圆柱、圆锥、圆台+高一下学期数学人教A版必修第二册

8.1.2

圆柱、圆锥、圆台及简单组合体学习目标：1.了解圆柱、圆锥、圆台的定义（数学抽象）.2.掌握圆柱、圆锥、圆台的结构特征（直观想象）.3.了解简单组合体的概念及结构特征（数学抽象、直观想象）.由若干个平面多边形围成的几何体.由封闭的旋转面围成的几何体复习回顾多面体旋转体棱柱两底面互相平行且全等；各侧面都是平行四边形；各侧棱互相平行且相等；棱锥仅有一个底面是多边形；侧面都是三角形；各侧面有且只有一个公共顶点；棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；侧面都是梯形；各侧棱的延长线交于一点；圆柱圆锥圆台新知探究定义相关概念结构特征图形及表示实物圆柱以

所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。圆柱的轴：

；圆柱的底面：

；

圆柱的侧面：

；圆柱侧面的母线：

；

圆锥以直角三角形的

所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。圆锥的轴：

；圆锥的底面：

；侧面：

；母线：

；圆台用

的平面去截圆锥，

之间的部分叫做圆台圆台的轴：

；圆台的底面：

；圆台的侧面：

；母线：

；合作探究形成过程圆柱图形及表示定义以

所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

相关概念圆柱的轴：

；圆柱的底面：

的边旋转而成的圆面；圆柱的侧面：

的边旋转而成的曲面；圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，

的边结构特征（1）圆柱两个底面是

而不是圆；（2）圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行（与轴平行）且

；（3）侧面是曲面，其展开图为矩形AA′O′O底面侧面母线轴BB′知识点一|圆柱的结构特征矩形的一边

旋转轴

垂直于轴

平行于轴

平行于轴

平行于轴

圆面

相等

思考1：圆柱的截面可以有哪些形状？与底面圆全等且平行的圆面垂直于底面的矩形面椭圆面知识点一|圆柱的结构特征AA′O′O底面侧面母线轴（1）圆柱两个底面是圆面而不是圆；（2）圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行（与轴平行）且相等；（3）侧面是曲面，其展开图为矩形；形成过程圆锥图形及表示定义以直角三角形的

所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥

图中圆锥记作圆锥SO相关概念圆锥的轴：旋转轴；圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：直角三角形的

旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边结构特征（1）底面是

；（2）有无数条母线，长度

且交于顶点；（3）侧面为曲面，其展开图为扇形B轴底面母线ASO知识点二|圆锥的结构特征一条直角边

斜边

圆面

相等

轴截面为等腰三角形，其底边上的高为圆柱的高，底边为圆锥底面圆的直径，轴截面与圆锥的底面垂直．与底面圆相似且平行的圆面等腰三角形面圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）知识点二|圆锥的结构特征圆台图形及表示定义用

的平面去截圆锥，

之间的部分叫做圆台

图中圆台记作圆台O'O相关概念圆台的轴：旋转轴；圆台的底面：

的边旋转一周所形成的圆面；圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于

的边结构特征（1）上、下底面是互相平行且

的圆面；（2）有无数条母线，等长且延长线交于

；（3）侧面为曲面，其展开图为扇环OO′SAA′BB′轴底面母线知识点三|圆台的结构特征平行于圆锥底面

底面与截面

垂直于轴

轴

不相等

一点

思考6：圆柱、圆锥可以看作是由矩形或直角三角形绕其一边旋转而成，那通过轴截面图形，圆台是否也可看成是某图形绕轴旋转而成？直角梯形．注：圆台与棱台统称为台体.知识点三|圆台的结构特征思考5：经过圆台任意两条母线的截面是什么图形？轴截面有哪些基本特征？是等腰梯形.轴截面也是等腰梯形，梯形的高为圆台的高，上底边为圆台上底面圆的直径，下底边为圆台下底面圆的直径，轴截面与圆台的底面垂直．知识点三|圆台的结构特征问题4：圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？相同点：它们都是由平面图形旋转得到的.不同点：（1）圆锥只有一个底面，圆柱和圆台有两个底面，（2）圆台的两个底面是半径不等的圆面；（3）圆柱的两个底面是半径相等的圆面.三者联系：当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥．知识点四|柱、锥、台之间的内在联系及其相互转化条件知识点四|柱、锥、台之间的内在联系及其相互转化条件定义球球心：半径：直径：表示：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球心；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；球常用球心的字母表示，如图中的球记作球O；棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体.知识点五|球体思考8

用一个平面去截一个球,截面是什么?圆面知识点五|球体简单几何体柱体锥体台体棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台

棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球都是常见的简单几何体，其中棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.梳理小结球简单组合体的两种基本形式：现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单几何体.（1）由简单几何体拼接而成；（2）由简单几何体截去或挖去一部分而成.知识点六|简单组合体4.

现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作

⁠.5.

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体

⁠而

成；一种是由简单几何体

一部分而成.简单组合体

拼接

截去或挖去

知识点六|简单组合体【例1】下列说法正确的是

（填序号）.③①圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；②一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体

是圆台；③圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台

的轴截面是等腰梯形；典例分析解析：①错，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；②错，直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示；③正确；典例分析【规律方法】1.

判断简单旋转体结构特征的方法（1）明确由哪个平面图形旋转而成；（2）明确旋转轴是哪条直线.2.

简单旋转体的轴截面及其应用（1）简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结

构特征的关键量；（2）在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转

化思想.训练1

〔多选〕下列说法中，正确的是（

）A.

圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B.

用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台C.

圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D.

同一圆锥的轴截面图形都是全等的等腰三角形解析：

对于A，圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，

为2rl，A正确；对于B，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之

间的部分组成的几何体叫圆台，B错误；对于C，圆台的所有平行于底面的

截面都是圆面，C正确；易知D正确.√√√典例分析【训练2】（1）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，

所得的几何体包括（

）A.

一个圆台、两个圆锥B.

两个圆柱、一个圆锥C.

两个圆台、一个圆柱D.

一个圆柱、两个圆锥√解析：图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥.典例分析【训练2】（2）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（

）解析：该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成.

故选A.

√典例分析判断组合体构成的方法（1）判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简

单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的

几何体；（2）组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分构成的.要仔细观察

组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.典例分析【例2】已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的

同侧，且距离等于1，求这个球的半径.

典例分析变式

若将本例条件变为：“已知球的两个平行截面的面积分别为5π和

8π，它们位于球心的两侧，球的半径为3”，求两个平面之间的距离.

故两个平面之间的距离为3.典例分析【规律方法】1.

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质

（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面（轴截

面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程

（组）求解.2.

利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的

关键.典例分析训练3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，

截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3

cm，

求圆台O'O的母线长；典例分析

1.

〔多选〕下列说法中不正确的是（

）A.

将正方形旋转能形成圆柱B.

夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.

圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.

通过圆台侧面上一点，有无数条母线解析：

将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A正确；

B中没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底

面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；易知C正确；通

过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误.√√课堂达标检测2.

一条排水管的截面如图.已知排水管的截面圆半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面水深CD＝（

）A.3B.4C.5D.6

√课堂达标检测3.

两相邻边长分别为5

cm和7

cm的矩形，