8.5.1直线与直线平行（提升练）解析版

第八章立体几何初步8.5.1直线与直线平行(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.给出下列命题：①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；②若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；③若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行；④若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行.其中正确的命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形，可得这两条直线不一定互相平行，故①错;在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错;若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错;在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对.故选：A2．空间中有三条线段AB，BC，CD，且，那么直线AB与CD的位置关系是()A．平行 B．异面C．相交或平行 D．平行或异面或相交均有可能【答案】D【解析】如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况．故选：D3．下列命题中,正确的结论有()①若果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等;②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等;③若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】①中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故①错误;②中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等,故②正确;③中,两条直线和第三条直线所成的角相等,这两条直线不一定平行,故③错.故选:B.4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【答案】B【解析】若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对.虽然l1∥l2∥l3，或l1，l2，l3共点，但l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确.故选：B5.已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】A【解析】对于①，c与a可以相交；对于②，b和c可以异面；对于③，b与c可以相交，也可以异面.故选：A二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下列命题中,错误的结论有()A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行【答案】AC【解析】这两个角相等或互补,选项A错误;由等角定理知选项B正确;在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误;由基本事实4知选项D正确.故选：AC已知，，是空间中的三条相互不重合的直线，下列说法不正确是()若，，则；B.若与相交，与相交，则与相交；C.若平面，平面，则，一定是异面直线；D.若，与成等角，则．【答案】BCD【解析】由公理4知A正确；当与相交，与相交时，与可能相交、平行，也可能异面，故B不正确；当平面，平面时，与可能平行、相交或异面，故C不正确；当，与成等角时，与可能相交、平行，也可能异面，故D不正确．故选：BCD8．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝λ，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝μ，则下列结论正确的是()A.当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；B.当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形；C.当λ＝μ＝eq\f(1,2)时，四边形EFGH是平行四边形；D.当λ＝μ≠eq\f(1,2)时，四边形EFGH是梯形.【答案】ABC【解析】如图所示，连接BD.∵eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝λ，∴EH∥BD，且EH＝λBD.同理，FG∥BD，且FG＝μBD.∴EH∥FG.∴当λ＝μ时，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．∴AC正确，D错误．当λ≠μ时，EH≠FG，∴四边形EFGH是梯形，∴B正确．故选：ABC三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．已知，，，则.

【答案】或【解析】的两边与的两边分别平行，根据等角定理易知或故答案为：或10．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(1,2)，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(1,3)，则四边形EFGH形状为____.【答案】梯形【解析】如右图在△ABD中，∵eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(1,2)，∴EH∥BD且EH＝eq\f(1,2)BD.在△BCD中，∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(1,3)，∴FG∥BD且FG＝eq\f(1,3)BD，∴EH∥FG且EH>FG，∴四边形EFGH为梯形.故答案为：梯形11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是___.【答案】l∥A1C1【解析】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，∴AC∥平面A1B1C1D1．又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，∴AC∥l，又∵AC∥A1C1，∴l∥A1C1．故答案为：l∥A1C1四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AD，AB的中点，M，N分别为B1C1，C1D1的中点．求证：(1)MC∥A1E，A1F∥CN；(2)∠EA1F＝∠NCM.【答案】答案见解析【解析】(1)证明如图，取A1D1的中点I，连接DI，MI，又M为B1C1的中点，几何体ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴C1D1CD，MIC1D1，根据基本事实4知CDMI，故四边形IDCM为平行四边形，∴MC∥ID，又I，E分别为A1D1，AD的中点，∴A1IED，∴四边形A1IDE为平行四边形，∴A1E∥ID.故MC∥A1E.同理可证A1F∥CN.(2)由(1)知A1F∥CN，MC∥A1E，又∠EA1F与∠NCM两边的方向均相反，∴∠EA1F＝∠NCM.13．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点.求证：∠NMP＝∠BA1D.【答案】答案见解析【解析】如图，连接CB1、CD1，∵CDA1B1，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C.∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.∵BCA1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1．∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，∴MP∥A1B，∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，∴∠NMP＝∠BA1D.14．长方体AC1中，底面ABCD为边长为2的正方形，高AA1为1，M，N分别是边C1D1与A1D1的中点．(1)求证：四边形MNAC是等腰梯形；(2)求梯形MNAC的面积．【答案】答案见解析【解析】(1)证明：连接A1C1，则MN是△A1C1D1的中位线，如图所示，则有MNeq\f(1,2)A1C1.又A1C1AC，∴MNeq\f(1,2)AC.∴M，N，A，C共面，且四边形MNAC为梯形．∵Rt△AA1N≌Rt△CC1M，∴AN＝CM.∴梯形MNAC为等腰梯形．(2)由题意，得AN2＝A1A2＋A1N2＝1＋1＝2，AC＝2eq\r(2)，MN＝eq\r(2)，则梯形MNAC的高h＝eq\r(AN2－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC－MN))2)＝eq\f(\r(6),2)，∴S梯形MNAC＝eq\f(1,2)(AC＋MN)×h＝eq\f(3\r(3),2)A级必备知识基础练1.[探究点一]在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的任意两个顶点的连线中,与棱AB平行的条数为()A.2 B.3 C.4 D.52.(多选题)[探究点二]下列命题中,错误的有()A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行3.[探究点一]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是.

4.[探究点一、二]如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.

5.[探究点一]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?请说明理由.6.[探究点一、二]长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证:(1)D1E∥BF;(2)∠B1BF=∠A1ED1.B级关键能力提升练7.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的有()A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1,方向可能不同C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行8.(多选题)在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,则()A.PQ=12B.PQ∥MNC.M,N,P,Q四点共面D.四边形MNPQ是梯形9.(多选题)如图,棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=2EA,设过点D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF,点F是直线EF与正方形ABB1A1边的交点,则()A.EF∥D1CB.EF=22C.CF=73D.三棱锥A-EFC的体积为154a10.如图,在空间四边形ABCD中,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,若BD=m,则MN=.

C级学科素养创新练11.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.(1)证明:E,F,G,H四点共面.(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形?参考答案1.D连接CF,C1F1,与棱AB平行的有ED,CF,A1B1,C1F1,E1D1,共有5条,故选D.2.AC这两个角相等或互补,选项A错误;由等角定理知选项B正确;在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误;由基本事实4知选项D正确.3.平行在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC.又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.4.AC=BDAC=BD且AC⊥BD由题意,知EH∥BD∥FG,且EH=FG=12BD同理EF∥AC∥HG,且EF=HG=12∴四边形EFGH是平行四边形.要使EFGH为菱形,则需满足EH=FG=EF=HG,即AC=BD.要使EFGH为正方形,则需满足EH=FG=EF=HG且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.5.解如图,在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.理由如下:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.6.证明(1)如图,取BB1的中点M,连接EM,C1M.在矩形ABB1A1中,易得EM∥A1B1,EM=A1B1,因为A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,所以EM∥C1D1,EM=C1D1.所以四边形EMC1D1为平行四边形,所以D1E∥MC1.在矩形BCC1B1中,易得MB∥C1F,又因为M,F分别为BB1,CC1的中点,所以MB=C1F.所以四边形MBFC1为平行四边形,所以BF∥