2.1.2 两条直线平行和垂直的判定

.1.2两条直线平行和垂直的判定基础过关练题组一两条直线平行1.(2022云南曲靖期中)已知直线l1经过点A(-1,2),B(-1,4),直线l2经过点P(2,1),Q(x,6),且l1∥l2,则x=()A.2B.-2C.4D.12.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是()A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合3.(2022重庆西南大学附中月考)若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量为a=(-5,5)的直线平行,则实数m的值是()A.1C.2D.-2题组二两条直线垂直4.已知两条直线l1,l2的斜率是方程3x2+mx-3=0(m∈R)的两个根,则l1与l2的位置关系是()A.平行B.垂直C.可能重合D.无法确定5.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为.

6.(2021黑龙江伊春伊美第二中学期末)(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.题组三两条直线平行和垂直的应用7.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,O,A,B,C四点共圆,则y的值是()A.19B.1948.在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是()A.(-3,1)B.(4,1)C.(-2,1)D.(2,-1)9.(2022四川泸州泸县五中月考)已知l1,l2不重合,过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线l1与直线l2平行,直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-1n,若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为10.(2022吉林长春外国语学校月考)已知在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;(2)试判断平行四边形ABCD是不是菱形.能力提升练题组一直线的平行与垂直1.(2022河北唐山一中月考)已知直线l与过点M(-3,A.π2.直线l1过点A(m,1)和点B(-1,m),直线l2过点C(m+n,n+1)和点D(n+1,n-m),则直线l1与l2的位置关系是()A.重合B.平行C.垂直D.无法确定3.(2022山东日照实验高中段考)将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2021,2022)与点(m,n)重合,则m+n=()A.1B.2023C.4043D.40464.如图,在平面直角坐标系中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F,若BE⊥AC,求证:CF⊥AB.题组二直线平行与垂直的综合应用5.(2021浙江丽水外国语实验学校月考)已知A(1,2),B(-1,0),C(2,-1),若存在一点D满足CD⊥AB,且CB∥AD,则点D的坐标为()A.(-2,-3)B.(2,-3)C.(2,3)D.(-2,3)6.已知△ABC的两个顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为()A.(-19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)7.(2022河北邢台月考)某县相邻两镇在同一平面直角坐标系中的坐标分别为A(-3,-4),B(6,3),交通枢纽的坐标为C(0,-1),计划经过C修建一条马路l(l看成一条直线,l的斜率为k),若A,B两个镇到马路l的距离相等,则k=;若A,B两个镇位于马路的两侧,则k的取值范围为.

8.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园的长AD=5m,宽AB=3m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问在BC上能否找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直?

答案全解全析基础过关练1.A由A,B两点的坐标知l1的斜率不存在,又l1∥l2,所以x=2.2.D由题意得,直线l1的斜率为tan135°=-1,直线l2的斜率为-6-(-1)3易错警示当两直线的斜率都存在时,由两直线平行可以推出两直线的斜率相等;但由两直线的斜率相等推不出两直线平行,此时还有可能重合.解题时要注意验证.3.B由a=(-5,5)得直线的斜率为5-5=-1,因此直线PQ的斜率为2m经检验,m=-134.B由方程3x2+mx-3=0,知Δ=m2-4×3×(-3)=m2+36>0恒成立,故方程有两个相异实数根,即l1与l2的斜率k1,k2均存在且不相等.设方程的两根分别为x1,x2,则k1k2=x1x2=-1,所以l1⊥l2.故选B.5.答案-1解析设线段PQ的垂直平分线的斜率为k.易知kPQ=3-a-6.解析(1)易得直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.(2)由题意知,直线l1的斜率k1可能不存在,直线l2的斜率k2一定存在.当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,解得a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,满足题意.当直线l1的斜率存在时,a≠5,由斜率公式得k1=3-aa-2-3=3由l1⊥l2知k1k2=-1,即3-aa综上所述,a的值为0或5.7.B由O,A,B,C四点共圆可得四边形OABC的对角互补.又由题意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即4-03-28.A由题意得,kOA=1,kAB=-12,kOB设第四个顶点为C,当点C的坐标为(-3,1)时,kOC=-13≠kAB,所以四边形OBAC不是平行四边形;当点C的坐标为(4,1)时,kAC=0=kOB,kBC=1=kOA9.答案-10解析由题意可得,直线l1的斜率为4-mm+2,又直线l2的斜率为-2,且l1∥l由于直线l3的斜率为-1n,l2⊥l3,所以-2×-所以m+n=-10.10.解析(1)设D(a,b),∵四边形ABCD为平行四边形,∴kAB=kCD,kAD=kBC,∴0-25(2)由题意及(1)得kAC=4-23-1∵kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD为菱形.能力提升练1.C设直线l与直线l'的斜率分别为k,k'.由题意得k'=2-(-∵l⊥l',∴k·k'=-1,∴k=1.∴直线l的倾斜角为π42.C①当m=1时,直线l1过点A(1,1)和点B(-1,1),直线l2过点C(1+n,n+1)和点D(n+1,n-1),此时直线l1的斜率k1=0,直线l2的斜率不存在,因此l1⊥l2.②当m=-1时,直线l1过点A(-1,1)和点B(-1,-1),直线l2过点C(-1+n,n+1)和点D(n+1,n+1),此时直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率k2=0,因此l1⊥l2.③当m≠±1时,直线l1的斜率k1=m-1-1-m,直线l2的斜率k2=-m-1综上,直线l1与l2的位置关系是垂直.故选C.3.C记(2,0),(-2,4)分别为A,B,则kAB=4-由题意知,过点(2021,2022)和点(m,n)的直线与直线AB平行,所以n-4.证明由题意得,直线BP的斜率为-pb,直线AC的斜率为-a∵BE⊥AC,∴-pb·-又直线CP的斜率为-pc,直线AB的斜率为-a∴-pc·-ab=pa5.D设D(x,y).由CD⊥AB,且CB∥AD,知kCD·kAB=-1,kCB=kAD,则y-(-1)6.A设点A的坐标为(x,y).由已知得AH⊥BC,BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率存在,所以kAH解得x=7.答案79或13;解析若A,B两个镇到马路l的距离相等,则有两种情况:当l与直线AB平行时,k=-4-3-3-6=79;当l与直线AB相交时,直线l过AB的中点,又AB的中点为32易得kAC=-1+43=1,kBC=3+16=28.信息提取①四边形ABCD为矩形,AD=5m,AB=3m;②AC⊥DM,且M在BC上.数学建模以实际生活中在花园铺设小路为背景,建立平面直角坐标系,将几何问题代数化,然后利用直线的斜率之积为-1建立方程求解.