2026年统计学概率论题目及答案

2026年统计学概率论题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.设事件A和事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)等于

A.0.1

B.0.3

C.0.7

D.0.8

2.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，Var(X)=4，则n和p的值分别为

A.n=12，p=0.5

B.n=8，p=0.75

C.n=9，p=0.67

D.n=10，p=0.6

3.设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列说法正确的是

A.F(x)是单调递减的

B.F(x)是右连续的

C.F(x)是左连续的

D.F(x)是周期函数

4.设随机变量X和Y独立，且X服从均匀分布U(0,1)，Y服从指数分布Exp(2)，则E(XY)等于

A.0.5

B.1

C.2

D.0.25

5.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示，则P(X=1,Y=1)等于

||Y=0|Y=1|

|---|-------|-------|

|X=0|0.2|0.1|

|X=1|0.3|0.4|

A.0.1

B.0.4

C.0.5

D.0.2

6.设随机变量X的密度函数为f(x)=2x，0≤x≤1，则P(X>0.5)等于

A.0.25

B.0.5

C.0.75

D.1

7.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=1.5，X的方差Var(X)=4，Y的方差Var(Y)=9，则X和Y的相关系数ρ等于

A.0.25

B.0.5

C.0.75

D.1

8.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，则μ和σ的关系是

A.μ-σ=0.2

B.μ-σ=-0.2

C.μ-σ=0.8

D.μ-σ=-0.8

9.设随机变量X和Y的联合密度函数为f(x,y)=6x^2y，0≤y≤x≤1，则E(Y)等于

A.1/4

B.1/3

C.1/2

D.2/3

10.设随机变量X和Y独立，且X服从泊松分布Poisson(λ)，Y服从泊松分布Poisson(μ)，则Z=X+Y的分布是

A.泊松分布Poisson(λ+μ)

B.泊松分布Poisson(λμ)

C.二项分布B(λ+μ,1)

D.二项分布B(λμ,1)

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若事件A和事件B互斥，且P(A)=0.6，P(A∪B)=0.8，则P(B)等于______。

2.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=3，Var(X)=1.5，则n和p的值分别为______和______。

3.若随机变量X的分布函数为F(x)=1-e^{-λx}，x≥0，则X服从______分布。

4.设随机变量X和Y独立，且X服从均匀分布U(0,1)，Y服从指数分布Exp(2)，则P(X>Y)等于______。

5.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示，则P(Y=1)等于

||Y=0|Y=1|

|---|-------|-------|

|X=0|0.2|0.1|

|X=1|0.3|0.4|

6.设随机变量X的密度函数为f(x)=2x，0≤x≤1，则P(X≤0.7)等于______。

7.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=-2，X的方差Var(X)=9，Y的方差Var(Y)=4，则X和Y的相关系数ρ等于______。

8.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X<μ+σ)=0.8，则μ和σ的关系是______。

9.设随机变量X和Y的联合密度函数为f(x,y)=3x，0≤x≤y≤1，则E(X)等于______。

10.设随机变量X和Y独立，且X服从几何分布Geometric(p)，Y服从几何分布(q)，则Z=X+Y的分布是______。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列关于事件的说法正确的有

A.若A⊆B，则P(A)≤P(B)

B.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

C.若A和B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)

D.P(A)+P(A')=1

2.下列关于随机变量的说法正确的有

A.若X和Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)

B.若X和Y独立，则Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

C.若X和Y不独立，则E(XY)≠E(X)E(Y)

D.若X和Y不独立，则Var(X+Y)≠Var(X)+Var(Y)

3.下列关于分布函数的说法正确的有

A.分布函数是单调不减的

B.分布函数是右连续的

C.分布函数的值域在[0,1]之间

D.分布函数是周期函数

4.下列关于期望和方差的性质正确的有

A.E(aX+b)=aE(X)+b

B.Var(aX+b)=a^2Var(X)

C.E(XY)=E(X)E(Y)若X和Y独立

D.Var(XY)=Var(X)Var(Y)若X和Y独立

5.下列关于协方差和相关系数的说法正确的有

A.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

B.ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/(σXσY)

C.ρ(X,Y)的值域在[-1,1]之间

D.ρ(X,Y)=1当且仅当X和Y线性相关

6.下列关于正态分布的说法正确的有

A.正态分布的密度函数是关于均值对称的

B.正态分布的分布函数是单调不减的

C.标准正态分布的均值为0，方差为1

D.正态分布可以近似二项分布当n足够大

7.下列关于联合分布的说法正确的有

A.联合分布可以描述多个随机变量的取值规律

B.联合分布可以分解为边缘分布

C.联合分布可以用来计算条件概率

D.联合分布不能用来计算边缘概率

8.下列关于密度函数的说法正确的有

A.密度函数是非负的

B.密度函数的积分等于1

C.密度函数可以用来计算概率

D.密度函数可以用来计算期望

9.下列关于泊松分布的说法正确的有

A.泊松分布是离散分布

B.泊松分布的均值和方差相等

C.泊松分布可以用来描述稀有事件的发生次数

D.泊松分布的密度函数是连续的

10.下列关于几何分布的说法正确的有

A.几何分布是离散分布

B.几何分布的均值是1/p

C.几何分布的方差是(1-p)/p^2

D.几何分布可以用来描述第一次成功前的试验次数

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.若事件A和事件B互斥，则P(A|B)=0。

2.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则X的密度函数关于x=μ对称。

3.若随机变量X和Y独立，则Cov(X,Y)=0。

4.设随机变量X的分布函数为F(x)，则F(x)是单调不减的。

5.若随机变量X和Y的联合分布律已知，则可以计算出X和Y的边缘分布律。

6.设随机变量X的密度函数为f(x)=2x，0≤x≤1，则P(X≤0.5)=0.25。

7.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=1，X的方差Var(X)=4，Y的方差Var(Y)=9，则X和Y的相关系数ρ=1/3。

8.设随机变量X服从泊松分布Poisson(λ)，则E(X)=Var(X)=λ。

9.设随机变量X和Y独立，且X服从均匀分布U(0,1)，Y服从指数分布Exp(2)，则E(XY)=E(X)E(Y)。

10.设随机变量X和Y独立，且X服从几何分布Geometric(p)，Y服从几何分布(q)，则Z=X+Y的均值是p+q。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示，求P(X=1)。

||Y=0|Y=1|

|---|-------|-------|

|X=0|0.2|0.1|

|X=1|0.3|0.4|

2.设随机变量X的密度函数为f(x)=3x^2，0≤x≤2，求P(X>1)。

3.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=2，X的方差Var(X)=5，Y的方差Var(Y)=10，求X和Y的相关系数ρ。

4.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X<μ-σ)=0.2，求μ和σ的关系。

5.设随机变量X和Y的联合密度函数为f(x,y)=4xy，0≤y≤x≤1，求E(XY)。

6.设随机变量X和Y独立，且X服从泊松分布Poisson(3)，Y服从泊松分布Poisson(4)，求P(X+Y=5)。

7.设随机变量X和Y独立，且X服从均匀分布U(0,1)，Y服从指数分布Exp(1)，求P(X<Y)。

8.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示，求P(Y=1|X=1)。

||Y=0|Y=1|

|---|-------|-------|

|X=0|0.1|0.2|

|X=1|0.3|0.4|

9.设随机变量X的密度函数为f(x)=e^{-x}，x≥0，求X的期望E(X)。

10.设随机变量X和Y独立，且X服从几何分布Geometric(0.5)，Y服从几何分布(0.7)，求Z=X+Y的方差Var(Z)。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C.0.7

解析：因为A和B互斥，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)，即0.3+0.4=0.7。

2.A.n=12，p=0.5

解析：E(X)=np=6，Var(X)=np(1-p)=4，解得n=12，p=0.5。

3.B.F(x)是右连续的

解析：分布函数F(x)是单调不减的，且在每一点右连续，左连续不一定成立。

4.A.0.5

解析：因为X和Y独立，所以E(XY)=E(X)E(Y)，E(X)=1/2，E(Y)=1/2，所以E(XY)=1/4。

5.D.0.2

解析：从表中直接读取P(X=1,Y=1)的值。

6.C.0.75

解析：P(X>0.5)=∫_{0.5}^12xdx=[x^2]_{0.5}^1=1-0.25=0.75。

7.B.0.5

解析：ρ=Cov(X,Y)/(σXσY)=1.5/(2×3)=0.5。

8.C.μ-σ=0.8

解析：因为P(X<μ+σ)=0.8，根据正态分布的对称性，P(X<μ-σ)=0.2，所以μ-σ=-0.2，结合题目条件，μ-σ=0.8。

9.B.1/3

解析：E(Y)=∫_0^1∫_y^16x^2ydydx=∫_0^1[2x^3-2x^3y]_y^1dx=∫_0^1(2x^3-2x^3y)dx=[0.5x^4-0.5x^4]_0^1=1/3。

10.A.泊松分布Poisson(λ+μ)

解析：独立泊松分布的和仍然服从泊松分布，参数为各分布参数之和。

二、填空题答案及解析

1.0.2

解析：P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.8-0.6=0.2。

2.n=6，p=0.5

解析：E(X)=np=3，Var(X)=np(1-p)=1.5，解得n=6，p=0.5。

3.指数分布

解析：分布函数形式为1-e^{-λx}，x≥0，这是指数分布的标准形式。

4.1/3

解析：P(X>Y)=∫_0^1∫_y^12x·2e^{-2y}dydx=∫_0^12x(1-e^{-2y})dx=[x^2-x/2e^{-2y}]_0^1=1/2-1/2e^{-2}≈1/3。

5.0.7

解析：P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.4=0.5。

6.0.45

解析：P(X≤0.7)=∫_0^0.72xdx=[x^2]_0^0.7=0.49。

7.-0.5

解析：ρ=Cov(X,Y)/(σXσY)=-2/(3×2)=-0.5。

8.μ+σ=0.8

解析：根据正态分布的对称性，P(X<μ-σ)=0.2，所以μ-σ=-0.2，结合题目条件，μ+σ=0.8。

9.2/3

解析：E(X)=∫_0^1∫_0^x3xydydx=∫_0^1[1.5x^3]dx=[0.375x^4]_0^1=0.375。

10.几何分布，参数为p(1-p)

解析：独立几何分布的和可以看作是参数为p(1-p)的负二项分布，但题目要求填写最简形式，通常填写几何分布。

三、多选题答案及解析

1.ABCD

解析：A正确，因为A⊆B，所以包含的概率不大于B；B正确，这是概率的加法公式；C正确，互斥意味着没有重叠，加法公式简化；D正确，A和其对立事件的概率和为1。

2.ABD

解析：A正确，独立时乘法公式成立