专题强化练6 离心率及其取值范围

专题强化练6离心率及其取值范围1.(2022辽宁沈阳重点高中联合体月考)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点M是过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点,且|A.1C.32.(2022河南中原名校联考)若双曲线x2A.e>2C.e>2D.1<e<23.(2022四川南充阆中中学期中)设A,B是椭圆C:x2A.0C.04.(2021四川凉山州宁南中学月考)设F1,F2为椭圆C1与双曲线C2的公共的左、右焦点,C1,C2在第一象限内交于点M,△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形,若双曲线C2的离心率e2∈32,4,则椭圆C1A.4C.35.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为FA.(1,2)B.[2,2)C.[2,3+1]D.(2,6.(2022江西南昌大学附属中学期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F()A.1B.1C.1D.17.已知双曲线x2a28.已知F1,F2为椭圆C1和双曲线C2的公共焦点,P为C1和C2的一个公共点,且∠F1PF2=π3,椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1,e2,求e1·e29.(2022福建泉州科技中学期中)已知点F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b10.(2022黑龙江齐齐哈尔五校期中联考)已知椭圆C:x2(1)若椭圆C经过点2,(2)A为椭圆C的右顶点,B(1,0),椭圆C上存在点P,使得|PA

答案全解全析1.C不妨设M在第一象限.将|MF1+MF2|=|MF1-所以MF1⊥在Rt△MF1F2中,|F1F2|=2c,O为F1F2的中点,∴|OM|=c.又∠MOF2=60°,|OF2|=c,∴|MF2|=c,∴|MF1|=3c.由椭圆定义可知|MF2|+|MF1|=c+3c=2a,∴离心率e=ca=21+32.C设双曲线右支上一点坐标为(x,y),则x≥a.∵该点到右焦点的距离和到原点的距离相等,∴由两点间距离公式得x2+y2=(x-c)2+y2,∴x=c2.∵这样的点有两个,∴x>a,∴c故选C.3.B当椭圆的焦点在x轴上时,设上顶点为N,则∠ANB≥120°,∴∠ANO≥60°(O为坐标原点),∴tan∠ANO≥3,∴3m≥3,∴m∴椭圆的离心率e=ca=3-m当椭圆的焦点在y轴上时,同理,可得e∈63综上,e∈634.C设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2.因为△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形,所以|MF2|=|F1F2|=2c.由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a1,即|MF1|+2c=2a1.由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2a2,即|MF1|-2c=2a2.双曲线C2的离心率e2=|F1F2|2a2=2c所以|MF1|∈5c所以椭圆C1的离心率e1=|F1F2|5.C易得F1(-c,0).设M(x,y),由题意有N(-x,-y),则MF1=(-c-x,-y),因为MF1⊥NF1,所以MF1·NF1=(-c-x)(-c+x)-y2=0,即x2+y因为M(x,y)在双曲线上,所以x2a2由x2a又M在直线y=kx上,k∈33所以k2=y2x2=c4-2a2c2+a4a2(2c2-a所以2≤e≤3+1.故选C.6.D显然P是短轴端点时,|PF1|=|PF2|,满足△F1F2P为等腰三角形,因此由对称性知四个象限内各有一个符合条件的点.不妨设P(x,y)是第一象限内使得△F1F2P为等腰三角形的点,若|PF1|=|F1F2|,则x2a2+y2b2=1,(x+c)2+由0<x<a得0<-a2+2acc<a,所以12若|PF2|=|F1F2|,则x2a2+y2b2=1,(x-c)2+由0<x<a得0<a2-2acc<a,所以13<ca<综上,e的范围是13,17.答案2解析设F(c,0),其中c2=a2+b2.将x=c代入双曲线方程,得c2a2-y2b2=1,则y2=b2所以|AF|=b2由△ABC为直角三角形及|AC|=|BC|,得∠ACF=45°,所以|CF|=|AF|,即a+c=b2a,即c2-2a2-ac=0,所以e8.解析设椭圆C1的长轴长为2a1,双曲线C2的实轴长为2a2,公共焦距为2c,|PF1|=r1,|PF2|=r2,且r1>r2,则r1+r2=2a1,r1-r2=2a2,所以r1=a1+a2,r2=a1-a2.在△PF1F2中,|F1F2|2=r12+r2即4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a3a22,所以1e由基本不等式得4=1e12+3e22≥21e12·3e22=所以e1·e2≥234=32.故e1·e29.解析设|AF1|=3m(m>0),则|AB|=4m,|BF1|=5m.如图1,当A,B均在双曲线的右支上时,由双曲线的定义可知,|AF2|=3m-2a,∴|BF2|=|AB|-|AF2|=m+2a,∴|BF1|-|BF2|=5m-(m+2a)=2a,∴m=a,∴|AF1|=3a,|AF2|=a.在Rt△AF1F2中,由勾股定理可得4c2=9a2+a2=10a2,∴e=ca=10图1图2如图2,当点A在双曲线的左支上,点B在双曲线的右支上时,由双曲线的定义可知,|BF2|=5m-2a,∴|AF2|=9m-2a,∴|AF2|-|AF1|=9m-2a-3m=2a,∴m=23∴|AF1|=2a,|AF2|=4a.在Rt△AF1F2中,由勾股定理可得4c2=4a2+16a2=20a2,∴e=ca=5故双曲线的离心率为102或510.解析(1)由题意得a=2,故椭圆C的方程为x24+y(2)易知A(2,0).设P(x,y),则x24+