8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（教案）

第八章立体几何初步8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积一、教学目标1.通过展开圆柱、圆锥、圆台的侧面，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式．2.能运用圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式进行计算并解决有关的组合体的表面积与体积．3.能运用球的体积与表面积公式解决实际问题以及能解决球的切、接问题．4.通过对圆柱、圆锥、圆台、球的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。二、教学重难点1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；2.掌握棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积,会解决球的切、接问题三、教学过程：（1）创设情景让学生回顾棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积新知探究问题1:圆柱、圆锥、圆台的展开图是什么？(小组合作，学生回答，教师点拨)生答:圆柱的侧面展开图为矩形:圆锥的侧面展开图是扇形:圆台的侧面展开图是扇环:问题2:如何求它们的表面积与体积？(提出本节课所学内容)问题3:圆柱、圆锥、圆台三者的表面积与体积公式之间有什么关系？大家能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？小组合作，学生回答，教师点拨问题4:你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有什么关系？小组合作，学生回答，教师点拨新知建构圆柱的表面积公式:圆柱的体积公式:r是底面半径，h是高,则圆锥的表面积公式:圆锥的的体积公式:r是底面半径，h是高,则圆台的表面积公式:圆台的体积公式:,其中S，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高球的表面积公式：（R为球的半径）球的体积公式:设球的半径为R，则（4）数学运用例1.如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则求圆柱的表面积.【答案】【解析】因为，，所以，即，又因为，所以圆柱的侧面积是，圆柱的表面积是变式训练某圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则该圆台的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r，则下底面半径，高则它的母线长∴，.∴，.故选：例2.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则求此圆锥的体积 【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆柱的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，.故该圆锥的体积为.变式训练1:已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为．【答案】7π【解析】由已知圆台上、下底面积分别为S上＝π，S下＝4π.则V圆台＝eq\f(1,3)·(π＋eq\r(π·4π)＋4π)·3＝7π.变式训练2:已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的表面积是______.【答案】【解析】正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，则，解得，故球的表面积为.例3:在底面半径为2，高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1：4，求圆柱的表面积.【答案】【解析】由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1:4，知：底面半径比为1:2，即圆柱底面半径，若设圆柱的高为，则有，即，∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积，即：.变式训练:小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的直径12厘米，轴的直径为4厘米．当小明用掉的纸后，则求剩下的这卷纸的直径最接近于多少厘米（精确到厘米）．【答案】【解析】使用卷纸的过程中，卷纸的高不变，用之前卷纸的底面积，设用后纸的半径为厘米，当小明用掉的纸后卷纸的底面积，解得厘米，所以剩下的这卷纸的直径为厘米，最接近于厘米.四、小结：圆柱的表面积公式:圆柱的体积公式:r是底面半径，h是高,则圆锥的表面积公式:圆锥的的体积公式:r是底面半径，h是高,则圆台的表面积公式:圆台的体积公式:,其中S，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高球的表面积公式：（R为球的半径）球的体积公式:设球的半径为R，则A级必备知识基础练1.(多选题)[探究点一、二]一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是()A.圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶22.[探究点三]若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于()A.42 B.8 C.82 D.833.[探究点一、二]若一个圆锥的高和底面直径相等,且它的体积为2π3,则此圆锥的侧面积为(A.5π B.3π C.2π D.25π4.[探究点二]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛5.[探究点一、二]已知一个圆锥的体积为3π,其侧面积是底面积的2倍,则其底面半径为()A.23 B.3 C.3 D.36.[探究点一]已知圆柱的底面半径为1,若圆柱的侧面展开图的面积为8π,则圆柱的高为.

7.[探究点四]如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为.

8.[探究点三]某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.9.[探究点一、二]如图所示,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱,求该圆柱的体积及表面积.B级关键能力提升练10.某圆台上、下底面面积分别是4π、9π,母线长为2,则这个圆台的侧面积是()A.10π B.12π C.15π D.20π11.已知圆锥的顶点为点S,高是底面半径的2倍,点A,B是底面圆周上的两点,当△SAB是等边三角形时面积为33,则圆锥的侧面积为()A.3π B.23π C.33π D.43π12.(多选题)已知圆锥底面半径为3,高为4,则下列说法正确的是()A.圆锥的体积是36πB.圆锥的侧面积是15πC.圆锥的内切球体积是27D.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为613.(多选题)一个圆台的上、下底面半径分别是10和20,它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,则圆台的()A.母线长是20 B.表面积是1100πC.高是102 D.体积是714.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)()A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸15.如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为“标准圆锥”,那么母线长为22的“标准圆锥”的体积为.

16.一个正方体和一个圆柱等高,并且侧面面积相等,则这个正方体和圆柱的体积的比值为.

17.把底面半径为8cm的圆锥放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身滚动了2.5周,则圆锥的母线长为,表面积等于.

18.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为32的正方形,且各侧棱长均为23.求该四棱锥外接球的表面积.C级学科素养创新练19.如图所示,在棱锥P-ABCD中,底面ABCD是长方形,底面周长为8,PD=3,且PD是四棱锥的高.设AB=x.(1)当x=3时,求三棱锥A-PBC的体积;(2)求四棱锥P-ABCD的外接球的表面积的最小值.20.如图,四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.参考答案1.CD依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误;圆锥的侧面积为πR×5R=5πR2,∴B错误;球的表面积为4πR2,∵圆柱的侧面积为4πR2,∴C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=13πR2·2R=23πR3,V球=43π∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶23πR3∶43πR3=3∶1∴D正确.2.B设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,∴R=1.∵正方体内接于球,∴3x=2R=2,∴x=23,∴S正=6x2=6×2323.A如图所示,设圆锥的底面半径为r,则高为h=2r,所以圆锥的体积为V圆锥=13π·r2·2r=2π3,∴r=1,h=2,l=ℎ2+r2=4+1=5,则此圆锥的侧面积为S侧面积4.B设底面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16∴体积V=14×13·πR2h=112×∵π≈3,∴V≈3209(立方尺)∴堆放的米约为3209×1.62≈22(5.C设圆锥的底面半径为r,高为h,母线为l,如图所示:则圆锥的体积V=13πr2h=3π,所以r2h=9,因为S侧=12·2πrl=2πr2,所以l=2又h=l2-r2=3r,所以3r3=9,故6.4设圆柱的高为h,又圆柱的底面半径为1,有2π×1×h=8π,得h=4.7.259π作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=π3(32+3×4+42)×7=2598.解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=9.解设圆柱的底面半径为r,高为h'.易知圆锥的高h=42-22=23.又h'=3,∴h'=12h,∴r2=ℎ-ℎ'ℎ=12,∴r=1.故圆柱的体积V=πr2h'=3π,S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh'=10.A圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图).由已知可得上底半径O1A=2,下底半径OB=3.又腰长为2,∴高AM=22∴设截得此圆台的圆锥的母线长为x,则由△SAO1∽△SBO可得23=x-∴截得此圆台的圆锥的母线长为6,可得大圆锥的底面周长为2×3π=6π,小圆锥的底面周长为2×2π=4π,这个圆台的侧面积=大圆锥的侧面积-小圆锥的侧面积=12×6π×6-12×4π×(6-2)=10π.故选11.D设圆锥的高为h,母线为l,底面半径为r,则由题意得h=2r,12l2sin60°=33所以l=23,又l2=h2+r2,则r=2,所以圆锥的侧面积为S=πrl=43π.故选D.12.BD由题意圆锥体积为V=13π×32×4=12π,选项A错误圆锥母线长为l=32+42=5,侧面积为S=π×3×5=15π,设圆锥内切球半径为r,则12r(5+5+6)=12×6×4,解得r=32,圆锥内切球的体积V=43πr3=4π3×323=9圆锥侧面展开图扇形的圆心角为θ=2π×35=6π5,13.ABD如图所示,设圆台两条母线的交点是S,其中一条母线是AB,圆台的上底面圆的周长为C,因为扇环的圆心角为180°,所以C=π·SA,又C=10×2π,所以SA=20,同理SB=40,故圆台的母线AB=SB-SA=20,圆台的高h=AB2-(20-10)2=103,体积V=13π×103×(102+10×20+202)=70003π3,表面积S=π(10+20)×20+14.A作出圆台的轴截面如图所示:由题意知,BF=14寸,OC=6寸,OF=18寸,OG=9寸.即G是OF的中点,∴GE为梯形OCBF的中位线,∴GE=14+62=10(寸)即积水的上底面半径为10寸.∴盆中积水的体积为13π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),又盆口的面积为142π=196π(平方寸∴平均降雨量是588π196π=3(寸),即平均降雨量是15.8π3设圆锥底面半径为r,则r2+r2=所以圆锥的体积V=13×πr2×2=816.π4由于正方体和圆柱等高,故设正方体的棱长和圆柱的高(母线长)都为a,圆柱的底面半径为r,则正方体的侧面面积为4a2,圆柱的侧面面积为2πra.又4a2=2πra,所以r=2aπ,所以正方体的体积为V正方体=a3,圆柱的体积为V圆柱=πr2a=4a3π,17.20cm224πcm2设圆锥的母线长为l,底面半径为r.以S为圆心,l为半径的圆的面积为πl2.圆锥的侧面积为πrl=8πl.根据圆锥在平面内转到原位置时,圆锥本身滚动了2.5周,∴πl2=2.5×8πl,∴l=20(cm).圆锥的表面积S=S圆锥侧+S底=π×8×20+π×82=224π(cm2).18.解取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.连接CO1,CE,如图.则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.∵AB=32,∴O1C=3.在Rt△SO1C中,SC=23,∴SO1=3.∵Rt△SCE∽Rt△SO1C,∴SC2=SO1·SE,∴SE=SC2SO1=(23)∴球的表面积为S=4πR2=4π·(23)2=48π.19.解(1)当x=3时,AB=3,BC=1,S△ABC=12AB·BC=3因此VA-PBC=VP-ABC=13PD·S△ABC=3(2)将四棱锥P-ABCD补成长方体ABCD-A1B1C1P,则四棱锥P-ABCD的外接球和长方体ABCD-A