人教版初中数学八年级上册期末复习易错解答题专项练习附答案及解析

人教版初中数学八年级上册期末复习

易错解答题专项练习

附答案及解析

1.如图，将aABC绕点力逆时针旋转一个角度a，得到AADE,点8的对应点。恰好落在

8c边上.且点4B、E在同一条直线上，

(1)求证：OA平分N8Z出；

(2)若AC_L08,求旋转角。的度数.

2.为有效解决雨季城市内涝问题，某市决定对部分老街道的地下管网进行改造.在改造一

段长2400米街道地下管网时，由于采用新的施工方式，每天的施工效率比原计划提高了20%,

按这样的进度可比原计划提前5天完成任务.求实际施工时每天改造管网的长度与实际施

工天数.

3.如图，在平行四边形ABCD中，EF||AB且交BC于点E,交AD于点F,连接AE、BF

交于点M,连接CF、DE交于点N,连接MN.试探讨MN与AD的大小关系和位置关系，

并加以证明.

4.如图，在aABC中，/ABC=60o,/AC8=40o,BE_LAC于点及与跖交于点尸.

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A

(1)求/ABE的度数；

⑵若AZ)平分NBACDG平分/ADC,试说明OG〃8E.

5.某学校需购进一批电脑和电子白板，经市场调查，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5

万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.

(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元；

(2)根据学校实际，需要购进电脑和电子白板共30台，如果总费用不超过30万元，那么该学

校至少需要购进电脑多少台？

6.2023年5月30日上午9点3I分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学

组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A,3两款

文化衫,每件A款文化衫比每件8款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进8款

的文化衫的数量相同.求A款文化衫和〃款文化衫每件各多少元？

7.如图所示，在VA3C中，点D、E分别为相、AC的中点，点”在线段CE上，连接BH,

点G、尸分别为4"、C”的中点.

(1)求证：四边形DEFG为平行四边形

(2)DG上BH,BD=3,EF=2,求线段8G的长度.

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8.如图，在&ABC中，ZACB=90°，点。在8C延长线上，且OC=AC，将2BC延8c方

向平移，使点C移动到点。，点A移动到点E,点8移动到点尸,得到,连接CE,

过点尸作尸GJ.CE于G.

(1)依题意补全图形；

(2)求证:CG=FG

(3)连接8G,用等式表示线段8G,E尸的数量关系，并证明.

9.某公司在工程招标时，收到甲、乙两个工程队的投标书，该公司根据投标书提出三种方

案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程，要比规定工期多

用5天；③甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.

(1)求规定的工期为多少天？

(2)甲工程队每天需支付1.5万，乙工程队每天需支付1万，在保证工程如期完工的前提下，

哪种方案施工费用最少？

10.如图1在VABC中,Zfi4C=120°tAB=AC点。和点月是边8C上两点连接ADAE,

得到V4九’是一个等边三角形.

(1)求证：4ABD^4ACE;

(2)将等边/、ADE绕点A旋转至如图2所示的位置点。仍然在边BC上点E落在边8C外，

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(1)若AC=9,求8。的长；

(2)猜想8c与房之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)在点，运动过程中，/为与P/之间的数量关系是否会发生变化？若不变化，写出它们之

间的数量关系并证明；若变化，请说明理由.

14.如图，已知AB】/CF,点。是48上一点,DF交AC于点、E,且DE=FE.

⑴求证：&ADE珏CFE;

(2)若A3=7,CF=4,求8。的长.

15.习近平总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中

和”，某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源/型和8型两款汽车，已知每辆/型

汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，现公司用1500万元购进/型汽车的数量比1200万

元购进8型汽车的数量少20辆.

(1)求每辆48型汽车进价各是多少万元？

(2)4型汽车利润率为5%,8型汽车利润率为8%,那么该公司出售完此批汽车后总利润是

多少元？

16.在Rt”\〃。中，NACO=90。，利用直尺和圆规作图.

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c

AL----------------

⑴作出A8边上的中线CO；(不写做法，保留作图痕迹)

(2)作出VA8C的角平分线AE；(不写做法，保留作图痕迹)

⑶在(2)的条件下，若/的£=28。，求的度数.

17.如图，正方形A3CD和正方形平放在一起(4B、E三点在同一条直线上).

(1)若两个正方形的面积分别是16和9,直接写出边A石的长为.

(2)①设正方形AAC。的边长为。，正方形BEAG的边长为〃，求图中阴影部分的面积.(用含

〃和人的代数式表示)

②在①的条件下，如果。-〃=10,必=24,求阴影部分的面积.

18.如图，AABC是边长为12cm的等边三角形，点只。分别从顶点入，8同时出发，点。沿

射线A8运动，点。沿折线8C-C4运动，且它们的速度都为lcm/s,当点。到达点A时，

点P随之停止运动，连接。Q，PC,设点P的运动时间为«s).

(1)当点。在线段8c上运动时，8。的长为(cm),8P的长为(cm)(用含，的

式子表示).

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(2)当P。与aABC的一条边垂直时，求/的值.

(3)当点Q从点C运动到点A的过程中，连接，直接写出P。中点0经过的路径长.

19.如图，在四边形A8C。中，AD//BC,E为C。的中点，连结AE,BE，延长4石交

(1)求证:AD/4E=ACFE;

(2)若BEqAF,求证：AB=BC+AD.

20.当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1,

可得等式：(。+2/7乂。+力)=/+3"+32.

图1图2图3

(1)由图2,可得等式：.

⑵利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知“+/?+〈'=I2,〃力+/"、+&、=32,求

a2+b2+c2的值.

21.某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元

购进的足球和用480元购进的篮球数量相等.

(1)篮球和足球的单价各是多少元？

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(2)若篮球售价为每个150元，足球售价为每个11。元，商场售出足球的数量比篮球数量的三

分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？

22.(1)如图①，等腰直角三角形A8C中，ZABC=90P,AB=BC，点Z,8分别在坐标

轴上，若点C的横坐标为2,直接写出点8的坐标.

(2)如图②，若点力的坐标为(-6,0)，点8在y轴的正半轴上运动时，分别以。8,AB为

边在第一、第二象限作等腰直角三角形。8/，等腰直角三角形ABE连接EF交y轴于点尸，

当点8在y轴的正半轴上移动时，心的长度是否发生改变？若不变，求出榜的值若变化，

23.为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业.根据市场需求，某小型企业为加快生产速

度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%,设更新设备前每天生

产x件产品.解答下列问题：

(1)更新设备后每天生产件产品(用含x的式子表示)；

(2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每

天生产多少件产品.

24.【尝试计算】

(1)计算：

①(x+#(f-口+V);

②(%-目12+勺+9).

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【阅读思考】

(2)我们知道，利用整式的乖运算，有时可以将几个整式的乘积转化为一个多项式的形式，

而因式分解则是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，所以因式分解与整式乘法是方

向相反的两个变形.利用这一关系，请结合(1)中的计算过程，尝试写出因式分解的两个

公式；

【启发应用】

(3)利用(2)中的两个公式把下列各式分解因式：

①x-；

②"+8人

25.在等边△/日?中，点。是直线8c上的一个点(不与点8、C重合)，以力。为边在

右侧作等边△/IOE,连接CE.

AA/

RDCDEB，¥「A

图1图2图3

(1)如图1,当点。在线段8C上时，求证：BD=CE\

(2)如图2,当点。在线段8C的反向延长线上时，若求的度数；(用

含泌代数式表示)

(3)如图3,当点。在线段SC的延长线上时，若BDiDEt且SABC=4,求心工右厂的面

积.

26.如图，中，A4=AC，点。为8。中点，NMDN=9Q。，NMDN绕息。旋转，

使0M与边力B交于E(不与4,8重合)，DN与边AC交于点尸.

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MA

RDC

(1)求证：DE=DF;

(2)若8C=6,求四边形4的面积.

27.如图，在oACFZ)中，点8,E分别在AC,。尸上，AB=FE,AF分别交4。，CE于

(1)求证：四边形8CE。是平行四边形；

(2)已知小=6,连接BN,若BN平分/DBC,求CN的长.

28.为增强学生体质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目.体育用品商店得知后，

第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，但这次每盒的进

价比第一次的进价高25%,购进数量比第一次少了30盒.

(1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？

(2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元，求每盒乒乓球

的售价至少是多少元？

29.阅读下列材料：

因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如

2.。+)，2-16.我们雄心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形

后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.过程如下：

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x2-2Ay+/-16=(x-.v)：-16=(x-y4-4)(x-y-4).这种因式分解的方法叫分组分解

法.利用这种分组的思想方法解决下列问题：

(1)因式分解：a?-6ab+9b2-36；

(22ABC三边。，b，。满足/+。2+幼2_2他-%c=0，判断&ABC的形状并说明理由.

附答案及解析

1.(1)见解析

(2)72°

分析：本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结

合图形进行分析是解题的关键.

(1)根据旋转的性质可得：Nl=/B,AD=AB,然后利用等边对等角可得N2=N8,从

而可得N1=N2,即可解答；

(2)设4。与DE交于点。,根据旋转的性质可得：AB=AD,N3=N4=a,ZC=ZE,

再根据垂直定义可得44比=90。，从而可得NC=NE=90。-。，然后利用等腰三角形的性

质以及三角形内角和定理可得N2=N8=90。-，再根据三角形的外角性质可得

N4=N4+NC,从而可得。=90。-3。+90。-。，最后进行计算即可解答.

详解：(1)证明：如图：

.-.Z2=ZB,

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/.Z1=Z2,

..DA平分NEDB；

(2)解：如图，设AC与/万交于点O,

由旋转得：AI3=AD,N3=N4=a,ZC=ZE,

QACA.DE,

.­.Z4OE=90°,

.•.ZC=ZE=90°-Z4=90°-(7,

-,-AB=AD,

180。一/3180。—a

Z2=ZB==90°--a

~T~~2~2

•.•N4是VABC的一个外角，

/.Z4=ZB+ZC,

.•.«=90°--«+900-»,

2，

解得：a=720,

・•・旋转角a的度数为72。.

2.实际施工时每天改造管网的长度96米，实际施工25天

分析：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正弼列出分式方程是解题的关键.

设原计划每天改造管网上米，则实际施工时每天改造管网(1+20%口米，利用工作时间=工作

总量+工作效率，结合实际比原计划提前5天完成任务，可列出关于x的分式方程，解之经

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检验后，可得出原计划每天改造管网的长度，再分别将其代入(l+20%)x及中,即

可求出结论.

详解：解：设原计划每天改造管网X米，则实际施工时每天改造管网。+20%*米,

跖坦斯上..

24002400-

根据题意得.x(l+2(i%)x

解得：x=80,

经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意,

24002400«

/.(1+20%)x=(l+20%)X80=96

(l+20%)x-(1+20%)x80_-

答：实际施工时每天改造管网的长度96米，实际施工25天.

3.MN=yAD,MN||AD,证明详见解析

分析：可分别证明四边形ABEF,ECDF均为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平

分，可得MN为^AED的中位线.

详解:解:MN=；AD,MN||AD;

证明：•.四边形ABCD是平行四边形

.-.AB||CD,AD||BC,

vEF||AB,/.EF||CD

.•・四边形ABEF、四边形EFDC均是平行四边形，

.-.AM=EM,FN=CN,

.-.MN是&AED的中位线，

/.MN=|AD,MN||AD.

总结：本题主要考查平行四边形的判定和性质以及中位线定理.三角形的中位线的性质定理，

为证明线段相等和平行提供了依据.

4.(1)10°

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(2)见解析

分析：(1)利用三角形的内角和定理求解NB4c=80。,再结合垂直的定义，三角形的内角

和定理可得答案；

(2)求解/GOC=g/4DC=50。=/A4C-NAA£=50。，可得NGDC=NEBC,

从而可得结论.

详解：(1)解：­:ZABC+ZACB+ABAC=\W,Z4BC=60°,ZAC«=40°,

ABAC=1800-ZABC-ZACB,

=180o-60o-40o=80°.

-BEA.AC,

ZAEB=90°,

ZABE=90°-^BAC

=90°-80°=10°.

(2)♦.•4)平分NBA。,

/.ZBAD=-ZBAC=-x80°=40°,

22

^ADC=^BAD+^ABC=400+60°=100°.

•.•DG平分/ADC,

ZGDC=-ZADC=1x100°=50°.

22

•/ZEBC=ZABC-ZABE=60°-10°=50°,

:2GDC=/EBC.

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...DG//BE.

总结:本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的含义，平行线的判定，

熟记三角形的内角和定理并灵活应用是解本题的关键.

5.(1)每台电脑0.5万元，每台电子白板I.5万元；

(2)15台;

分析:(1)设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意列方程组列式求解即可得

到答案；

(2)设购电脑z台，根据题意列不等式求解即可得到答案；

详解：(1)解：设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，

x+2y=3.5x=0.5

,解得《

2x+y=2.5y=1.5

答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；

(2)解：设购电脑z台，由题意可得，

0.5z+1.5(30-z)<30,

解得：z>\5,

•.2为整数，

••2最小值为15,

答：至少购买电脑15台；

总结：本题考查二元一次方程组解决应用题及不等式解决应用题，解题的关键是根据题意找

到等量关系式.

6.A款文化衫每件50元，8款文化衫每件4。元

分析：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程.

设〃款文化衫每件x元，则A款文化衫每件(x+10)元，利用数量=总价+单价，结合用500元

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购进A款文化衫和用4(X)元购进8款文化衫的数量相同：可列出关于x的分式方程，解之经

检验后，可求出3款文化衫的单价，再将其代入(X+IO)中,即可求出A款文化衫的单价.

详解：解：设3款文化衫每件工元，则A款文化衫每件(X+10)元，

…加★始500400

根据题思得：一—=—,

x+10x

解得：x=40,

经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，

.\x+10=40+10=50.

答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件4()元.

7.(1)见解析

⑵石

分析：(1)由三角形中位线定理得到。石〃=,GF〃BC,GF=；BC,得到

GF//DE,GF=DE,即可证明四边形。EFG为平行四边形；

(2)由四边形心屏6为五行四边形得到。G=M=2,由力G_L5”得到/£心/?=90。，由

勾股定理即可得到线段3G的长度.

详解：(1)解：•.点。、E分别为A3、AC的中点，

：.DE//BC,DE=^BC,

•.点G、尸分别为44、CH的中点.

.-.GF//BC.GF=-BC,

2

:GF〃DE,GF=DE,

.•・四边形DEPG为平行四边形；

(2),.四边形DE"G为平行四边形，

;.DG=EF=2,

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：DGLBH,

：.ZDGB=90°,

：BD=3,

••BG=XIBEF-DG2=V32-22=x/5•

总结：此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形

为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键.

8.(1)见详解

(2)见详解

(3)EF=6BG,理由见详解

分析：(1)按要求作图即可；

(2)根据平移的性质可求NECQ=45。，再求NCFG=90。-NECD=45。,即可得证；

(3)连接AG、DG,可证,从而可得AG=QG,ZAGJNDGC,再证

△BCGRDFG，从而可得BG=DG,NBGC=NDGF，从而可证NAG5=90。，即可得证.

详解：(1)解：如图

AE

(2)证明：由平移得:

ZD=ZACT=90°,AC=ED,

-DC=AC,

:.DC=DE,

ZECD=-x90°=45°,

2，

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-FG±CE,

/.ZCGF=90°,

/.ZCFG=90°-Z£CD=45°,

:.CG=FG.

(3)解：EF=<2BG.

理由：如图，连接AG、DG,

VZACF=ZACB=9Q°,

:.ZACG=ADCG=450,

在AACG和△DCG中

AC=DC

<ZACG=4DCGt

CG=CG

.^ACG^DCG(SAS),

AG=DG,ZAGC=ZDGC;

/BCG=ZACB+乙式:G=135。,

ZDFG=1800-ZCFG=135°,

/HCG=/DFG;

由平移得：BC=DF;

在△ZJCG和中

BC=DF

NBCG=ZDFG,

CG=FG

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.△8CG/△OR;(SAS),

;.BG=DG,/BGC=/DGF,

BG=AG,

ZAGC-NBGC=/DGC-/DGF,

ZAGB=ZCGF=90°,

:.AB=0BG,

：.EF=41BG.

总结：本题考查了平移的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关的判定方法

及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键.

9.⑴20天

(2)方案③施工费用最少

分析：本题考查分式方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程

是解答的关键.

(1)设这项工程为单位1,规定的工期为x天，根据题意列出方程求解即可；

(2)先求得方案①③所需费用，再比较可得结论.

详解：(1)解：设这项工程为单位1,规定的工期为x天，

4x

根据题意，得一+--=1,

xx+5

解得*二20,

经检验，x=20是所列方程的解，

答：规定的工期为20天；

(2)解：由题意和(1)知，甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项工程需25

天，故①③方案能够保证工程如期完工，

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方案①所需施工费用为20x1.5=30(万元)，

方案③所需施工费用为4x1.5+20x1=26(万元)，

•.-30>26,

，方案③的施工费用最少.

10.(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)BD=1

分析：(1)先证明ZAEC=12()。，进而根据AAS证明4A/运△ACE;

(2)以AC为边作等边三角形“IGC,连接GE,则AG=AC=AB,证明"①汪,

得出NCGE=/4GE=30。，进而证明比CGE,即可得证；

(3)过点/作物_L八。于点〃,延长GE交AC于点K,证明△AEC是等腰直角三角形，

得出=,AH=FH,进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得

2

EK、CG、GK,根据泾AAGE,得出BD=GE=GK-EK,即可求解.

详解：(1)证明：•,N84C=120。，AB=AC,

ZB=ZC=30°,

•「△ABE是等边三角形，

:.ZAED=ZADE=a)°,

:.ZADR=ZAEC=nGP,

在△人AO和△ACE中，

N8=NC

NADB=Z.AEC,

AB=AC

.•.△48恒△ACE(AAS).

第20页共44页

(2)证明：如图所示，以AC为边作等边三角形^AGC,连接GE,则AG=AC=A8,

■.NBAC=120。，AB=AC,

.•.N54G=NC4G=60。，/B=NC=30°,

是等边三角形，

：.AE=DE,ZA£D=60°,

/.ZBAG-ZDAG=ZDAE-ZDAG,即NBAO=NG4E,

在"80,"GE中，

AB=AG

、/BAD=/GAE

AD=AE

：.^ABD^^AGE(SAS)

：,Z4GE=/8=30。

:.NCGE=ZAGE=30°

在△AGEACGE中，

AG=CG

<ZAGE=/CGE

GE=GE

.•△AGE%CGE(SAS)

:.AE=CE.

第21页共44页

(3)解：如图所示，过点尸作内〃，4c于点〃，延长GE交AC于点K,

B

G

-：EA=EC,GA=GC

：.GK±AC

\ZADC=450,Z4O£=60。

/EDC=15。

又.EC=EA=ED

：.ED=EC

：./DEC=180°-2xl5°=150°

/.ZAEC=ZDEC-ZAED=90°,则△AEC是等腰直角三角形，

：.EC=—AC,AH=FH,

2

在RtZ\777C中，CF=2,ZACF=30°,

：.FH=\,HC=^FC--FH2=V5,AC=AH+HC=\^-y/3,

.“1s1+J3

..EK=—AC=-------,

22

在Rt^CGK中，CK=EK=,CG=l+6,

2

：.GK4,

2

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：.BD=GE=GK-EK.

22

总结：本题考查了全等三角形的性质与判判定，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性

质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

11.(1)汽车行驶中每千米用电费用是0.08元

(2)至少需要用电行驶50千米

分析：本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程

和不等式是解此题的关键.

(1)设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为(x+0.42)元，根据题意列

出分式方程，解方程即可得出答案；

(2)设汽车用电行驶)'km,根据“行驶总费用不超过29元”列出不等式，解不等式即可得出

答案.

详解：(1)解：设汽车行驶中每千米用电费用是工元，则每千米用油费用为(工+0.42)元，

5()R

根据题意,得际二

解得：x=0.08,

经检验x=0.08是原方程的解，

答：汽车行驶中每千米用电费用是0.08元;

(2)解：由(1)得：甲、乙两地的距离是8+0.08=100千米，

汽车行驶中每千米用油费用为008+047=05元,

设汽车用电行驶冰m,

根据题意，得:0.08y+0.5（100-y）＜29,

解得：了之50,

所以至少需要用电行驶50千米.

第23页共44页

12.⑴见解析

（2）AC=8

分析：（1）由角平分线的定义得N84力=NC4。,由平行线的性质得加/）=/尸，

ZCAD=^AGF,等量代次可证结论成立；

（2）由等角对等边得A〃=AG=3,根据AAS证明△4。”^^CEG得4"=CG=5,进而可

求出AC的长.

详解：（1）是VA8C的角平分线，

/.ZBAD=ZCAD.

-,-EF//AD,

/.ZBAD=ZF,ZCAD=A\GF,

/.ZF=ZAGF;

（2）vZF=ZAGF,

.\AF=AG=3.

・.・EF〃AD,

:"CAD=/CGE.

BH//AC,/BHD=/CAD/DBH=ZC,

:./BHD=/CGE.

在△人/?£）和△人（?£中，

/BHD=ZCGE

<NDBH=4C>

BD=CE

.28O”％CEG（AAS）,

:.BH=CG=5,

第24页共44页

.-.AC=CG+AG=3+5=8.

总结：本题考查了角平分歧的定义，平行线的性质，等角对等边，以及全等三角形的判定与

性质，证明△B/汨且ACEG是解答本题的关键.

13.(1)6

⑵BC=I正,证明见解析

(3)不变化，PB=PF,证明见解析

分析：(1)由题意得NC8£)=ZA3£)=30。，DE=DC,BD=2DC,贝jiZA=ZABD=30°,

AD=BD=2DC，由AC=AO+Z)C=2Z)C+DC=3r>C=9，可求£>C=3，进而可求6。的

长；

(2)证明RSAC屋Rt△跖力(HL),进而可得8C=BE;

(3)由题意知，NBQC=900-NCBD=60。，/GDP=NBDC=3。，证明△GQQ是等边三

角形，贝iJ/7)=PG=/X；,NDPG=NPGD=NGDP=60°,由R^8C度Rt△班:£)(HL),可

得NBDE=NBDC=60°,则N/Z>P=N4GP,证明△fP*J?PG(ASA),则尸尸=8P.

详解：(1)解：•.ZAC8=90。,ZA=30°,8。是VA8C的角平分线，DEJ.AB,

;.ZCBD=ZABD=30°,DE=DC,BD=2DC,

..Z4=ZA8£>=30°,

：.AD=BD=2DC,

：.AC=AD+DC=2DC+DC=3DC=9,

解得，DC=3,

：.BD=2DC=6,

..8。的长为6；

(2)解：BC=BE,证明如下；

第25页共44页

\BD=BD,DC=DE,

,RtA3C£^RLBEQ(HL),

ABC=BE;

(3)解：不变化，PB=PF,证明如下；

由题意知，ZB/X?=90°-ZCT/)=60°,

/.ZGDP=ZBDC=60°,

\DG=DP,

,△GDP是等边三角形，

：.PD=PG=DG,/DPG=/PGD=/GDP="：

♦./£炉尸=60。，

/.NBPF+NBPD=NDPG+NBPD,即/FPD=4BPG,

•.RtABC£^RtABED(HL),

：./BDE=/BDC=60P,

/.ZFDP=1800-ZBDE-ZBDC=60°=ZBGP,

：ZFDP=ZBGP,PD=PG,/FPD=NBPG,

「.△Q虑△BPG(ASA),

：.PB=PF.

总结：本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性

质，三角形内角和定理，含30。的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识.熟练掌握

角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30。的直角三角形，

等边三角形的判定与性质是解题的关键.

14.(1)见解析

第26页共44页

(2)3

分析：本题主要考查全等三角形的性质与判定；

(1)由题意易得乙4二/ECE44。石=/尸，然后问题可求证；

(2)由(1)可得人。=。F=4,然后问题可求解.

详解：(1)证明：,

：.幺=NECF,ZADE=/F,

在VAOE和△CEE中，

NA=NECF

NADE=NF9

DE=EF

/.△^DE^ACFE(AAS);

(2)解：；MDEg卫FE,CF=4,

；.AD=CF=4,

：,BD=AB-AD=7-4=3.

15.(1)每辆A型汽车进价是15万元，每辆8型汽车进价是10万元；

(2)该公司出售完此批汽车后总利润是171万元.

分析：本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用；

(1)设每辆8型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.54万元，利用数量=总价+单

价，结合用isoo万元购进A型汽车的数量比1200万元购进区型汽车的数量少20辆，可列出

关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；

(2)根据题意列出算式，求出两种汽车利润之和即可.

详解：(1)解：设每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.5x万元，

120015002

根据题意得：-------------------=20

\.5x

第27页共44页

解得：X=i(),

经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意.

,\1.5x=1.5xl0=15,

答：每辆8型汽车进价是10万元，则每辆A型汽车进价是15万元；

(2)15(X)x5%+12(X)x8%=171(万元)，

答：该公司出售完此批汽车后总利润是I7I万元.

16.⑴见解析

(2)见解析

(3)ZAEB=118°

分析：本题考查复杂作图、角平分线的定义，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解为简

单作图是关键.

(1)作A〃的垂直平分线，交48于。，连接C。即可；

(2)利用基本作图法作出角平分线即可；

(3)根据角平分线的定义得到NC4E=N8AE=28。，再由三角形的外角定理即可求出

AAEB.

详解：(1)如图，线段CD即为所求，

(2)如图，线段AE即为所求作的线段，

第28页共44页

(3),/4E平分/8AC,

ZG4E=ZR4E=28°,

..Z4EB=ZC4E+Z4CE=28o+90o=118°.

17.(1)7

⑵①%/+；从一《外；②14

分析：本题考查了正方形的性质，割补法求不规则图形面积，整式混合运算；

(1)分别由正方形的面积直接可以求出边长，即可求解；

(2)0S阴影=S正方形ABCD+S正方形BEFG-S^ADC-^^AEF,②任①可得'腌=g[(a+/?『-3a“，即

可求解；

掌握割补法，能根据已知等式化简整式的形式用整体代换的思想求解是解题的关键.

详解：(1)解：由题意得

AB=y/ie=4,

5E=79=3,

:.AE=AB+BE

=4+3=7;

故答案：7.

(2)解：①S阴影=S正方形ABC。+S正方影BEFG~S.A0c-S.AEF

=a2+b2-—«2--(a+b)b

=a2+b2--a2--ab-^-b2

222

第29页共44页

=-a2+-b2--ab;

2221

②由①知S阴影=-fl2+弓〃一~^ab

乙乙乙

=g(c/+廿-ab)

=五("〃)2-3时，

当。+〃=10,"=24时，

S阳极=gx(l()2—3x24)

=-x28

2

=14.

18.⑴/；(12-/);

(2)/=4s或，=8s或，=]6s；

(3)6cm.

分析:(1)结合题意“点尸沿射线45运动，点。沿折线BC-CA运动，且它们的速度都为

1cm/sM,即可获得答案;

(2)分三种情形讨论：当时，当QPLAB时和当PQ_LAC时，分别求解即可；

(3)设PQ与8c交于点N，过点。作QM〃AZ?,交8c于点M，证明△QMNGAPH/V,

由全等三角形的性质可得QN=”,即N与。。中点。重合，易知PQ中点。的运动轨迹在

边上，且点。经过的路径长为边的一半，即可获得答案.

详解：(1)解：根据题意，当点Q在线段AC上运动时，

BQ-remt,5P=(12—，)cm.

故答案为：f;(12-r)；

(2)解：:VABC是边长为12cm的等边三角形，

ZA=ZABC=ZACB=60°,AB=AC=BC=\2cm,

第30页共44页

如图1中，当。时，

图1

•.・NPQ8=90。，ZA^C=60°,

^BPQ=90°-^ABC=30°,

：.PB=2BQ,

：A2-t=2t,

解得f=4s;

如图2中，当。时，

图2

ZQPB=90°,/ABC=6O。，

ZPQB=90°-ZLABC=30°,

：.QB=2BQ,

.-7=2(12-/),

解得f=89;

第31页共44页

如图3中，当尸Q_LAC时，

图3

••・NPQA=90。，ZA=60。，

o

;.ZAPC=9(F-ZA=30,

：.AP=2AQ,

.J=2(24-f),

解得f=16s.

综上所述，/=4s或/=8s或/=16s;

(3)解：根据题意，当点。从点。运动到点A的过程中,

C6=BP=(r-12)cm,

如下图，设PQ与BC交于点N，过点。作。“〃A8,交8c于点M,

贝|JNMQN=N4PN,^CQM=ZA=60°,NGWQ=NA8c=60。,

.•.△CQM为等边三角形，

:QM=CQ=BP,

在AQMN和△〃“心中，

第32页共44页

NQNM=ZPNB

<NMQN=4BPN,

QM=BP

.•.△QMNg△PBMAAS),

:QN=PN,即N与PQ中点。重合，

中点。的运动轨迹在边4c上,

当。与点C重合时，尸与点/?重合，此时PQ中点。位于8C中点，

当。与点A重合时，此时C=24s,

/.BP=r-12=12cm,

：.AB=BP,即此时PQ中点。与点8重合，

中点。经过的路径K=gBC=6cm.

总结：本题主要考查了等边三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用、含30

度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，运用分类讨论的思

想思考问题是解题关键.

19.(1)详见解析；(2)详见解析.

分析：(1)AO〃8c可得两组角想等，由点E为C。的中点得出ED=EC,从而可证全等.

(2)利用三线合一的性质可以得出AB=BF,将BF分成BC和CF,再根据(1)中全等所得条件

CD二CF即可转换成所证.

详解：⑴解：•.AD//BC

:"D=/ECF,ZDAE=AF

•.点E为CQ的中点

:.ED=EC

..^DAE^^CFE(AAS)

第33页共44页

(2)由(1)可得AE=M,AD=CF

\BEJ.AF

:AB=BF

:BF=BC+CF,CF=AD

：.AI3=I3C+AD

总结：本题考查三角形全等的性质与判定，关键在于掌握基础知识.

20.(1)(^+Z>+c)2=a2+b2+c2+2ab+2xic+2bc;

(2)88.

分析：本题考查的是多项式的乘法与几何图形面积的关系，完全平方公式的几何意义以及灵

活应用，熟练的利用面积法得到代数恒等式是解本题的关键.

(1)由图2的面积可表示为：(a+/?+c)~或/+//+/+2a〃+2儿+2ac,再利用面积的不

变性可得等式；

(2)把a+〃+c=12,ab+bc+ac=2S^X(a+b+cy-cT+b2+c2+2ab+2bc+2ac，从而

可得答案.

详解：(1)解：由图(2)的面积可表示为：(a+〃+c)2或/+/+。2+2。〃+给c+2ao；

，可得等式为：(〃+人+cP=/J+/??+c2+2ab+2bc+2ac;

(2)ft?：•.,(a+Z?+c*)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,a+b+c=l2,ctb+bc+ac=2S,

/.122=a2+Z>2+c2+2x28,

.•“2+/+/=144-56=83.

21.(1)足球单价为90元，篮球单价为120元；

(2)获利超过1300元，篮球最少要卖31个.

分析：(1)利用分式方程即可求出篮球和足球的单价；

第34页共44页

(2)设购买篮球加个，则购买足球+1。1个，根据题意列不等式即可；

本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用解题的关键是弄清题意找准等量关系和不

等量关系，正确列出方程和不等式.

详解：(1)解：设足球单价为x元，则篮球单价为(x+30)元，

士叼*出360480

由题意得：一=——

xx+30

解得x=90,

经检验：x=90是原分式方程的解，

则x+3O=9O+3O=12O,

答：足球单价为90元，篮球单价为120元；

(2)解：设购买篮球〃，个，则购买足球+个，

由题意得：(150-120)〃?+(1IO-9O)x(1,〃+lO>1300