安徽省部分校联考2025-2026学年高二数学下学期3月开学考试含解析

安徽部分校联考2025-2026学年高二数学下学期3月开学考试试卷

一、单选题

1491625

1．已知数列,,,,,，则该数列的通项公式可以为（）

23456

n12n2n2n12

A．(1)nB．(1)nC．(1)nD．(1)n

n2n2n1n1

2．在空间直角坐标系中，点P4,2,1到y轴的距离为（）

A．2B．15C．17D．3

3．已知直线x4y20，4xy20，x2的倾斜角分别为，，，则（）

A．B．C．D．

4．已知点P0,2是圆C:(x2)2(y1)2m上一点，则过点P且与圆C相切的直线l的方程为（）

A．2xy20B．2xy20C．x2y20D．x2y20

5．某质点沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为ytt22t，若质点在1t5

这段时间内的平均速度等于tt0时的瞬时速度，则t0（）

A．2B．3C．4D．5

y2x2

6．已知A是双曲线C:1(a0,b0)的下顶点，直线yt与C交于M，N两点，若存在t0，使

a2b2

得AMN为等边三角形，则C的离心率的取值范围为（）

2323

A．1,B．,C．1,2D．2,

33

7．设等差数列an的前n项和为Sn，若a7a80，a5a6a100，则满足Sn0的n的最小值为（）

A．8B．13C．14D．15

8．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.设

椭圆C的两个焦点分别为F12,0，F22,0，如图，光线由点F1发出射到椭圆C上的点P处，经反射后到

点F2，再经过x轴反射到椭圆C上的点H，最后反射回点F1，若光线经过的总路程为12，且PF22HF2，

则直线PF2的斜率为（）

4

A．3B．-2C．2D．

3

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（）

A．若fx2x，则fx2x

B．若fxxcosx，则fxcosxxsinx

lnx1lnx

C．若fx，则fx

xx2

1

D．若fx2x1，则fx

2x1

10．如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，ABAA12，BAD60，G是棱A1D1的中

点，则（）

1

A．BGDCDADD

21

B．BGAC3

5

C．BG在平面CDD1C1内的投影向量的长度为

2

1

D．BG在AD上的投影向量为AD1

12

11．已知实数a,b满足a2b24a4b70，则（）

ab3

A．的最小值为

434

B．aabb的最小值为322

2ab

C．的最小值为217

ab14

22

D．当m0,时，a2mbmm1的最小值为131

三、填空题

7

12．在等比数列a中，aaa，aaa7，则a________.

n12322341

13．若函数fxaexx的图象与直线y3x2相切，则a________.

x2y2

14．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:1的左、右顶点分别为A，B，直线l是C的一条渐近线，

412

2π

将坐标平面以直线l为轴翻折，使得二面角AlB为，则翻折后线段AB的长度为________.

3

四、解答题

15．已知点A1,0和B3,2，圆C以AB为直径.

(1)求圆C的方程；

(2)已知圆M:x2y22x50，求圆C与圆M的公共弦长.

16．记数列an的前n项和为Sn，已知2Snan2n2.

(1)证明：an1是等比数列；

(2)设bnnan1，求数列bn的前n项和Tn.

17．如图，在三棱锥PABC中，PCACAB，PABC，ACAB，D，E分别为BC，PA的中点.

(1)证明：DEAC；

(2)若PCAB，AC2，求平面AED与平面CDE夹角的余弦值.

x2y22

18．已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，A，B分别是C的上、下顶点，且AB4.

a2b22

(1)求C的方程．

(2)已知M，N是C上异于A，B的两个不同的点．

（ⅰ）若M，N关于y轴对称，证明：直线AM与BN的斜率之积为定值；

（ⅱ）若直线MN经过点0,1，证明：直线AN与BM的交点在定直线上.

19．已知an是一个项数有限的数列，从an中任意选出若干项，按原顺序组成数列An，剩余的项按原

顺序组成数列Bn，An和Bn都至少有1项，An所有项的和记为SA，Bn所有项的和记为SB.

(1)若an共有3项，a11，a22，a33，求SASB的取值集合；

(2)若an是首项为2，公比为2的等比数列，共有2026项，求SASB的最小值；

SS

(3)已知a是首项为1，公差为1的等差数列，共有m项，A有p项，求AB的最大值.（结果

nnpmp

用m表示）

参考答案

1．D

【详解】根据分母2,3,4,5,6，可知分母为n1，

观察数列各项，符号为正负交替，可表示为(1)n1，

分子为1,4,9,16,25,，是项数的平方，即n2，

n12

则数列的通项公式可以为(1)n.

n1

2．C

2

【详解】点P4,2,1到y轴的距离为42117.

3．D

111

【详解】由x4y20得yx，所以ktan，

4214

又4xy20得y4x2，所以k2tan4，

π

所以tantan，所以0，

2

π

又x2，所以，

2

所以.

4．A

【详解】因为点P0,2在圆C:(x2)2(y1)2m上，

所以(02)2(21)2m，解得m5，即圆C的方程为(x2)2(y1)25，

211

则圆心(2,1)，所以直线CP的斜率k，

10(2)2

则过点P与圆C相切的直线l的斜率为2，

所以直线l的方程为y22(x0)，即2xy20.

5．B

【详解】由题意得：y13,y5522535，

y5y135332

所以质点在1t5这段时间内的平均速度为：8，

51514

又yt2t2，所以yt02t028，解得t03.

6．B

【详解】存在t0，AMN为等边三角形，

则OAMOAN30，

即过点A0,a，且斜率为3的直线与双曲线上支有交点，

可设lAN:y3xa，

y3xa

2222

y2x2，3bax23abx0，

1

a2b2

23ab2

解得x0或x，

3b2a2

23ab26ab2

当x时，y3xaaa，

3b2a23b2a2

3b2b21

即1，故3b2a20，解得，

3b2a2a23

cb2123

e11,

aa233

23

则C的离心率的取值范围为,．

3

7．C

【详解】由题意得a5a10a7a8，a6a82a7，所以a5a6a10a6a7a83a70，

所以a70，又a7a80，所以a80，故数列是递增的等差数列，

14a1a14

所以S1313a70，S，因为a7a8a1a14，

142

14a1a1414a7a8

所以S7aa0，S1515a80，

142278

又a1a2a70a8a9，所以满足Sn0的n的最小值为14.

8．A

【详解】由题可知PF1PF2HF1HF22a2a4a12，

所以a3，

设HF2m，则PF22m，PF12a2m62m,HF12am6m,

根据反射规律可知：PF2F1HF2x，所以PF2F1HF2F1，

所以cosPF2F1cosHF2F1，

(2m)242(62m)2m242(6m)2

所以，

22m42m4

5

整理并化简得m，

4

(2m)242(62m)21

所以cosPF2F1，

22m42

π2

因为PF2F1(0,)，所以ÐPFF=，所以PF2x，

2133

2

所以tanPF2xtan3，所以直线PF的斜率为

323

9．BD

【详解】对于A：若fx2x，则fx2xln2，故A错误；

对于B：若fxxcosx，则fxcosxxsinx，故B正确；

1

lnxxlnx

对于C：若fx，则x1lnx，故C错误；

xfx

x2x2

1

11

对于D：若fx2x1，则fx(2x1)2(2x1)，故D正确.

22x1

10．BCD

【详解】以DA,DC,DD1为空间向量的一组基底，根据题意，DADC22cos1202，

DADD1DCDD10.

1

1

对A：BGDGDBDD1DADADCDCDADD1，故A错误；

22

对B：因为ACDCDA，

1

所以BGACDCDADD1DCDA

2

2112

DCDADCDADDDCDDDA

2211

11

424004123，故B正确；

22

1

对C：取AB的中点F，连接DF，则DFDADC.

2

1121

因为DFDCDADCDCDADCDC240，

222

11

DFDD1DADCDD1DADD1DCDD1000，

22

所以DFDC，DFDD1，

又DC,DD1平面CDD1C1，DCDD1D，所以DF平面CDD1C1.

所以DF是平面CDD1C1的法向量，且DF3.

又

2

21222

1，

BGDADCDD1DADCDD1DADCDADD12DCDD11442007

24

所以BG7.

因为

11125121513

BGDFDADCDD1DADCDADADCDC424.

222422422

3

BGDF3

所以BG在DF上的投影为：2，

DF32

2

2

BGDF35

BG在平面CDD1C1内的投影向量的长度为BG7.故C正确；

42

DF

对D：因为AD1DD1DA，且AD122，

122

11

BGAD1DADCDD1DD1DADADCDADD14244，

222

BGAD41

1

所以在上的投影向量为2AD1AD1AD1，故D正确.

BGAD182

AD1

11．ACD

22

【详解】对a2b24a4b70配方得，a2b21，

即点a,b在以C2,2为圆心，1为半径的圆上.

ab

选项A：设z，即3a4b12z0，

43

可得z的最值对应直线与圆有交点时的截距最值，即圆心C到直线的距离d1.

324212z1412z1412z

又d，所以1，即1412z5，

324255

3193

解得z，故最小值为，选项A正确.

4124

选项B：根据圆的位置（第一象限）可知，a0，b0，故aabba2b2，

表示圆上的点到原点的距离的平方，最值对应的点位于过原点与圆心C的直线与圆的交点上.

2

222

故最小值为20201221942，选项B错误.

a2abak1

选项C：令k（b0），则112，

bababk1k1

2ab1a

因此求的最小值等价于求的最大值，即求k的最小值.

abk1b

a

又k表示圆上的点与原点连线的斜率，可设过原点的直线为akb，即akb0.

b

22k

122

又该直线与圆有交点，所以圆心C到直线的距离d1，即2，即22k1k，

12k

4747

整理得3k28k30，解得k.

33

1177

47177217

当k时，k14714，22，

31k11414

3

2ab

即的最小值为217，C选项正确.

ab14

2

选项D：2表示圆上的点到点的距离，记为.

a2mbmE2m,md1

2

2x

令tm（t0），点E2t,t，即抛物线y（x0）右半支上的点，

4

2

x2

故原式可表示为圆上的点到抛物线y上点E2t,t的距离.

4

而m1表示E2m,m到点0,1的距离.

22

所以a2mbmm1的最小值即为圆上的点到点0,1的距离的最小值.

22

又圆心到点0,1的距离d202113，

所以圆上的点到点0,1的距离的最小值为131，选项D正确.

故选：ACD.

1

12．/0.5

2

【详解】设等比数列an的公比为q，

aaa7

q2342

所以aaaaqaqaqqaaa，所以，

234123123a1a2a37

2

2227

所以a1a2a3a1a1qa1qa11qqa11227a1，

2

1

所以a.

12

13．2

【详解】根据导数的意义列方程组求解即可.

因为fxaexx，所以fxaex1.

x0

ae13x00

x0

设切点为x0,y0，由题意知，aex0y0，解得y02.

y03x02a2

所以a2.

14．13

【详解】如图：

因为A2,0，直线l：y3x，即3xy0，

230

过作AEl，垂足为，则AE3，

AE22

31

22

所以OEOAAE431.

过B作BFl，垂足为F，根据双曲线的对称性，可知BF=3，OF1，

所以EF2.

2π

将坐标平面以直线l为轴翻折，使得二面角AlB为，如图：

3

22222π1

则ABAEBFEF2AEBFcos33423313，

32

所以AB13.

15．(1)x2y24x2y30；

(2)6.

【详解】（1）因为圆C以AB为直径，则圆C的方程为x1x3yy20，

即x2y24x2y30.

（2）将两圆方程作差得xy40，

2

M:x1y26，其圆心M1,0，

1043

则圆心到直线xy40的距离为，

22

9

则两圆的公共弦长为266.

2

16．(1)证明见解析

n

(2)3311

Tnn

4423

4

【详解】（1）由题意得：当n1时，2Sa21243a4a，

11113

当n2时，由2Snan2n2有：2Sn1an12n12，

12

所以2SnSn1anan12，即3anan12，所以aa，

n3n13

12111

所以a1a1aa1，

n3n133n133n1

11

所以数列a1是以为公比，首项为a1的等比数列；

n313

n1n

（2）由（1）有111，

an1

333

n

所以1，

bnn

3

23n

所以1111①，

Tn123n

3333

234n1

11111②，

Tn123n

33333

由①②有：

n

11

2nn11n1n

211113311111，

Tnnn

n1

33333132233

3

n

所以3311.

Tnn

4423

17．(1)见解析

1

(2)

3

【详解】（1）证明：设PB中点为F，连接DF,EF，

PCACAB，PABC，

PAC≌CBA，PCACAB，

ACAB，PCAC，

D,E,F分别为BC,PA,PB中点，

EF//AB,DE//PC，

ACEF,ACDF，

又EFDFF,EF,DF平面DEF，

AC平面DEF，又DE平面DEF，

DEAC；

（2）由（1）知PCAC，

又PCAB，ABACA,AB,AC平面ABC，

PC平面ABC，

故以C为原点建立如图空间直接坐标系，过C作AB的平行线为y轴，

则A2,0,0,D1,1,0,E1,0,1，AD1,1,0,AE1,0,1，

设平面AED的一个法向量mx1,y1,z1，

mADxy0

11，不妨取，则，

x11m1,1,1

mAEx1z10

设平面CDE的一个法向量nx2,y2,z2，

nCDxy0

22，不妨取，则，

x21n1,1,1

nCEx2z20

设平面AED与平面CDE夹角为，

1111

coscosm,n，

333

1

即平面AED与平面CDE夹角的余弦值为．

3

x2y2

18．(1)1

84

(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析

【详解】（1）AB4，2b4，解得b2，

2

cb42

离心率e11，解得a22，

aaa22

x2y2

C:1；

84

22

，x0y0

（2）（ⅰ）证明：设Mx0,y0x00，则Nx0,y0，1，

84

8x2

即y20，又A0,2,B0,2，

02

2

8x0

24

y2y2y41，

0002

kAMkBN22

x0x0x0x02

故直线AM与BN的斜率之积为定值；

（ⅱ）证明：由题可知直线MN斜率存在，

设直线方程为ykx1，Mx1,y1,Nx2,y2，

ykx1

22

x2y2，12kx4kx60，

1

84

4k6

Δ64k2240，xx，xx，

122k21122k21

y2kx3

直线AN的方程为y2x22x2①，

x2x2

y12kx11

则直线BM的方程为y