6.4.4余弦定理、正弦定理综合应用（基础练）原卷版

第六章平面向量及其应用6.4第四课时余弦定理、正弦定理综合应用(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．在中，内角，，的对边分别为，，.若，则的形状是A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定2．为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高米，攀登者们在处测得到觇标底点和顶点的仰角分别为，，则、的高度差约为（）(参考数据：，，)A．米 B．米C．米 D．米3．的内角，，的对边分别为，，．已知，，则A．6 B．5 C．4 D．34．如图中，已知点在边上，，，，，则等于A．4 B．24 C． D．205.已知的三个内角所对的边分别为，若，，且，则的面积为（）A．或 B． C． D．二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是A． B． C． D．7.下列命题中，正确的是()A．在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinBB．在锐角三角形ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形8．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．的面积为6三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．在中，如果，那么________．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA＋sinB＝eq\f(5,4)sinC，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sinC，则c＝____，cosC＝________.11．如图，为了估测某塔的高度，在塔底和(与塔底同一水平面)处进行测量，在点处测得塔顶的仰角分别为45°，30°，且两点相距，由点看的张角为150°，则塔的高度______.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12.在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知，.求，的值.13．已知a，b，c分别为非等腰内角A，B，C的对边，．（1）证明：；（2）若，，求的面积．14．已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，如图，为线段上一点，且，求的长.A级必备知识基础练1.[探究点一]如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是()A.角A,B和边ACB.角A,B和边BCC.边BC,AC和角CD.边BC,AC和角A2.[探究点一]如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为()A.6(3+3)m B.6(3-3)mC.6(3+23)m D.6(3-23)m3.[探究点二]如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于()A.asinαsinC.asinαcos4.[探究点三(角度1)]一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距82nmile,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是()A.8(6+B.8(6−C.16(6+D.16(6−5.[探究点三(角度2)]如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cosθ等于()A.217 B.2114 C.3216.[探究点一]一架飞机在海拔8000m的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸的俯角分别是30°和45°,则这个海岛的宽度为m.(精确到0.1m)

7.[探究点三(角度2)]已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6nmile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是h.

8.[探究点一]某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.B级关键能力提升练9.(多选题)某人向正东方向走了xkm后向右转了150°,然后沿新方向走了3km,结果离出发点恰好3km,则x的值为()A.3 B.23 C.2 D.310.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50m,山坡的坡角为θ,则cosθ=()A.32 B.3-1 C.2-3 D.11.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为m.

12.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物PD的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60m,求建筑物的高度.13.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(3+1)nmile的海面上有一台风中心,影响半径为20nmile,正以102nmile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3+1)h后开始影响基地持续2h.求台风移动的方向.C级学科素养创新练14.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1km,求点B,D间的距离.参考答案1.D根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.2.B由CDsin60°=BDsin(90°-60°),CDsin45°3.A在△ADC中,∠DAC=β-α.由正弦定理,得asin∴AC=asinαsin(β-α),4.D由题意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.由正弦定理,得SAsin105°=AB解得AB=8(6−2),故此船的航速为8(6-2)5.B在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=207.由正弦定理,得sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=21由∠BAC=120°,得∠ACB为锐角,故cos∠ACB=27故cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=21146.5856.4海岛的宽度为8000tan30°−87.514如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为th,距离为snmile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(10-4t)nmile,乙船距离B岛6tnmile,所以由余弦定理,得cos120°=(6t)2+(10-4t)2-s22·6t·(10-4t)=-12,化简8.解如图,在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,∴∠CBO=180°-40°-36°=104°.∵OC=3,由正弦定理,得COsin104则BO=3sin36°sin104°.在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,则∠ACO=54°.由正弦定理,得COsin56°=AOsin54°,则AO=3sin54°sin56°.在△ABO中,由余弦定理,得AB=AO2+9.AB如图所示,在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=3,∠ABC=30°,由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,即(3)2=x2+32-2x·3·cos30°.∴x2-33x+6=0,解得x=23或x=3.10.B在△ABC中,由正弦定理,得BC=ABsin∠BACsin∠ACB=100sin15°sin(45°-15°)=50(6−2)(m).由题图知cosθ=sin∠ADE=sin∠BDC=3-1,故选B.11.103设炮台顶部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D(如图),则∠BAD=45°,∠CAD=30°,∠BDC=30°,AD=30m.在Rt△ABD与Rt△ACD中,tan45°=DBAD,tan30°=DC则DB=30m,DC=103m.在△DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos30°,即BC2=302+(103)2-2×30×103×32,解得BC=10312.解设建筑物的高度为hm,由题图知,PA=2h,PB=2h,PC=23∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,得cos∠PBA=602+2cos∠PBC=602+2∵∠PBA+∠PBC=180°,∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③由①②③,解得h=306或h=-306(舍去),即建筑物的高度为306m.13.解如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20nmile,AC=20nmile.由题意,得AB=20(3+1)nmile,DC=202nmile,BC=102(3+1)nmile.在△ADC∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC=AC2+AB∵B位于A的南偏东60°方向,且60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向.又∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量CD的方向,即北偏西45°方向.14.解(方法一)在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.由正弦定理,得AD=ACsin120在△