6.4.1 平面几何中的向量方法（提升练）解析版

第六章平面向量及其应用6.4.1平面几何中的向量方法(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．如图，正方形中，是的中点，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，由此，，故，解得.故选:B。2．在梯形中，，，，，若点在线段上，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如图所示平面直角坐标系：因为，，，，所以，设所以，所以，，所以，当时，的最小值为，故选：B.3．已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知：，设，∴，∴.以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：∴，，设，则，，∴，当时，的最小值为,故选:D。4．已知是非零向量，且满足，则的形状为（）A．等腰（非等边）三角形 B．直角（非等腰）三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】∵，∴，即.∵，∴，即，∴，即.∵，∴，∴为等边三角形.故选:C5.设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（）A．6 B． C． D．4【答案】A【解析】作，，，如图，∵，∴是的重心，则，设，设，∵，，，∴，即，同理，，，∴．故选:A。二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】依题意，、是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，，因为，，，，所以，故，，故，故可以是选项中的0，1，.故选:ABC。7.设点O△ABC的外心，且CO=λCA+μCB(λ,μ∈A.若λ+μ=1，则C=π2

B.若OA//OB，则λ2+μ2=1

C.若λ+μ>1，AB=(−2,1)，CO=(2,4)，则四边形AOBC的面积是5【答案】ACD【解析】如图，

对于选项A：

CO=λCA+μCB，

λ+μ=1，则点

A,  O,  B三点共线，又直角三角形的外心在斜边上，故

C=对于选项B：若

OA//OB，则点

A,  O,  B三点共线，故

▵ABC中，

C=π2，此时

O为

AB的中点，则

CO=1对于选项C：

λ+μ>1，则点

O在

▵ABC外，又

AB⋅CO=0，即

AB⊥CO，所以对于选项D：

CO=λ(CO+OA)+μ(CO+OB)，即

(1−λ−μ)CO

=λOA+μOB，因为

|OA|=|OB|=|OC|,  ∠AOB=2∠C=2π3，平方则有

(1−λ−μ)2=

λ2+μ2+2λμcos8．已知△ABC是边长为2的等边三角形，D、E分别是AC，AB上的两点，且AE=EB，AD=2DC，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是(A.AB⋅CE=−1 B.OE+OC=0

C.∣【答案】BCD【解析】由题意可知，E为AB中点，则CE⊥AB，

则以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系．

所以E0,0，A1,0，B−1,0，C0,3，D13,233，

设O0,y，y∈0,3．

因为BO=1,y，DO=−13,y−233，而BO//DO，

所以y−233=−13y，解得y=32．

所以O0,32，所以O是CE的中点．

对于选项A项，AB⊥CE，所以AB·CE=0，故A三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．如图，在中，是的中点，在边上，且，若，则的值为．【解析】是的中点，在边上，且，，，，，，．故答案为：．10．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为________【答案】－1【解析】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，，，，，，∴当时，取得最小值．故答案为：-1．11．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】【解析】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．如图，，，，且.（1）求与间的关系式；（2）若，求与的值及四边形的面积.【答案】（1）；（2）或，16.【解析】（1）∵，，，∴，∵，∴，∴.（2），，∵，∴，即，又∵，∴解得或.∴，或，，又∵，∴四边形的面积为.13．如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.【答案】证明见解析【解析】因为是的中点，所以.又因为，所以，所以，即.14．在中，底边上的中线，若动点满足.（1）求的最大值；（2）若为等腰三角形，且，点满足（1）的情况下，求的值.【答案】（1）8；（2）-5.【解析】（1）且三点共线，又在线段上为的中点，设，则，，当时，取最大值（2）为等腰三角形，且为底边的中线以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系由（1）可得，又，则A级必备知识基础练1.[探究点一(角度4)]在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=()A.-725 B.C.0 D.12.[探究点二(角度1)]体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分,某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360N,则该学生的体重m(单位:kg)约为()(参考数据:取重力加速度大小g=10m/s2,3=1.732)A.64 B.62 C.76 D.603.[探究点一(角度3)·2023湖南怀化一模]已知点G是△ABC的重心,AG=λAB+μAC(λ,μ∈R),若A=120°,AB·AC=-2,则|AG|的最小值是(A.33 B.C.23 D.4.[探究点二(角度2)]一条河宽为80000m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20km/h,水速为12km/h,则船到达B处所需时间为h.

5.[探究点二(角度1)]用两条成120°角的等长的无弹性的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具受到的重力为10N,则每根绳子的拉力大小为N.

6.[探究点一(角度3)·2023河南洛阳月考]如图,E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,AB=1,CD=2,∠ABC=75°,∠BCD=45°,则线段EF的长是.

7.[探究点一(角度2)]如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.8.[探究点二(角度2)]某人骑摩托车以20km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.B级关键能力提升练9.O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点.若(PB−PC)·(OB+OC)=(PC−PA)·(OA+OC)=A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心10.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是()A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变11.一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8km,则河水的流速是km/h.

12.在四边形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(-4,2),则向量AC与BD的夹角为,四边形ABCD的面积为13.一条东西方向的河流两岸平行,河宽250m,河水的速度为向东23km/h.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发,航行到位于对岸B(AB与河岸的方向垂直)的正西方向并且与B相距2503m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船的速度(自身动力产生的速度)的合速度的大小为6km/h,则当小货船的航程最短时,航行的合速度方向与正西方向的夹角为,小货船的速度大小为km/h.

14.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.15.已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:AP=AB.16.一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.C级学科素养创新练17.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.参考答案1.B如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴DB=(-3,-4),DC=(3,-4).又∠BDC为DB,DC∴cos∠BDC=DB·2.B设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|=360N,<F1,F2>=60°,∴|F1+F2|=(F1+F∴mg≈624,∴m≈62.故选B.3.C∵点G是△ABC的重心,∴AG=13(AB+AC).∵A=120°,AB·AC=-2,∴AB·AC=|AB||AC|cos120°=-2.设|AB|=x,|AC|=y,∴|AB||AC|=4,即xy=4.|AG|=13|AB+AC|=13(AB+AC)2=13AB2+AC4.5根据题意,设船速为v1,水速为v2,作出如图所示的示意图,则|v1|=20km/h,|v2|=12km/h,因为v实际=v1+v2,所以|v实际|=|v1|2所以所需时间t=8016=5(h)5.10设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题意得F1,F2与-G都成60°角,且|F1|=|F2|.∴|F1|=|F2|=|G|=10N,∴每根绳子的拉力都为10N.6.72如图,EF=∵E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,∴2EF=(EA+ED)+(AB+DC)+(BF∵∠ABC=75°,∠BCD=45°,∴<AB,DC∴|EF|=1=1=1=72∴EF的长为727.证明AD·CE=(AC+=AC=AC=AC=-13|CA|2+1因为CA=CB,所以-13|CA|2+13|CB|28.解设v1表示20km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.如图,令AB=-v1,AC=-2v1,实际风速为v.∵DA+∴DB=v-v1.这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.∵DA+AC=DC,∴DC=v-这就是当车的速度为40km/h时,骑车人感觉到的风速.由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,∴DA=DC=2BC.∴|v|=202km/h.∴实际风速的大小是202km/h,为东南风.9.B因为(PB−PC)·(OB+则(OB−OC)·(OB+OC)=0,所以|OB|=|OC|.同理可得|OA|=|OC|,即|OA|=|OB|=|OC|,所以O为△ABC的外心.10.AC设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ0<θ<π2,则|F|cosθ=|f|,∴|F|=|f|∵θ增大,cosθ减小,∴|F|增大.∵|F|sinθ增大,∴船的浮力减小.11.23如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.由图知,|OA|=4,|OB|=8,则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan60°=23.即河水的流速是23km/h.12.π25由AC·BD=1×(-4)+2×2=0知AC⊥BD又∵|AC|=12+22=5,|BD∴四边形ABCD的面积S=12|AC||BD|=12×13.30°221如图,AB=250m=14km,BC=2503m=34km,tan∠CAB=∴∠CAB=60°,∴∠CAD=90°+60°=150°,∴合速度的方向与水流的方向成150°角,与正西方向的夹角为30°.设小货船的速度为v1,水流速度为v2,合速度为v,则v1=v-v2,∴|v1|=v=6=221(km/h).∴小船航行速度的大小为221km/h.14.证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),AC=(2,-2).设AF=λAC,则BF=BA+AF=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又DA=(-1,2),由题设BF⊥DA,所以BF·DA=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=又DC=(1,0),所以cos∠ADB=DA·DB|DA||又∠ADB,∠FDC∈(0,π