2026年上海市长宁区中考数学二模试卷（含解析）

2026年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．下列实数中，比3小的无理数是（）A． B． C． D．2．上海市2025年全年地区生产总值约为5.67万亿元，其中5.67万亿用科学记数法表示为（）A． B． C． D．3．已知及其所在平面内的直线1，为直线1上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线的表述不正确的是（）A．直线1可能经过圆心 B．直线1可能与相交 C．直线1可能与相切 D．直线1可能与相离4．在2026年春季社会实践活动中，某校九（1）班共分成5个活动小组，小组人数分别为6，6，7，5，6，那么对上述小组人数数据，下列说法中错误的是（）A．平均数是6 B．中位数是6 C．众数是6 D．方差是65．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形、、、均为格点），那么下列说法中正确的是（）A．四边形是菱形 B．四边形的周长是 C．四边形的面积是6 D．6．已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（）A． B．0 C．1 D．2二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）.7．计算：．8．请写出使代数式有意义的的一个值为：．9．方程的解是．10．数据90、91、92、93、94的标准差是．11．方程组的解是．12．已知线段，从这五个数中任意选取一个数作为线段的长度，那么，，是某直角三角形三边的长的概率是．13．如果关于的方程有一根是，那么该方程的另一根是．14．已知点在反比例函数的图象上，那么在每个象限内，该函数的值随的值增大而．（填“增大”或“减小”15．在正方形中，是其对角线，那么的值为．16．已知正八边形的中心是点，联结，，，点是△的重心，如果，那么线段的长等于．17．在直角坐标平面内，如果存在正整数和常数，使得点满足，，其中，那么称点为“优点”．比如当，时，点为“优点”（这是因为满足，，．已知点在抛物线上，且它还是“优点”，那么点的坐标是．18．如图，在△中，，．将△绕着点旋转，点、的对应点分别是点、，如果点恰好在直线上，且，那么的值为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：．20．（10分）解不等式组：．21．（10分）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用之和为（万元）．（1）求与的关系式；（2）已知该商场未来5年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围．22．（10分）在九年级第一学期时学习了“黄金分割”以及“黄金三角形”知识，我们已经知道：有一个内角为的等腰三角形称为黄金三角形，它具有的美妙性质．请运用上述信息，解决下列问题：（1）填空：等腰△的顶角，且，那么底边．（2）如图1，在△中，，，且，求的长．（3）如图2，已知点是线段的黄金分割点，在的延长线上截取，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，联结．请判断△是否是黄金三角形？并说明理由．23．（12分）如图，正方形中，点在对角线上，点在边上（点与点不重合），且．（1）求证：；（2）在图中延长与交于点，如果，求证：．24．（12分）已知抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点．（1）求△的面积；（2）如图，点是抛物线第四象限上的一点，直线分别交、于点、，如果，求直线的表达式；（3）在第（2）小题的基础上，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点（点在点的上方），如果点恰好是线段的中点，求抛物线的表达式．25．（14分）已知线段是的一条弦，点是上的一点．（1）联结、，如图1，如果，，且，求的半径长；（2）当圆心在线段上时，①如图2，已知点在上，满足，且，如果，求的长；②如图3，已知点在线段上，满足，如果沿着弦翻折后的弧线恰好经过点，求的值．

参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．下列实数中，比3小的无理数是（）A． B． C． D．【分析】先根据平方根定义和二次根式的性质计算，选项中的式子，再估算的大小，从而进行判断即可．解：，，，，即，比3小的无理数是，故选：．2．上海市2025年全年地区生产总值约为5.67万亿元，其中5.67万亿用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．解：，故选：．3．已知及其所在平面内的直线1，为直线1上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线的表述不正确的是（）A．直线1可能经过圆心 B．直线1可能与相交 C．直线1可能与相切 D．直线1可能与相离【分析】根据圆心到直线的距离是3，则直线和圆相交或相切，据此可以得到公共点的个数．解：的半径为3，为所在平面内某直线上一点，，直线与圆相切或相交，故公共点的个数为1或2．故选：．4．在2026年春季社会实践活动中，某校九（1）班共分成5个活动小组，小组人数分别为6，6，7，5，6，那么对上述小组人数数据，下列说法中错误的是（）A．平均数是6 B．中位数是6 C．众数是6 D．方差是6【分析】分别根据中位数、众数、算术平均数以及极差的定义解答即可．解：该组数据的平均数是，故选项说法正确，不符合题意；该组数据的中位数是6，故选项说法正确，不符合题意；该组数据的众数是6，故选项说法正确，不符合题意；该组数据的方差为，故选项说法错误，符合题意；故选：．5．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，其上有一个四边形、、、均为格点），那么下列说法中正确的是（）A．四边形是菱形 B．四边形的周长是 C．四边形的面积是6 D．【分析】根据菱形的判定，勾股定理，菱形的性质即可得到结论．解：，，，，四边形不是菱形，故不符合题意；四边形的周长是，故不符合题意；，四边形的面积是，故符合题意，，，故不符合题意，故选：．6．已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（）A． B．0 C．1 D．2【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出的范围，进而选出符合条件的选项．解：如图，当时，的取值范围是，抛物线开口向下，对称轴为直线，，点较点更靠近对称轴，即，整理得，当时，即，有，解得，当时，即，有，解得，综上，或，只有选项符合题意，故选：．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．计算：．【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．解：．故答案为：．8．请写出使代数式有意义的的一个值为：2（答案不唯一）．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组求出的范围，得出结论．解：由题意得：且，解得：且，则使代数式有意义的的一个值为2，故答案为：2（答案不唯一）．9．方程的解是．【分析】把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可．解：方程两边同时乘，得，移项、合并同类项，得，解得：，检验：把代入，分式方程的解为．故答案为：．10．数据90、91、92、93、94的标准差是．【分析】先求出数据的平均数，再根据标准差的计算公式计算．解：，标准差，故答案为：．11．方程组的解是．【分析】对二次方程因式分解构造平方差；代入已知一次方程化简，得到新的一次方程；联立两个一次方程，用加减消元法求解．解：由得：，即，整理可得：，①②得：，，将代入①得：，所以方程组的解为：．12．已知线段，从这五个数中任意选取一个数作为线段的长度，那么，，是某直角三角形三边的长的概率是．【分析】根据勾股定理的逆定理得，，是某直角三角形三边的长的结果有2种，再由概率公式求解即可．解：线段，从这五个数中任意选取一个数作为线段的长度，其中，，是某直角三角形三边的长的结果有2种，即1，，，，是某直角三角形三边的长的概率是，故答案为：．13．如果关于的方程有一根是，那么该方程的另一根是．【分析】设方程的另一根为，根据根与系数的关系得到，，然后解一次方程即可．解：设方程的另一根为，根据题意得：，，解得，，即方程的另一根为．故答案为：．14．已知点在反比例函数的图象上，那么在每个象限内，该函数的值随的值增大而增大．（填“增大”或“减小”【分析】先根据点的坐标计算出的符号，再根据反比例函数的性质判断其增减性．解：已知点在反比例函数上，则，，，因此，对于反比例函数，当时，在每个象限内，的值随的值增大而增大．故答案为：增大．15．在正方形中，是其对角线，那么的值为．【分析】根据题意画出图形，根据平面向量平行四边形法则得出，据此解答．解：如图，延长到使，连接，，四边形是正方形，，，，，故答案为：．16．已知正八边形的中心是点，联结，，，点是△的重心，如果，那么线段的长等于．【分析】连接，连接交于点，过点作于点，先证明△是等腰直角三角形，由勾股定理得，进而得，根据三角形重心的定义得，证明△是等腰直角三角形得，再证明是△的中位线得，进而得，然后证明△和△相似，利用相似三角形的性质即可得出线段的长．解：连接，连接交于点，过点作于点，如图所示：，正八边形的每个内角的度数为：，由正八边形性质得：，，，经过中心，，，同理：，，△是等腰直角三角形，，由勾股定理得：，，△的重心在上，，根据三角形重心的定义得：是△的中线，，在△中，，，△是等腰直角三角形，，，，，又，是△的中位线，，，，，△△，，，，，即线段的长等于．故答案为：．17．在直角坐标平面内，如果存在正整数和常数，使得点满足，，其中，那么称点为“优点”．比如当，时，点为“优点”（这是因为满足，，．已知点在抛物线上，且它还是“优点”，那么点的坐标是或．【分析】先根据“优点”的定义，将两式相减求出，再结合抛物线方程联立求解点的坐标．解：已知点是“优点”，满足：，两式相减得：，，，两边同除以得：，，又点在抛物线上，代入得：，整理得：，解得：，解得，对应值：当时，，此时，符合条件；当时，，此时，符合条件．故答案为：或．18．如图，在△中，，．将△绕着点旋转，点、的对应点分别是点、，如果点恰好在直线上，且，那么的值为．【分析】如图，设，先根据旋转的性质得到，，，则，再根据平行线的性质得到，接着利用三角形内解和定理可计算出，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后证明，所以．解：如图，设，将△绕着点旋转，点、的对应点分别是点、，点恰好在直线上，，，，，，，，，解得，在△中，，，，，，．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：．【分析】先根据算术平方根、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值计算，再合并即可．解：．20．（10分）解不等式组：．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．解：，由①得：，由②得：，则不等式组的解集为．21．（10分）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用之和为（万元）．（1）求与的关系式；（2）已知该商场未来5年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围．【分析】（1）根据题意可得：，把，代入即可得到与的关系式；（2）把代入，可得，根据，可得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围．解：（1）根据题意可得：，，，，整理可得：；（2），，，，解得：．22．（10分）在九年级第一学期时学习了“黄金分割”以及“黄金三角形”知识，我们已经知道：有一个内角为的等腰三角形称为黄金三角形，它具有的美妙性质．请运用上述信息，解决下列问题：（1）填空：等腰△的顶角，且，那么底边．（2）如图1，在△中，，，且，求的长．（3）如图2，已知点是线段的黄金分割点，在的延长线上截取，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，联结．请判断△是否是黄金三角形？并说明理由．【分析】（1）直接利用黄金三角形的性质求解即可；（2）延长到点使，则△是黄金三角形，据此得解；（3）易得，由（2）可知，过作于点，证即可得解．解：（1）由题意可知，，故答案为：；（2）如图，延长到点使，，即，，则垂直平分，，，△是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，根据黄金三角形的性质可知，，；（3）△是黄金三角形，理由：点是线段的黄金分割点，，，，，设，则，，，由（2）知，过作于点，，，垂直平分，，，，△是黄金三角形．23．（12分）如图，正方形中，点在对角线上，点在边上（点与点不重合），且．（1）求证：；（2）在图中延长与交于点，如果，求证：．【分析】（1）连接，由正方形的性质推出，得到，判定△△，即可证明；（2）过点作于，由正方形的性质推出，，，判定△是等腰直角三角形，得到，因此，判定平分，求出，判定△△，推出．【解答】证明：（1）连接，四边形是正方形，，，，，，△△，，；（2）过点作于，四边形是正方形，，，，△是等腰直角三角形，，，，，，平分，，，，，，△△，．24．（12分）已知抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点．（1）求△的面积；（2）如图，点是抛物线第四象限上的一点，直线分别交、于点、，如果，求直线的表达式；（3）在第（2）小题的基础上，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点（点在点的上方），如果点恰好是线段的中点，求抛物线的表达式．【分析】（1）先解方程得到，，再计算自变量为0所对应的二次函数值得到，然后根据三角形面积公式求解；（2）先利用对顶角相等得到，则在△中利用余切的定义可求出，所以，然后利用待定系数法求出的解析式；（3）由于，则抛物线的顶点坐标为，设抛物线向左平移个单位得到抛物线，则抛物线的解析式可表示为，设点、点的横坐标分别为，，所以，为关于的方程的两根，利用根与系数的关系得到，接着利用线段的中点坐标公式得到，所以，然后求出，从而得到抛物