安徽省合肥市2026届高三数学下学期4月质量检测试题含解析

2026届高三下学期4月质量检测

数学

（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字

笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，请将答题卡上交．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1.已知集合，则（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式求出集合，根据交集的定义计算即可.

【详解】由题，，

故，故D正确.

2.若，则的虚部为（）

A.1B.C.2D.

【答案】A

【解析】

【详解】设复数，则共轭复数为，

由模长公式得，

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得到，

由题设，两边平方得，

化简得，解得，故复数的虚部为1.

3.函数的最小正周期是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平方关系和二倍角公式可得，结合余弦型函数最小正周期公式求结论.

【详解】，

所以的最小正周期．

4.记的内角的对边分别为，已知，则的值为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据余弦定理联立方程求解.

【详解】因为，

由，得，

,

得，.

5.被7除所得的余数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【详解】依题意，，

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而是7的整数倍，

所以被7除所得的余数为1.

6.若，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，可得，切化弦可得，继而化简

，即可求得答案.

【详解】设，则，

由，得，

即，则，

故.

7.已知随机变量的所有可能取值为0，1，2，且，则（）

A.0.48B.0.54C.0.76D.0.92

【答案】C

【解析】

【分析】利用期望和方差公式求解即可.

【详解】设,则，所以，解得：

，

所以，

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则

8.设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于

两点，若，则的离心率为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据面积关系可得，从而得到，利

用

结合余弦定理化简即可求解.

【详解】因为，所以

则，由于

所以，

根据椭圆的定义可得，

在中，，

在中，，

因为，

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所以，

即，

化简得：，即，所以椭圆的离心率为

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知函数，则（）

A.是奇函数B.是周期函数

C.D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据正弦函数和对数函数的性质，结合奇偶性的定义逐项判断.

【详解】函数，

令，得，

所以函数定义域为，

由于定义域关于原点不对称，则函数不具有奇偶性，A错误；

，，

则是周期函数，B正确；

由于，，

所以，故C错误，D正确.

10.已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线交于

两点，设为坐标原点，则（）

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A.

B.若为的重心，则

C.若，则

D.若为定值，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】过的直线方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理和弦长公式、数量积的坐标

表示逐项判断即可.

【详解】如图，作出符合题意的图形，

抛物线中，焦点到准线的距离为，

故，抛物线方程为，

由题意设过的直线方程为，

代入得，

设，由韦达定理得，

选项A：由已知得，A正确，

选项B：若为重心，

由重心坐标公式得，

得，，

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由弦长公式得，

而，

故，即，B正确，

选项C：若，则，

又，

代入得，C错误，

选项D：，

同理，故，

代入，得，

整理得，

要该式为定值对任意成立，则需对任意成立，

故，即，D正确.

11.已知函数的定义域为，对都有，

记，则下列说法正确的是（）

A.数列是等差数列

B.当时，

C.当时，

D.

【答案】BCD

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【解析】

【分析】令，可求出，再令，可得，可判断A正误；对于

B，由可判断选项正误；对于C，通过放缩完成判断；对于D，利

用

，结合裂项相消法可得答案.

【详解】令，得，解得，

令，得，显然，则，

因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，即，

则，所以，数列不是等差数列，A错误；

当时，，

因为，则，B正确；

当时，

，

故C正确；

由题，下证，即证，

由基本不等式这显然成立，则，

对于任意成立，当且仅当取等号.

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故

，

则，故D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知，则曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】求出导函数，根据导数的几何意义求解切线斜率，进而利用点斜式直线方程求解即可.

【详解】由题意，则，，

所以所求切线方程为，即.

13.已知非零向量满足，则___________．

【答案】

【解析】

【详解】，

，

设，

则，

．

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14.如图，点均在球的表面上，，，平面平

面，则球的体积为___________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理和性质、勾股定理的逆定理、平行线的性质建立空间

直角坐标系，结合球的性质，利用空间两点间距离公式、球的体积公式进行求解即可.

【详解】取的中点为，

因为，所以，

又因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

因为，，

所以，因此，

因为平面，平面，

所以，因为平面，

所以平面，而平面，

所以，，

.

在平面内，过作，交于点，

所以，

所以可以建立如图所示的空间直角坐标系，

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于是有，

设，显然有，

所以有，

所以球的半径为，

所以球的体积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

15.已知数列是等差数列，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明：．

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的性质，结合等差数列通项公式和前项和公式求解；

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（2）根据等比数列的性质求出，进而得出的表达式，再利用指数函数的单调性证明结论．

【小问1详解】

设等差数列的首项为，公差为，已知，

，

．

【小问2详解】

已知，则是首项，公比的等比数列，

，

，

令，

，

当时，，，

，函数单调递减，

，

，命题得证．

16.已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，且点在

双曲线上．

（1）求双曲线的方程；

（2）若双曲线上存在一点，满足，求点到双曲线的两条渐近线的距离之和．

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【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据双曲线离心率公式，利用代入法，结合双曲线的关系进行求解即可；

（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合双曲线的对称性、点到直线距离公式进行求解即可.

【小问1详解】

因为双曲线的离心率为，且点在双曲线上，

所以，

所以双曲线的方程为

【小问2详解】

由（1）可知，

所以双曲线的渐近线方程为，即和，

双曲线的左右焦点坐标分别为，

设，

因为，

所以，

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即，于是有，

由双曲线的对称性，不妨取，

所以点到双曲线的两条渐近线的距离之和为.

17.如图，在四棱锥中，底面为菱形，是正三角形，，

为的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；

（2）

【解析】

【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理得出结论；

（2）利用同一法证明平面，然后建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面

的一个法向量，由法向量的夹角与二面角的关系求得结论．

【小问1详解】

设，则在点相互平分，

又菱形中，，

是正三角形，则，

而，平面，

所以平面，

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因为平面，所以平面平面；

【小问2详解】

由已知，因为是正三角形，所以，

中，，

设，垂足为，则，

所以与重合，即，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

分别以为轴，过且平行于的直线为建立空间直角坐标系，如图，

又，

所以，，，,

是中点，则，

，

设平面的一个法向量是，

则，令，得，

设平面的一个法向量是，

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则，令，得，

所以二面角的正弦值为．

18.某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种的个体，该个体为种的

概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3

个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第次

捕获时种的数目为．统计结果如下表：

123456

332313

（1）求的分布列；

（2）设函数，已知该区域中种的个体数为180．（将使取得最大值的值

作为的估计值）

（i）求的估计值；

（ii）据（i）估计该区域中物种的个体总数．

【答案】（1）

0123

（2）（i）；（ii）1080.【解析】

【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值，利用二项分布概率公式求出分布列.

（2）（i）由给定统计表，结合（1）的结论求出，再利用导数求出最大值点；（ii）利用（i）的结论，

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结合古典概率公式求出估计值.

【小问1详解】

依题意，的所有可取值为，，

，

，

所以的分布列为：

0123

【小问2详解】

（i）由统计表，得

，

求导得，当时，；当时，，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，

所以.

（ii）设该区域中物种的个体总数，由该区域中种个体数为180，

得该区域中种的数目为，

由（i）得从该区域中随机捕获1个个体，该个体为种概率的估计值，

因此，解得，所以估计该区域中物种的个体总数为1080.

19.已知函数．

（1）当时，证明：；

（2）若存在两个极值点，记．

（i）求的取值范围；

（ii）若，求直线斜率的最小值．

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【答案】（1）证明见详解

（2）（i）（ii）

【解析】

【分析】（1）通过分析得到要证，即证，令，求其二阶

导数即可证明；

（2）（i）将题干转化为存在两个极值点等价于在上有两个不同的

根，令，求导判断单调性即可证明；

（ii）设，根据题意得到，再令