,f()，

242

ππ

故函数ycosx在,上的值域为0,1.

24

故答案为：0,1.

6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数fxsinx3cosx在0,π上的最大值是______．

πππ2π

【详解】fxsinx3cosx2sinx，当x0,π时，x,，

3333

ππ5π

当x时，即x时，fx2.

326max

故答案为：2

πππ

7．（2024·天津·高考真题）已知函数fx3sinx0的最小正周期为π．则fx在区间,

3126

上的最小值是（）

333

A．B．C．0D．

222

2π

【详解】因为函数fx的最小正周期为π，则Tπ，所以2，

πππππ2π

即fx3sin2x，当x,时，2x,，

3126363

ππππ3

所以当2x，即x时，fx3sin

3612min62

故选：D

5πππ

8．（2025·天津·高考真题）f(x)sin(x)(0,ππ)，在,上单调递增，且

x为它

121212

ππ

的一条对称轴，,0是它的一个对称中心，当x0,时，f(x)的最小值为（）

32

31

A．B．C．1D．0

22

5πππ

【详解】因为函数在,上单调递增，且x为它的一条对称轴，

121212

π

所以x时函数取最大值，

12

π

又因为,0是它的一个对称中心，

3

ππ

2kπ

122

所以，m,kZ，

π

mπ

3

ππ2n1T

设fx的最小正周期为T，由正弦函数的对称性可知nZ，

3124

π2nππ

即,4n2，

42

5ππTπ5πππ

又fx在,上单调递增，则,02，

1212212122

π

2kπ

3

∴2，则，m,kZ，

2π

mπ

3

ππ

∵π,π，∴k0,m1时，，∴fxsin2x，

33

πππ4π

当x0,时，2x,，

2333

4π3

由正弦函数的单调性可知fxsin.

min32

故选：A

解题妙法

三步解题法：

1.化一形式：将函数化为=sin++或=cos++。

利用辅助角公式：sin+cos=2+2sin+。

��𝜔����𝜔��

2.确定整体范围：由定义�域（�或�的�范围�）求�出�+�的取值范围。

3.利用有界性得值域：

�𝜔�

sin1,1，则,+。

若为�∈复合−函数（如�∈=�sin−2�+s�in）�，换元=sin1,1转化为二次函数求值域。

技巧：注意定义域限制可能导致�值域不�是完整�区间，需结�合图象�∈判断−最值点。

考向03三角函数中的交点问题

9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当xÎ[0,2]时，曲线ysinx与y2sin3x的交点个数为（）

6

A．3B．4C．6D．8

【详解】因为函数ysinx的最小正周期为T2π，

π2π

函数y2sin3x的最小正周期为T，

63

π

所以在x0,2π上函数y2sin3x有三个周期的图象，

6

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：

由图可知，两函数图象有6个交点.

故选：C

10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数f(x)a(x1)21，g(x)cosx2ax，当x(1,1)时，曲线yf(x)

与yg(x)恰有一个交点，则a（）

1

A．1B．C．1D．2

2

【详解】解法一：令f(x)gx，即a(x1)21cosx2ax，可得ax2a1cosx，

令Fxax2a1,Gxcosx，

原题意等价于当x(1,1)时，曲线yF(x)与yG(x)恰有一个交点，

注意到Fx,Gx均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得F0G0，即a11，解得a2，

若a2，令FxGx，可得2x21cosx0

因为x1,1，则2x20,1cosx0，当且仅当x0时，等号成立，

可得2x21cosx0，当且仅当x0时，等号成立，

则方程2x21cosx0有且仅有一个实根0，即曲线yF(x)与yG(x)恰有一个交点，

所以a2符合题意；

综上所述：a2.

解法二：令hxf(x)gxax2a1cosx,x1,1，

原题意等价于hx有且仅有一个零点，

2

因为hxaxa1cosxax2a1cosxhx，

则hx为偶函数，

根据偶函数的对称性可知hx的零点只能为0，

即h0a20，解得a2，

若a2，则hx2x21cosx,x1,1，

又因为2x20,1cosx0当且仅当x0时，等号成立，

可得hx0，当且仅当x0时，等号成立，

即hx有且仅有一个零点0，所以a2符合题意；

故选：D.

1

11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数fxsinx，如图A，B是直线y与曲线yfx的

2

π

两个交点，若AB，则fπ______．

6

11ππ

【详解】设Ax1,,Bx2,，由AB可得x2x1，

2266

1π5π

由sinx可知，x2kπ或x2kπ，kZ，由图可知，

266

5π2π2π

xxπ，即xx，4．

21663213

28π8π8

因为fπsin0，所以kπ，即πkπ，kZ．

3333

82

所以f(x)sin4xπkπsin4xπkπ，

33

22

所以fxsin4xπ或fxsin4xπ，

33

223

又因为f00，所以f(x)sin4xπ，fπsin4ππ．

332

3

故答案为：．

2

【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数fx的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，

以及特殊角的三角函数值是解题关键．

ππ

12．（2023·全国甲卷·高考真题）函数yfx的图象由函数ycos2x的图象向左平移个单位长度

66

11

得到，则yfx的图象与直线yx的交点个数为（）

22

A．1B．2C．3D．4

πππππ

【详解】因为ycos2x向左平移个单位所得函数为ycos2xcos2xsin2x，

66662

所以fxsin2x，

111

而yx显然过0,与1,0两点，

222

11

作出fx与yx的部分大致图像如下，

22

3π3π7π3π3π7π11

考虑2x,2x,2x，即x,x,x处fx与yx的大小关系，

22244422

3π3π3π13π13π4

当x时，fsin1，y1；

4422428

3π3π3π13π13π4

当x时，fsin1，y1；

4422428

7π7π7π17π17π4

当x时，fsin1，y1；

4422428

11

所以由图可知，fx与yx的交点个数为3.

22

故选：C.

解题妙法

三步解题法：

1.转化为方程：两函数图象交点方程=的根。常为sin+=或

sin+=+等形式。

⇔�����𝜔��

2.利用图象分析个数：

�𝜔�𝜔�

画出=sin+与=（水平线）的草图，在一个周期内交点数乘以周期数，注

意端点取舍。

��𝜔���

与直线=+相交，考虑直线与正弦曲线的相对位置，常用导数或切线分析。

3.代数法（含参�）�：�分�离参数，转化为=，研究的值域与单调性，结合图象得参数

范围。

�ℎ�ℎ�

注意：求交点个数时，务必考虑定义域区间端点是否包含，以及周期边界重复计数。

考向04三角函数图象与性质综合

13．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是2π的是（）

A．sinxcosxB．sinxcosx

C．sin2xcos2xD．sin2xcos2x

π

【详解】对A，sinxcosx2sinx，周期T2π，故A正确；

4

12π

对B，sinxcosxsin2x，周期Tπ，故B错误；

22

对于选项C，sin2xcos2x1，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；

2π

对于选项D，sin2xcos2xcos2x，周期Tπ，故D错误，

2

故选：A．

14．（2023·天津·高考真题）已知函数yfx的图象关于直线x2对称，且fx的一个周期为4，则fx

的解析式可以是（）

A．sinxB．cosx

22

C．sinxD．cosx

44

【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：

22

T4T4

A选项中，B选项中，

22

22

T8T8

C选项中，D选项中，

44

排除选项CD，

对于A选项，当x2时，函数值sin20，故2,0是函数的一个对称中心，排除选项A，

2

对于B选项，当x2时，函数值cos21，故x2是函数的一条对称轴，

2

故选：B.

π2ππ

15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数fxsinx,0在区间,单调递增，直线x和

636

2π5π

x为函数yfx的图像的两条相邻对称轴，则f（）

312

3113

A．B．C．D．

2222

π2π

【详解】因为f(x)sin(x)在区间,单调递增，

63

T2πππ2π

所以，且0，则Tπ，2，

2362T

πππ

当x时，fx取得最小值，则22kπ，kZ，

662

5π5π

则2kπ，kZ，不妨取k0，则fxsin2x，

66

5π5π3

则fsin，

1232

故选：D.

16．（2024·北京·高考真题）设函数fxsinx0.已知fx11，fx21，且x1x2的最小值为

π

，则（）

2

A．1B．2C．3D．4

【详解】由题意可知：x1为fx的最小值点，x2为fx的最大值点，

Tπ

则xx，即Tπ，

12min22

2π

且0，所以2.

T

故选：B.

π

17．（2025·全国一卷·高考真题）已知点(a,0)(a0)是函数y2tanx的图象的一个对称中心，则a的

3

最小值为（）

πππ4π

A．B．C．D．

6323

ππkπ

【详解】根据正切函数的性质，y2tan(x)的对称中心横坐标满足x,kZ，

332

ππkπ

即y2tan(x)的对称中心是,0,kZ，

332

πkπ

即a,kZ，

32

π

又a0，则k0时a最小，最小值是，

3

π

即a.

3

故选：B

π

18．（2025·北京·高考真题）设函数fxsinxcosx(0)，若f(xπ)f(x)恒成立，且f(x)在0,

4

上存在零点，则的最小值为（）

A．8B．6C．4D．3

π

【详解】函数fxsinxcosx2sinx(0)，

4

设函数f(x)的最小正周期为T，由f(xπ)f(x)可得kTπ,kN，

2ππ

所以T,kN，即2k,kN；

k

ππππππ

又函数f(x)在0,上存在零点，且当x0,时，x,，

444444

ππ

所以π，即3；

44

综上，的最小值为4.

故选：C.

2π

19．（2023·全国甲卷·高考真题）若fxx1axsinx为偶函数，则a________．

2

2π2

【详解】因为yfxx1axsinxx1axcosx为偶函数，定义域为R，

2

22

ππππππππ

所以ff，即asa，1co1cos

22222222

22

ππ

则πa112π，故a2，

22

2

此时fxx12xcosxx21cosx，

2

所以fxx1cosxx21cosxfx，

又定义域为R，故fx为偶函数，

所以a2.

故答案为：2.

20．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数fxcosx1(0)在区间0,2π有且仅有3个零点，则

的取值范围是________．

【详解】因为0x2π，所以0≤x≤2π，

令f(x)cosx10，则cosx1有3个根，

令tx，则cost1有3个根，其中t[0,2π]，

结合余弦函数ycost的图像性质可得4π2π6π，故23，

故答案为：[2,3).

π

21．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数f(x)sin2x和g(x)sin(2x)，下列说法中正确的

4

有（）

A．f(x)与g(x)有相同的零点B．f(x)与g(x)有相同的最大值

C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

kπ

【详解】A选项，令f(x)sin2x0，解得x,kZ，即为f(x)零点，

2

πkππ

令g(x)sin(2x)0，解得x,kZ，即为g(x)零点，

428

显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；

B选项，显然f(x)maxg(x)max1，B选项正确；

2π

C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为π，C选项正确；

2

πkππ

D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2xkπx,kZ，

224

ππkπ3π

g(x)的对称轴满足2xkπx,kZ，

4228

显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

解题妙法

三步解题法：

1.由图象求解析式：

+

振幅=maxmin，平衡位置=maxmin。

22

�−���

��

2

周期由相邻对称轴、对称中心或零点距离确定，=。

�

���

代特殊点（最值点或零点）求，注意范围。

2.性质判断：�

单调区间：令+落在正弦函数的单调区间内解出。

𝜔��

对称轴：+=+；对称中心：+=。

2

�

𝜔���𝜔���

平移伸缩变换：遵循“左加右减，上加下减”，注意变换时先伸缩后平移。

3.图象变换：明确由哪个函数变到哪个函数，确定平移量（注�意系数提取）。例如=sin=

1

sin2+需先左移再横坐标缩为，或先缩再左移。��→�

3326

���

口诀：求解析�式看振幅周期，代点定初相；单调对称靠整体换元，平移注意系数提。

终极预测--压轴实战稳拿高分

一、单选题

1．（2026·江西南昌·二模）已知函数f(x)cos(2x)是奇函数，则的一个可能取值为（）

ππ

A．0B．C．D．π

42

【详解】若fxcos2x是奇函数，根据奇函数性质：x0在定义域内时，必有f(0)0，

ππ

代入得：f(0)cos0解得kπkZ，当k0时，，符合要求.

22

ππ

当时，fxcos2xsin2x，是奇函数；

22

对于AD：0、π对应f(x)为偶函数；

π

对于B：对应f(x)非奇非偶，均不符合.

4

π

2．（2026·山东青岛·三模）函数fxcos3x在0,π的零点个数为（）

6

A．1个B．2个C．3个D．4个

ππ19π

【详解】方法一：0xπ，3x，

666

πππ3ππ5π

由题可知3x，3x或3x，

626262

π4π7π

解得x，，或，故有3个零点．

999

π

方法二：令fxcos3x0，

6

ππkπ

即3xkπ，kZ，解得xπ，kZ，

6239

π4π7π

分别令k0,1,2，解得x，x，x，

999

π

所以函数fxcos3x在0,π的零点的个数为3.

6

π

3．（2026·新疆·模拟预测）若点,0是函数ycos2x0的图象的一个对称中心，则的最小值

3

为（）

πππ5π

A．B．C．D．

6436

π

【详解】因为点,0是函数ycos2x0的图象的一个对称中心，

3

πππ

所以2kπkZkπkZ，

326

π1

因为0，所以由kπ0kkZ，

66

5π

所以当k1时，有最小值.

6

故选：D

π

4．（2025·广东广州·模拟预测）当x0,2π时，曲线ysinx与y3sin2x的交点个数为（）

4

A．3B．4C．5D．6

π

【详解】当x0,2π时，曲线ysinx与y3sin2x的图象如图所示，