人教版高一数学必修1集合的基本关系练习题

人教版高一数学必修1集合的基本关系练习题集合作为高中数学的起始章节，其基本关系的理解与运用是构建整个数学知识体系的重要基石。学好集合间的包含与相等关系，不仅能为后续函数、不等式等内容的学习奠定坚实基础，更能培养同学们的逻辑思维与抽象概括能力。以下为精心设计的练习题，旨在帮助同学们深化对集合基本关系的理解与应用。一、核心知识点回顾在开始练习之前，我们先简要回顾集合基本关系的核心内容：1.子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B（或B⊇A）。这时，我们也说集合A是集合B的子集。2.真子集：如果A⊆B，且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A）。3.相等集合：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。这意味着A⊆B且B⊆A。4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。二、基础巩固练习题（一）概念辨析与表示1.用适当的符号（∈,∉,⊆,⊇,⫋,⫌,=）填空：*(1)0____{0}*(2)∅____{1,2,3}*(3){a,b}____{b,a}*(4){1}____{x|x²=1}*(5){x|x是偶数}____{x|x是整数}2.判断下列说法是否正确，并说明理由：*(1)空集没有子集。*(2)任何集合都至少有两个子集。*(3)若A⊆B且B⊆C，则A⊆C。*(4)若A⫋B且B⫋C，则A⫋C。（二）子集与真子集的列举3.写出集合A={a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。4.已知集合M={1,2,3}，集合N是M的子集，且N中至少含有一个奇数，这样的集合N有多少个？（三）集合相等的判断5.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，集合B={1,2}，判断A与B是否相等，并说明理由。6.若集合A={2,a,b}，集合B={2a,2,b²}，且A=B，求a,b的值。（四）利用集合关系求参数范围7.已知集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x≥a}，若A⊆B，求实数a的取值范围。8.已知集合P={x|x²+x-6=0}，集合Q={x|ax+1=0}，且Q⫋P，求实数a的值。三、能力提升练习题9.设集合A={x|x²-4x+3=0}，B={x|mx-3=0}，且B⊆A，求实数m的取值集合。10.已知集合A={a,a+d,a+2d}，B={a,aq,aq²}（a为常数，a≠0），若A=B，求q的值。11.已知集合M={x|-2≤x≤5}，N={x|m+1≤x≤2m-1}。*(1)若N⊆M，求实数m的取值范围；*(2)若M⊆N，求实数m的取值范围。四、参考答案与解析思路（一）概念辨析与表示1.(1)∈(2)⫋(或⊆)(3)=(4)⫋(5)⫋*解析：(4)中{x|x²=1}={-1,1}，所以{1}是其子集且不等于它，故用⫋。(5)偶数是整数的一部分，故用⫋。2.(1)错误。空集是它本身的子集。(2)错误。空集只有一个子集，即它本身。(3)正确。集合包含关系具有传递性。(4)正确。真子集关系也具有传递性。（二）子集与真子集的列举3.子集：∅,{a},{b},{a,b}；真子集：∅,{a},{b}。*解析：一个含有n个元素的集合，其子集个数为2ⁿ，真子集个数为2ⁿ-1。4.解：M的所有子集个数为8个。不含奇数的子集只有{2}和∅，共2个。故至少含有一个奇数的子集个数为8-2=6个。（三）集合相等的判断5.A=B。理由：解方程x²-3x+2=0得x=1或x=2，故A={1,2}，与B元素完全相同。6.解：因为A=B，所以元素对应相等，分情况讨论：*情况一：a=2a且b=b²，解得a=0，b=0或b=1。当a=0且b=0时，集合A={2,0,0}不满足元素互异性，舍去。故a=0,b=1。*情况二：a=b²且b=2a，将b=2a代入a=b²得a=4a²，即a(4a-1)=0，解得a=0或a=1/4。当a=0时，b=0（舍去）；当a=1/4时，b=1/2。经检验，此时A={2,1/4,1/2}，B={2*(1/4),2,(1/2)²}={1/2,2,1/4}，满足A=B。*综上，a=0,b=1或a=1/4,b=1/2。（四）利用集合关系求参数范围7.解：要使A⊆B，即A中的所有元素都在B中。A的最小元素是1，所以B中的a必须小于或等于1，即a≤1。8.解：P={x|x²+x-6=0}={2,-3}。Q⫋P，则Q可能为∅,{2},{-3}。*当Q=∅时，ax+1=0无解，即a=0。*当Q={2}时，2a+1=0，解得a=-1/2。*当Q={-3}时，-3a+1=0，解得a=1/3。*综上，a的值为0,-1/2,1/3。能力提升练习题9.解：A={x|x²-4x+3=0}={1,3}。B⊆A，则B可能为∅,{1},{3},{1,3}。*当B=∅时，mx-3=0无解，即m=0。*当B={1}时，m*1-3=0，解得m=3。*当B={3}时，m*3-3=0，解得m=1。*当B={1,3}时，m不存在（一个一次方程不可能有两个不同解）。*综上，m的取值集合为{0,1,3}。10.解：因为A=B，所以两个集合中的元素对应相等，且a≠0。分情况讨论元素对应关系：*情况一：a+d=aq且a+2d=aq²。消去d：a+2(aq-a)=aq²⇒2aq-a=aq²⇒q²-2q+1=0⇒(q-1)²=0⇒q=1。此时B中元素为{a,a,a}，不满足互异性，舍去。*情况二：a+d=aq²且a+2d=aq。消去d：a+2(aq²-a)=aq⇒2aq²-a=aq⇒2q²-q-1=0⇒(2q+1)(q-1)=0⇒q=1（舍去）或q=-1/2。*经检验，q=-1/2满足题意。11.解：*(1)N⊆M。*当N=∅时，m+1>2m-1⇒m<2。*当N≠∅时，需满足m+1≤2m-1，m+1≥-2，2m-1≤5。解得2≤m≤3。*综上，m≤3。*(2)M⊆N。则需满足m+1≤-2且2m-1≥5。解得m≤-3且m≥3，此时无解。故不存在这样的m。五、总