2026年高考数学终极冲刺：专题06 导数解答题题型全突破（抢分专练6大热点题型）（原卷版）

4/4专题06导数解答题题型全突破题型考情分析考向预测1．极值、最值问题（含参） 2025年全国一卷：第19题考查了不等式证明问题2025年全国一卷：第16题考查了导数与数列知识交汇2025年北京卷：第20题考查了导数的最值导数中的隐零点及新定义问题依旧是热门考点2．零点问题（含隐零点）3．极值点偏移问题4．不等式证明问题5．与其他知识交汇问题6．导数新定义问题题型1极值、最值问题（含参）1、含参函数单调性讨论依据（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论。2、一般性技巧（1）导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．（2）若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.（3）若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.3、恒成立与有解问题（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数，其中.(1)讨论函数的单调性；(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围.2．（25-26高三下·湖南·月考）已知函数.(1)求;(2)已知，函数，当时，求的最小值.3．已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.4．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有极小值，且，求a的取值范围.5．（2025·广东·模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，求的取值范围．6．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，其中，且．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若恰有两个极值点，求实数的取值范围．7．（2026·广东汕头·一模）已知函数．(1)求证：不是函数的极值点；(2)设，，是否存在a，使得函数的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．8．已知函数(1)当时，求函数在上的值域；(2)若对任意，都有，求实数的取值范围．9．（2026·上海闵行·二模）已知.(1)当时，解方程；(2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点.10．（2026·浙江温州·二模）已知函数，．(1)当时，若的值域为，求b的值；(2)若为的极小值点，求实数a的取值范围．11．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知函数．(1)若函数在上的最小值为，求的值；(2)若，函数，求的最小值．12．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数.(1)当时，求函数在区间的最值;(2)若，求的取值范围；(3)当时，求证:．13．（2026·广西桂林·一模）已知函数，其中.(1)当时，求在上的单调性；(2)若存在两个极值点.（i）求的取值范围；（ii）当时，求的取值范围.题型2零点问题（含隐零点）1、利用导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方．2、隐零点的处理思路第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.3、隐零点的同构实际上,很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项,而这类问题由往往具有同构特征,所以下面我们看到的这两个问题,它的隐零点代换则需要同构才能做出,否则,我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例:一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析所以在解决形如,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，其中，为自然对数的底数．(1)求函数的单调区间；(2)讨论函数的零点个数．2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数．(1)若，证明：．(2)设有两个零点．求的取值范围；3．（2026·四川成都·二模）已知函数在处的切线方程为．(1)求，；(2)设是方程的两根，求证：．（注：…是自然对数的底数）4．（2026·新疆·一模）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，判断函数的单调性；(3)讨论函数的零点个数．5．（2026·河北张家口·二模）已知函数.(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；(2)若时，函数有3个零点，求实数的取值范围.6．（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数.(1)判断在区间的单调性；(2)证明：当时，；(3)证明：在上有且只有一个零点.7．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程.(2)当时，证明：当时，.(3)若有两个零点，求a的取值范围.8．（25-26高三下·北京·月考）已知函数．(1)若曲线在点处的切线方程为，求实数a的值.(2)当，时，①记的零点个数为m，极小值点个数为n，证明：：②记①中的极小值点为，零点为，证明：．题型3极值点偏移问题一、常规方法1、和型（或）问题的基本步骤：①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；2、积型问题的基本步骤：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.二、其他方法1、比值代换比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．2、对数均值不等式两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立．3、指数不等式在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：1．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，且，证明：，且．2．已知函数，.(1)若，求a的取值范围；(2)若有两个实数解，，证明：.3．（24-25高三下·河南开封·月考）已知函数(1)求函数在处切线方程；(2)若有两解，，且，求证：．4．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知函数的导函数为.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，，求的取值范围；(3)设，当时，方程仅有两个不相等的实数根，求证：.5．已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：．6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点，且满足，求证：．7．（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知函数.(1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值；(2)若，求证：.题型4不等式证明问题利用导数证明或判定不等式问题1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.1．（2026·福建厦门·二模）设函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．2．（2026·北京房山·一模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，分别讨论函数与在上的单调性；(3)证明：当时，．3．（25-26高三上·湖南·月考）函数.(1)若，求的极小值；(2)当时，证明：.4．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数．(1)若恰有两个零点，求实数的取值范围；(2)当时，证明：．5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数.(1)讨论在上的单调性；(2)若，证明：.6．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知函数.(1)证明：；(2)证明：存在唯一极值点；(3)记（2）中的极值点为，证明：.7．（2026·湖北荆州·一模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论在上的单调性；(3)为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：.（参考公式：）8．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数．(1)若，求函数在处的切线方程；(2)设有且仅有一个极值点，求a的取值范围；(3)若函数存在2个极值点，且满足，求证：．9．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）已知函数．(1)当时，求曲线在原点处的切线方程；(2)若在上单调递增，求a的取值范围；(3)当时，证明：当时，．题型5与其他知识交汇问题1．（2026·河南洛阳·模拟预测）某新能源园区有一块不规则空地如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成.已知圆的半径为4米，点到的距离为5米.现规划在空地内修建两块太阳能光伏板，光伏板I形状为矩形，光伏板II形状为，要求均在线段上均在圆弧上.设与所成的角为.(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；(2)若光伏板I和光伏板II的单位面积年产电值之比为，求当为何值时，能使两块光伏板的年产电总值最大.2．（2026·安徽合肥·二模）某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种的个体，该个体为种的概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第次捕获时种的数目为．统计结果如下表：(1)求的分布列；(2)设函数，已知该区域中种的个体数为180．（将使取得最大值的值作为的估计值）（i）求的估计值；（ii）据（i）估计该区域中物种的个体总数．3．（25-26高三下·重庆·开学考试）在乒乓球亚洲杯的决赛场上，中国队队员王楚钦击败了日本队队员张本智和并夺得金牌，重庆市育才中学高三的学生们深受鼓舞，在冲刺高考的同时，利用课余时间积极地进行乒乓球运动.甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立.(1)当时.（i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为X，求的分布列；（ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率；(2)若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围.4．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数（且）．(1)当时，讨论的单调性；(2)设集合，．（i）若有且仅有一个元素，求的取值范围；（ii）若，求的值．5．（25-26高三下·江西·月考）已知数列的前项和为，且长为，宽为的矩形的周长为.(1)求、；(2)求的通项公式；(3)已知数列的前项和为，证明：.6．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）已知函数.(1)若在定义域上恒成立，求实数的取值范围；(2)若关于的方程的根为，①求证:；②判断数列中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断.7．（2026·辽宁朝阳·一模）已知变量的组观测值为.(1)若变量具有线性相关关系，且样本均值，样本方差，样本相关系数为，其中均为已知常数（i）比较经验回归直线的斜率与的大小，并说明理由；（ii）求关于的经验回归方程，并证明：对于任意给定的观测值，当时，其回归预测值满足.(2)若变量存在线性相关关系，且二者的样本均值均为，方差相等.对于自变量的任意两个取值，利用得到的经验回归方程，记其对应的原变量的预测值分别为.证明：当时，，并简述该结论在数据预测中的意义.附：样本相关系数；样本方差；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.题型6导数新定义问题1．（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数.(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)若在上有解，求的取值范围；(3)设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.2．（25-26高三上·甘肃武威·月考）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，这个公式来自于微积分中的泰勒定理，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式.若函数在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数，则对任意，有，其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项，叫作在处的阶泰勒多项式.已知函数.(1)求在处的3阶泰勒多项式.(2)证明：当时，.(3)当时，是否存在实数，使得不等式成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.3．（2025·湖北武汉·一模）已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数.(1)若在上为凹函数，求实数的取值范围；(2)已知，且在上存在零点，求实数的取值范围.4．（2026·四川·二模）记函数与的复合函数为，其导数为.由此，我们定义函数的一种“嵌套导数”运算：对于可导函数，定义其1阶嵌套导数为；定义其k阶嵌套导数且递归地为.例如，.已知函数.(1)求和的表达式；(2)若，求证：对任意恒成立；(3)设，方程在区间上有唯一实数解.记，试探究的极值点个数与的关系，并说明理由.5．（24-25高三下·江苏·月考）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为.(1)求曲线在处的曲率；(2)已知正弦曲线，①求的曲率的平方的最大值；②若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.6．如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积.(1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积；(2)当时，求证：；(3)求证：.7．（25-26高三上·四川成都·月考）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（IsaacNewton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与轴交于点，并称为的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与轴交于点，称为的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，记与轴交于点，并称为的次近似值.

(1)若函数，取作为的初始近似值，求的2次近似值；(2)若函数，取作为的初始近似值，点，数列是由，，，，构成的，记：，.回答以下问题：（i）求数列的通项公式，并将的长度用表示；（ii）求证：.8．（2026·云南昭通·二模）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：．注：已知在处的阶帕德近似为．(1)求实数的值；(2)当时，试比较与的大小，并证明；(3)已知正项数列满足：，证明：．1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若，讨论函数在上的单调性和零点个数．2．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，令，求证：3．（25-26高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%．(1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望）（ⅰ）求关于p的函数表达式；（ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数）4．（2026·黑龙江·一模）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)当时，求证：．5．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)设函数，证明：，的极小值不大于0．6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.(1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值；(2)已知有三个不同的零点.求的取值范围．7．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数.(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；(2)若存在极值，求a的取值范围.8．（25-26高三上·北京西城·月考）已知函数.(1)求函数在点处的切线方程；(2)设实数使得恒成立，求的取值范围；(3)设，求函数在区间上的零点个数.9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，．(1)若，分析的单调性；(2)证明：当时，．10．（25-26高三上·重庆·期中）重庆一中为培养学生综合能力，积极开展围棋选修课，甲、乙两位同学进行围棋对弈训练，已知甲赢下第一局的概率为，且每位同学在前一局已经获胜的条件下，继续赢下后一局的概率都为.如此重复进行，每局比赛都无平局.(1)求甲同学第2局获胜的概率；(2)记甲同学第局获胜的概率为（）.（i）求的表达式；（ii）若存在正整数，使成立，求整数的最小值.（参考数据，题中是自然对数的底数）11．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数．(1)若函数与的图象关于点对称，求的解析式；(2)当时，求的最大值；(3)判断函数在的零点个数，并说明理由．12．（2026·河北沧州·一模）已知函数．(1)求函数的最大值；(2)已知为数列的前项和，证明：．13．（25-26高三上·广西柳州·月考）已知函数.(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求切点的坐标；(2)当，时，求证：.14．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）在平面直角坐标系中，设动直线恒过定点；直线，为平面上的一个动点，到的距离为；且.(1)求的坐标；(2)求的轨迹的方程；(3)设关于轴的对称点为，，过作与轴垂直的直线，求被分成的左，右两个部分面积之比的取值范围.15．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，且有两个零点.(1)求的取值范围；(2)证明：.16．（2026·河北·模拟预测）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若有2个极值点，且极大值为正数，求的取值范围.17．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知函数，其中，且．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的零点个数；(3)若恒成立，求的取值范围．18．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论在上的单调性；(3)当时，，求a的取值范围．19．（25-26高三下·河北邯郸·月考）设函数．(1)求函数的单调区间；(2)证明：当时，；(3)设，证明：当时，．20．（25-26高三上·广东·期末）已知函数．(1)若，求在区间上的最值；(2)若在区间上单调递增，求的取值范围；(3)若，函数，证明：有且仅有2个零点，且2个零点之和小于．21．（25-26高三上·全国·月考）已知函数．(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；(2)若有2个极值点，求m的取值范围；(3)若有2个零点，求m的取值范围．22．（2026·湖南常德·二模）已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：；(3)若有两个不同的实数解，且，求证：．23．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点.（i）求的取值范围；（ii）证明：.24．已知函数，直线是曲线的一条切线．(1)求的值，并讨论函数的单调性；(2)若，其中，证明：．25．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)求函数的最值；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：．26．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为，其导函数为，且.(1)求的单调区间；(2)已知关于的方程恰有两个实数根，若，求的取值范围；(3)证明：.27．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）.(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个零点分别为.①求实数的取值范围；②求证：.28．设函数.(1)若，求函数的最值；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.29．（23-24高三上·河南·月考）已知函数.(1)当时，求在区间上的最值；(2)若有两个不同的零点，证明：.30．（2025·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）．设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．已知三次函数(1)过点作曲线的切线，求切线方程：(2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围；(3)已知函数，其中．求的拐点．31．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再