南京秦淮某中学七年级下册数学期末试卷测试卷（含解析）

南京秦淮外国语学校七年级下册数学期末试卷测试卷（含解析）

一、解答题

1.如图，直线HO〃G£,点A在直线HD上，点C在直线GE上，点8在直线HD、GE之

（2）如图2,AF平分NHW8,BCFCG,NBCG=20°,比较N8,NF的大小；

（3）如图3,点P是线段AB上一点，P/V平分NAPC,CN平分NPCE,探究/44P和NN

的数量关系，并说明理由.

2.已知：AB//CD.点£在8上，点F,H在48上，点G在A8,C。之间，连接FG,

EH,GE,ZGF8=NCEH.

图1图2

（1）如图1,求证：GF//EH；

（2）如图2,若NGEH=a,平分N4FG,EM平分NGEC,试问与a之间有怎样的

数量关系（用含a的式子表示NM）?请写出你的猜想，并加以证明.

3.已知点C在射线04上.

（1）如图①，CD//OE,若/A。8=90。，ZOCD=120°,求N80E的度数；

（2）在①中，将射线0E沿射线08平移得OF（如图②），若N408=a,探究/。8

与N80F的关系（用含a的代数式表示）

（3）在②中，过点。，作。8的垂线，与NOCD的平分线交于点P（如图③），若NC。。，

=90。，探究NAOB与NB0E的关系.

4.如图，已知/W〃8N,点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、8。分别平

分NA2炉和/PBN,分别交射线A用于点C。.

(1)当乙4=60。时，ZA8N的度数是；

(2)当乙4=x。，求NC6。的度数(用x的代数式表示)；

(3)当点尸运动时，NAD8与44形的度数之比是否随点尸的运动而发生变化?若不变

化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律.

(4)当点P运动到使NAC3=NA8D时，请直接写出ND8V+的度数.

4

5.已知4811CD,N48E与NCDE的角分线相交于点F.

(1)如图1,若BM、DM分别是NABF和NCDF的角平分线，且NBED=100。，求/M的

度数；

(2)如图2,若NABM=L/ABF,ZCDA4=-ZCDF,/BED=a0,求NM的度数；

33

(3)若NA8M=，NA8F,ZCDM=-ZCDF,请直接写出NM与NBED之间的数量关系

二、解答题

6.如图1,点。在MN上，ZAOB=W,ZAOM=nf,ZOCQ=,射线08交尸。于点C,已

知m,0满足：|，〃-20|+(〃-70尸=0.

(2)如图2,。。平分NAON,平分NOCQ,直线。。、C77交于点£,则

々OEF-1

(3)若将乙408绕点0逆时针旋转。(0＜。＜90。)，其余条件都不变，在旋转过程中，

NOM的度数是否发生变化？请说明你的结论.

7.问题情境：如图1,ABWCD,ZPAB=130°,ZPCD=120\求/APC的度数.

小明的思路是：如图2,过P作PEIIA8,通过平行线性质来求NAPC.

(1)按小明的思路，易求得N4PC的度数为度；

(2)如图3,ADW8C,点P在射线0M上运动，当点P在4、8两点之间运动时，

ZADP=Na,Z8CP=N&试判断NCPD、Na、N6之间有何数量关系？请说明理由；

(3)在(2〉的条件下，如果点P在/4、。两点外侧运动时(点、P与点、A、8、。二点不重

合)，请你直接写出NCPD、N*/6间的数量关系.

8.如图，A8_L4G点A在直线MN上，A8、AK分别与直线EF交于点8、3

ZMAB+Z.KCF=90°.

(1)求证：EFWMN；

(2)如图2,/M48与NECK的角平分线交于点G,求NG的度数；

(3)如图3,在NMA8内作射线4Q,使NM42=2NQ48,以点C为端点作射线CP，交邕

等4Q于点7，当/。以=60。时，直接写出NFCP与N4CP的关系式.

9.如图1,。为直线A8上一点，过点。作射线0cNAOC=30°,将一直角三角板

(ZM=30°)的直角顶点放在点。处，一边。N在射线0A上，另一边OM与OC都在直线

AOBAOB

各用国1各用国2

(1)几秒后ON与0。重合？

(2)如图2,经过，秒后，MNHAB,求此时，的值.

(3)若三角板在转动的同时，射线0C也绕。点以每秒6。的速度沿顺时针方向旋转一周,

那么经过多长时间OC与。M重合？请画图并说明理由.

(4)在(3)的条件下，求经过多长时间OC平分NMQ8?请画图并说明理由.

10.已知：如图1,AB/iCD,点、E,尸分别为AB,C。上一点.

EE

A------------------BA------------------B

(1)在AB,C。之间有一点M(点”不在线段E尸上)，连接ME,MF,探究

ZAEM,NEMF,之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应

的数量关系，选其中一个进行证明.

(2)如图2,在AB,CO之两点M,N,连接ME,WN,NF,请选择一个图形写出

NAEM,4EMN,4MNF,NNFC存在的数量关系(不需证明).

三、解答题

11.如图，在A3C中，AO是高，AE是角平分线，Z«=20°,ZC=60°.

(1)求N。。、ZAEC和NE4。的度数.

(2)若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当/8=30。，ZC=60°,则

ZEAD=。.

当々=50°,NC=60。时，则ZE4£>=。.

当NB=60。，ZC=6O°0'J,则Z£AD=。.

当N5=70。，NC=60°时，则Z£AD=。.

(3)若和NC的度数改为用字母。和夕来表示，你能找到NE4D与。和夕之间的关系

吗？请直接写出你发现的结论.

12.如图所示，已知射线CB//QA,A4//OCNC=NOW=100二点E、F在射线CB上，且

满足NAOBuNAOB,0E平分NCCA

(1)求NEO6的度数；

(2)若平行移动AB,那么NOAC:NOR?的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规

律.若不变，求出这个比值；

(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使NOEC=NORA?若存在，求出其度

(模型)

(1)如图①，已知4811C。，求证N1+NMEN+/2=360°.

①

(应用)

(2)如图②，已知4811c。，则N1+N2+N3+N4+N5+N6的度数为

②

如图③，己知2BIICD,则N1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+...+/n的度数为

D

③

(3)如图④，已知A8IIC0,N4VM42的角平分线Mi。与N的角平分线MQ交

于点O,若NMiOMn=m°.

在(2)的基础上，求N2+N3+/4+N5+N6+......+/的度数.(用含m、〃的代数式

表示)

14.如图1,CE平分乙4c。，4三平分N8AC,ZE4C+ZACE=90

(1)请判断AB与CO的位置关系并说明理由；

(2)如图2,当NE=90且AA与C。的位置关系保持不变，移动直角顶点E,使

/MCE=NECD,当直角顶点E点移动时•，问N8AE与乙WC7)否存在确定的数量关系？并

说明理由.

(3)如图3,P为线段AC上一定点，点。为直线CO上一动点且A3与CO的位置关系保持

不变，①当点。在射线CO上运动时(点。除外)，NCPQ+NCQP与N84C有何数量关

系?猜想结论并说明理由.②当点。在射线。。的反向延长线上运动时(点。除外)，

15.如果三角形的两个内角。与"满足2a+/?=90。，那么我们称这样的三角形是“准互余

三角形

图1图2

(1)如图1,在他d8C中，ZACI3=90°,8。是-A3C的角平分线，求证：△ABO是

“准互余三角形〃；

(2)关于“准互余三角形"，有下列说法：

①在上A4C中，若NA=100。，ZB=70°,ZC=10°,则二ABC是“准互余三角形”；

②若.A4C是“准互余三角形"，ZC>90°,ZA=60°,则N4=20。；

③“准互余三角形”一定是钝角三角形.

其中正确的结论是(填写所有正确说法的序号)；

(3)如图2,B,C为直线/上两点，点A在直线/外，且NABC=50。.若a是直线/上一

点，且AABP是“准互余三角形”，请直接写出NA总的度数.

【参考答案】

一、解答题

1.(1)ZABC=100°；C2)ZABC>ZAFC；(3)ZK=900-ZHAP；理由见解析.

【分析】

(1)过点B作BMHD,则HDGEBM,根据平行线的性质求得/ABM与NCBM,便可求得

最后

解析：(1)/48C=100°；(2)Z.ABC>Z.AFCx(3)NA/=90°-H4P；理由见解

析.

【分析】

(1)过点8作8M〃H。，则H0〃GE〃8M,根据平行线的性质求得NA8M与NC8M,便可

求得最后结果；

(2)过B作BP//HD//GE,过F作FQ//HD//GE,由平行线的性质得，AABC=

ZHA8+NBCG,ZAFC=ZHAF+AFCG,由角平分线的性质和已知角的度数分别求得

ZHAF,ZFCG,最后便可求得结果；

(3)过P作PKHHDHGE,先由平行线的性质证明/A8C=NHAB+/BCG,ZAFC=

ZH4F+ZFCG,再根据角平分线求得NNPC与NPCN,由后由三角形内角和定理便可求得结

果.

【详解】

解：(1)过点8作8M〃H。，!/PJHD//6E//BM,如图1,

图1

Z48M=180°-ZDAB,ZC8M=NBCG,

VZDAB=120°,ZBCG=40°,

/.ZABM=60\NCBM=40°,

/.ZABC=Z.ABM+Z.CBM=10Q0；

(2)过8作BP〃/VO〃GE,过F作FQ//HD//GE,如图2,

HD

/.ZABP=Z.HAB,ZCBP=ZBCG,ZAFQ=NHAF,ZCFQ=NFCG,

ZABC=Z.HAB+4BCG,ZAFC=ZHAF+4FCG,

•••ZDAB=120°,

：.ZHAB=180°-ZDAB=60°,

,/AF平分/HAB,BC平分NFCG,Z8CG=20°,

ZHAF=3Q°,NFCG=40°,

/.Z48c=60°+20°=80°,Z"C=30°+40°=70°,

：.^ABOAAFC,

(3)过P作PK//HD//GE,如图3,

，乙APK=4HAP,ZCPK=Z.PCG,

/.ZAPC=NHAP+APCG,

PN平分/APC,

NA/PC-yZHAP+；NPCG,

•••ZPCE=1800-ZPC6,CN平分/PCE,

/.ZPCN=90°-yZPCG,

•/ZA/+Z/VPC+ZPCN=180°,

ZN=180°-HAP-yZPCG-90°+；/PCG=9Q°-HAP,

即：ZN=90°-HAP.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等：两直线平

行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，

注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本

题的难点.

2.（1）见解析；（2）,证明见解析.

【分析】

（1）由平行线的性质得到，等量代换得出，即瓦根据〃同位角相等，两直线平

行〃得解；

(2)过点作，过点作，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可.

【详

解析：(1)见解析；⑵ZFME=90°-|,证明见解析.

【分析】

(1)由平行线的性质得到=等量代换得出=即可根据“同位角

相等，两直线平行〃得解；

(2)过点“作MQ//A3,过点G作G尸〃A3,根据平行线的性质及角平分线的定义求解即

可.

【详解】

(1)证明：•.AB//CD,

：.4CEH=/EHB,

•;/GFB=NCEH,

"GFB=NEHB,

：.GF//EH；

(2)解：NFME=90。-色,理由如下：

2

如图2,过点“作M2〃/3,过点G作GP//A8,

图2

-AB//CD,

..MQ//CD,

ZAFM=4FMQ,/QME=NMEC,

/FME=4FMQ+4QME=ZAFM+/MEC,

同理，NFGE=ZFGP+/PGE=ZAFG+NGEC,

•.•EW平分NAFG,EM平分NGEC,

/.ZAFG=2ZAFM.ZGEC=2ZMEC.

；.4FGE=24FME,

由(1)知，GFHEH,

;./FGE+NGEH=l8(r,

\ZGEH=a,

.\ZrcE=180°-a,

:.2NFME=T御一a,

/.ZF;WE=9()0--.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的

关键.

3.(1)150°；(2)ZOCD+ZBO'E'=360°-a；(3)ZAOB=ZBO'E'

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NAOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求

得NBOE的度数；

(2)

解析：(1)150°；(2)NOCO+N8O'E'=360°匕；(3)ZAOB=ZBO'E'

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到/AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得/80E的

度数；

(2)如图②，过。点作OFIICD,根据平行线的判定和性质可得N08、N80E的数量关

系；

(3)由已知推出CPII0B,得到N408+NPCO=180。，结合角平分线的定义可推出

Z08=2/PCO=3600-2ZAOB.根据(2)/OCD+Z8O'E'=360°-/AOB,进而推出

ZAOB=Z.BOE.

【详解】

解：(1)VCDII0E,

ZAOE=Z.OCD=120°,

ZBO£=360°-ZAOE-A/A08=360o-90o-120o=150o；

(2)ZOCD+ZBO'E'=36Qe-a.

证明：如图②，过。点作OFHCD，

图②

丁CDIIOF,

：.OFWOF,

ZAOF=1800-ZOCD,ZBOF=NE0'0=1800-NBO'E',

Z40B=ZAOF+ABOF=180°-ZOCD+180°-ZBO'E'=360°-(ZOCD+ZBO'E')=a,

/.ZOCD+Z8OF=360°-a；

(3)/AO8=NBO'E1.

证明：•••NCPO'=90°,

PO'±CP,

PO」OB,

CPWOB,

/.ZPCO+Z408=180°,

/.2ZPCO=3600-2ZAOB,

•••CP是/oc。的平分线，

/.ZOCD=2ZPCO=3600-2ZAOBt

,由(2)知，ZOCD+Z.BOT/=360o-a=3600-ZAOB,

：.36O0-2ZAOB+Z.8。'尸=350°-/AOB,

ZAOB=ZBO'E'.

【点睛】

此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出

辅助线是解决问题的关键.

4.(1)120°；(2)90°-x°；(3)不变，；(4)45°

【分析】

(1)由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补可得；

(2)由平行线的性质可得NABN=180。”。，根据角平分线的定义知/

解析：(1)120°；(2)90°-gx°；(3)不变，；；(4)45°

【分析】

(1)由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补可得；

(2)由平行线的性质可得N48N=180”。，根据角平:分线的定义知N48P=2NC8P、

NP8N=2/O8P,可得2NCBP+2N。8P=180。*,g|JzCBD=ZCBP+ZDBP=90°-^x°：

(3)由AMII8N得/APB=ZPBN、ZADB=NDBN,根据BD平分NPBN知

ZPBN=2ADBN,从而可得NAPB：AADB=2：1；

(4)由AMII8N得NACB=NCBN,当NAC8=NABD时有NCBN=NA8。，得

ZABC+Z.CBD=AC8D+/DBN,即/ABC=NDBN,根据角平分线的定义可得

ZABP=4PBN=；4ABN=24DBN,由平行线的性质可得g/N48N=90。，即可得出答

案.

【详解】

解：(1)•/AMWBN,Z4=60°,

ZA+Z48心180°,

/.ZABN=120°；

(2),「AMIIBN,

ZABN+Z.4=180°,

ZABN=18Q°-x°,

ZABP+APBN=130°-x°,

■：BC平分NABP,BD平分NPBN,

ZABP=2Z.CBP,ZPBN=2Z.DBP,

2ZCBP+2N08P=180°",

二NCBD=NCBP+NDBP弓(180°-X°)=90°-yX°;

(3)不变，ZADB：NAPB=g.

,/AMIIBN,

：.ZAPB=NPBN,ZADB=^DBN,

,/BD平分/PBN,

/.ZPBN=2ZDBN,

/.ZAPB：/408=2：1,

/.ZADB：NAPB=g；

(4)AM\\BN,

：.ZACB=ZCBN,

当NACB=NABD时，则有NC8/V=ZABD,

：.ZABC+ACBD=NCBD+NDBN,

：.ZABC=ADBN,

,/BC平分/ABP,BD平分/PBN,

ZA8P=2/ABC,ZP8N=2/DBN,

ZABP=4P8N=2NDBN=gz.ABN,

'：AMWBN,

：.ZA+NABN=130°,

：.^AA+^ABN=90°,

：.A+2NDBN=90\

-Z/A+ZDBN=4(J/A+2NDBN)=45°.

422

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

5.(1)65°；(2)；(3)2nZM+ZBED=360°

【分析】

(1)首先作EGIIAB,FHIIAB,连结MF,利用平行线的性质可得

NABE+ZCDE=260。，再利用角平分线的定义得到/ABF+

解析：(1)65°；(2)3,J(3)2nZM+ZBED=360o

6

【分析】

(1)首先作EGII48,FHWAB,连结MF,利用平行线的性质可得NA8E+/CDG260。,再

利用角平分线的定义得到/48F+/8F=130。，从而得到N8FO的度数，再根据角平分线的

定义和三角形外角的性质可求NM的度数；

(2)先由已知得到NA8E=6NA8/W,ZCDE=6ZCDM,由(1)得NA8E+NCOE=360°-

ZBED,ZM=ZABM+ZCDM,等量代换即可求解；

(3)由(2)的方法可得到的/法+N8ED=360°.

【详解】

解：(1)如图1,作FH//AB,连结M尸,

:ABIICD,

：.EG//AB//FH//CD,

;.ZABF=NBFH,/CDF=/DFH,ZABE+NBEG=180。,4GED+4CDE=W,

NABE+/BEG+ZGED+乙CDE=360°,

.4BED=/BEG+Z.DEG=100°,

ZABE+ZCDE=26CT,

乙46石和NCDE的角平分线相交于E,

ZABF+ZCDF=130°,

ZBFD=NBFH+ADFH=130°,

BM、DM分别是NA肝和NCZ)厂的角平分线，

/.NMBF=-ZABF,4MDF=4/CDF,

22

/.AMBF+Z/WDF=65°,

NBMD=130°-65°=65°；

(2)如图1,•;/A8M=：ZA8/，4CDM=；/CDF,

:.ZABF=3ZABM,/CDF=3NCDM,

.NAH月与NCDE两个角R勺角平分线相交于点厂，

ZABE=6ZABM,Z.CDE=6ZCZW,

6ZABM+6ZCDM+NBED=360°,

・.・NBMD=ZABM+ZCDM,

6/BMD+ABED=360°,

/n…360。一a。

4BMD=-------------；

6

(3)由(2)结论可得，InZABM+2nZCDM+ZE=360°,ZM=ZABM+ZCDM,

则2〃ZA/+"ED=360°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等,

内错角相等，同旁内角互补的性质.

二、解答题

6.(1)见解析；(2)45；(3)不变，见解析：

【分析】

（1）由可求得m及n,从而可求得NMOC=NOCQ,则可得结论；

（2）易得NAON的度数，由两条角平分线，可得NDON,/OCF的度数，也

解析：（1）见解析；（2）45；（3）不变，见解析；

【分析】

（1）由|川-20|+Q?-70/=。可求得m及〃，从而可求得NMOC=ZOCQ,则可得结论；

（2）易得/AON的度数，由两条角平分线，可得NOON,/OCF的度数，也易得NCOE的

度数，由三角形外角的性质即可求得/OEF的度数；

（3）不变，分三种情况讨论即可.

【详解】

（1）•「加-20|之0,（M-70）2>0,且帆-20|+5-70）2=0

|/n-20|=0,（〃-70尸=0

m=20»n=70

ZMOC=900-ZAOM=70°

/.ZMOC=ZOCQ=70°

/.MNWPQ

（2）,/ZAON=180°~ZAOM=160°

又平分Z4ON,C/平分NOCQ

/./DON=；ZAON=80°,NOCF=3/OCQ=35。

1/NMOE=/DON=8①

：.ZCOE=ZMOE-ZMOC=10°

OEF=NOCF+NCOE=350+10°=45°

故答案为：45.

（3）不变，理由如下：

如图，当0420。时，

•「CF平分/OCQ

ZOCF=NQCF

设NOCF=ZQCF=x

则/OCQ=2x

,/MN11PQ

ZM0C=ZOCQ=2x

•/ZAON=360°-90°-（180。-2x）=90°+2x,。。平分N40/V

ZDON=45°+x

•「ZMOE=ZDON=450+x

NCOE=NMOE-NMOC=45°+x-2x=45°-x

/.ZOEF=ZCOE+ZOCF=45°~x+x=45°

D

当a=20°时，。。与08共线，则NOCQ=90°,由CF平分N0CQ知，NOEF=45

当20°390。时,如图

,/CF平分NOCQ

ZOCF=NQCF

设NOCF=ZQCF=x

则NOCQ=2x

•/A4/VIIPQ

ZA/OC=1800-ZOCQ=180°~2x

,/ZAON=90'+(1802x)=270°—2x,ODAON

/.ZAOE=135°~x

ZCOE=900-ZA0E=9Q°-(1350-x)=x-45°

ZOEF=ZOCF-ACOE=x-(x-45°)=45°

综上所述，/EOF的度数不变.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，角的和差关系，注意分类讨论,

引入适当的量便于运算简便.

7.(1)110°；(2)ZCPD=Za+Z3，见解析：(3)当P在BA延长线时，

ZCPD=ZP-Za；当P在AB延长线上时，ZCPD=Za-ZP

【分析】

(1)过P作PEIIAB,通过平行线性质求NA

解析：(1)110°；(2)NCPD=/a+/6,见解析；(3)当P在8A延长线时，

ZCPD=Z0-Za；当P在延长线上时，ZCPD=Za-Z6

【分析】

(1)过P作PEIIA8,通过平行线性质求/4PC即可；

(2)过P作PEIIAO交CD于E,推出ADWPEWBC,根据平行线的性质得出/a=ZDPE,

48=/CPE,即可得出答案；

(3)画出图形，根据平行线的性质得出Na=NOPE,z5=zCPE,即可得出答案.

【详解】

解：(1)过点P作PEII48.

,/4811CD,

：.PEII4811CD,

Z4+ZAPE=180°,ZC+ZCP£=180°,

,/Z%8=130°,ZPCD=120\

ZAPE=50°,ZCPE=6Q°,

：.ZAPC=4APE+Z.CPE=110°.

故答案为1100；

(2)ZCPD=Za+Z6,

ADWPEWBC,

Za=ZDPE,Z6=NCPE,

：.ZCPD=ZDPE+NCPE=Z.a+Z6；

(3)当P在8八延长线时，ZCPD=Z6-Za,

理由是：如图4,过P作PEII4。交CD于E,

ADWBC,

：.ADWPEWBC,

Za=ZDPE.N6=NCPE,

ZCPD=ZCPE-Z.DPE=Z6-Za；

当P在48延长线时,ZCPD=Za-Z6,

理由是：如图5,过P作PEII八。交CD于E,

,/ADWBC,

：.AD\\PEWBC,

：.Za=ZDPE,Z6=/CPE,

ZCPD=ZDPE-4CPE=Za-Z6.

【点睛】

本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学牛.的推理能力，题目是一道比较典型

的题目，分类讨论是解题的关键.

8.（1）见解析；（2）NCGA=45°；（3）NFCP=2NACP或

ZFCP+2ZACP=180°.

【分析】

（1）有垂直定义可得NMAB+NKCN=90。，然后根据同角的余角相等可得

ZKAN=ZK

解析：（1）见解析；（2）NCG4=45。；（3）NFCP=2N4CP或/FCP+2N4CP=180。.

【分析】

（1）有垂直定义可得NM48+NKC/V=90。，然后根据同隹的余角相等可得NK4V=NKCE从

而判断两直线平行；

（2）设/必心NKCF=a,过点G作GHIIEF,结合角平分线的定义和平行线的判定及性质

求解；

（3）分CP交射线4Q及射线4Q的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解.

【详解】

解：（1）,/AB.LAK

ZBAC=90°

：.ZMAB+AKAN=90°

「ZMAB+Z.KCF=90°

：.ZKAN=Z.KCF

：.EFWMN

⑵设/KAN=iKCF=a

贝IJNBAN=/BAC+AKAN=90°-^-a

ZKCB=180°-AKCF=180°-a

•「AG平分NNAB,CG平分NECK

/.ZGAN=^84V=45°+"，ZKCG二乙KCB=90°~^a

2222

ZFCG=NKCG+NKCF=90°+

过点G作GHIIEF

：./HGC=Z"G=90°+；a

又7MNWEF

MNWGH

：.ZHGA=N64心45。+

ZCGA=Z.HGC-AHGA=（90。+；。）一（45。+ga）=45°

1/ZC7X+Z7XC+ZACP=18O°

ZCL4+ZQAB+ZBAC+ZACP=180°

又♦「ZCL4=60°,ZBAC=90°

/.^QAB+ZACP=3>0°

由（1）可得：EFWMN

NFCA=/MAC

•••^FCP=ZFCA+ZACP

：.Z.FCP=ZM4C+ZACP

•「ZMAC=ZMAQ+ZQAB+ABAC,ZMAQ=2ZQAB

ZMAC=3NQA8+90°=3（30°-ZACP）+90°=l80°-3Z4CP

/.ZFCP=180°-3ZACP-AACP

即/FCP+2NACP=130°

②当CP交射线AQ的反向延长线于点T,延长BA交CP于点G

K

B

M不3JN

:'、、

I

I

I

!P

/FCP=/FCA—ZACP,由EFIIMN得NM4C=N尸C4

ZFCP=ZMAC-ZACP

又♦「N7XG=NQA8,ZMC+ZC4G=180°,ZBAC=90°

/.ZC4G=180°-ABAC=90°

ZC4T=Z.CAG-^TAG=90°-4QAB

「NC47+NCT4+ZAC尸=180。，NCT4=60。

ZC4T+ZACP=120°

/.90°-Z,QAB+ZACP=120°

NQA8=ZA6—30。

由①可得NM4C=3/QA8+90°

/.ZA^4C=3（ZACP-30°）+90°=3ZACP

ZFCP=ZMAC-ZACP=3ZACP-ZACP=2ZACP

综上，ZFCP=2NACP或NFCP+2AACP=180°.

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系.准确理解题意.正确推理计算是解题关

键.

9.（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4）秒，画图见解析

【分析】

（1）用角的度数除以转动速度即可得；

（2）求出NAON=60。，结合旋转速度可得时间t；

（3）设NAON=3

70

解析：（1）10杪；（2）20杪；（3）20杪，圆图见解析：（4）—杪，画图见解析

3

【分析】

（1）用角的度数除以转动速度即可得；

（2）求出NAON=60。,结合旋转速度可得时间t；

（3）设NAON=3t,则NAOC=300+6t,由题意列出方程,解方程即可;

（4）根据转动速度关系和OC平分NMOB,由题意列出方程，解方程即可.

【详解】

解：（1）V30+3=10,

10秒后ON与OC重合;

(2)•「MNIIAB

ZBOM=ZM=30°,

ZAON+ZBOM=90°,

/.ZAON=60°,

t=60-?3=20

1.经过t秒后,MNIIAB,t=20秒.

(3)如图3所示：

图3

,/ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZBOM,

三角板绕点0以每秒3。的速度，射线OC也绕0点以每秒6。的速度旋转,

设NA0N=3t,则NAOC=300+6t,

OC与OM重合，

ZAOC+ZBOC=180°,

可得:(30°+6t)+(90°-3t)=180°,

解得：t=20秒；

即经过20秒时间OC与OM重合；

(4)如图4所示：

,/ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZCOM,

三角板绕点0以每秒3。的速度，射线OC也绕。点以每秒6。的速度旋转，

设NA0N=3t,ZAOC=30°+6t,;ZBOM+ZAON=90°,

/.ZBOC=ZCOM=yZBOM=g(90°-3t),

由题意得：180°-(30°+6t)(90°-3t),

70

解得：t=一秒，

3

70

即经过一秒OC平分/MOB.

3

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细

观察图形,找到各个量之旬的关系求出角的度数是解题的关键.

10.（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论;

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZE

解析：（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°.

证明：过点M作MPIIAB.

,/ABIICD,

/.MPIICD.

/.Z4=Z3.

1/MPIIAB,

Z1=Z2.

丁ZEMF=Z2+Z3,

ZEMF=Z1+Z4.

ZEMF=ZAEM+ZMFC；

gl

证明：过点M作MQIIAB.

ABIICD,

/.MQIICD.

ZCFM+Z1=180°；

1/MQIIAB,

ZAEM+Z2=180°.

ZCFM+Z1+ZAEM+Z2=360°.

ZEMF=Z1+Z2,

...ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°；

(2)如图2第一个图：ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC=180°；

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

J.ZAEM=Z1,NCFN=N4,MPIINQ,

Z2+Z3=180°,

ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

ZEMN+ZMNF=Z1+Z2+Z3+Z4,ZAEM+ZCFN=Z1+Z4,

/.ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC

=Z1+Z2+Z3+Z4-Z1-Z4

=Z2+Z3

=180°；

如图2第二个图：ZEMN-ZMNF+NAEM+ZNFC=180°.

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

ZAEM+Z1=180°,ZCFN=Z4,MPIINQ,

Z2=Z3,

ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

ZEMN-ZMNF=Z1+Z2-Z3-Z4,ZAEM+ZCFN=180°-Z1+Z4,

ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC

=Z1+Z2-Z3-Z4+180°-Z1+Z4

=180°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

三、解答题

11.(1)30°,70°,20°；(2)15°,5°,0°,5。；(3)当时，；当时，.

【分析】

（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得

出和的度数，进而可求和的度数；

解析：（1）30°,70°,20°；（2）15°,5°,0°,5。；（3）当/时,

当时,

【分析】

（1）先利用三角形内角和定理求出/胡。的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出

N£4C和ND4C的度数，进而可求48和NE4O的度数；

（2）先利用三角形内角和定理求出NHAC的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出

NE4C和ND4C的度数，则前三问利用NE4O=NE4C-ND4C即可得出答案，第4问利

用ZE4D=ZZMC-ZE4C即可得出答案；

（3）按照（2）的方法，格相应的数换成字母即可得出答案.

【详解】

(1)VN4=20。，ZC=60°,

7.ZBAC=180°-Z^-ZC=100°.

AE平分ZE4C,

/.ZE4C=-Z^AC=50°.

2

..AO是高，

/.ZADC=ZADE=90°,

/.ZC4D=90°-ZC=30°,

ZEAD=ZE4C-ZG4Z)=20°,

/.ZAEC=90°-ZE4D=70°.

(2)当N8=30。，NC=60°时，

•••NB=30。，ZC=60°,

/.Z^4C=180°-Z^-ZC=90°.

AE平分me,

NE4C」N8AC=45°.

2

AO是高，

/.ZAZX?=90°,

ZC4D=90°-ZC=30°,

ZE4D=ZE4C-ZC4D=15°；

当N8=50°,NC=60°时，

•••々=50°,ZC=60°,

ZZ?AC=180°-Z5-ZC=70°.

•/平分加C,

ZEAC=-ABAC=35°.

2

AO是高，

/.ZADC=90°，

/.ZC4D=90°-ZC=30°,

ZEAD=ABAC-ZCAD=5°；

当N8=60。，NC=600时，

vZB=60°,ZC=60°,

ZBAC=180°-Z^-ZC=60°.

,/AE平分㈤C,

/.ZE4C=-ZBAC=30°.

2

AO是高，

/.ZADC=90°,

/.ZC4D=90°-ZC=30°,

/.ZEAD=ZEAC-ZCAD=0°；

当N5=70。，ZC=60°EI'J,

ZB=70°,ZC=60°,

/.ABAC=180°-ZB-ZC=50°.

■「AE平分的C,

ZEAC=-ZBAC=25°.

2

:4。是高，

：.ZADC=90°,

ZC4D=90°-ZC=30°，

ZEAD=ZDAC-ZEAC=5°.

(3)当/BcNC时，即时，

/R=a,4C=B,

：.Z^C=180o-ZB-ZC=180o-a-/7.

•「AE平分㈤C,

ZEAC=iz^C=i(18O0-a-/?)=9O-1a-1/7.

AD是高,

:.ZADC=90°,

/.ZC4D=90°-ZC=90°-^,

ZEAD=ZEAC-ZCAD=^(/3-a)；

当NB>NC时，即a>/时，

;NB=a,NC=〃，

ZfiAC=180°-ZB-ZC=180°-a-^.

,/AE平分㈤C,

NE4C=g/84C=g(1800_a_/)=90_ga_g夕.

AD是高,

:.ZADC=90°,

.•.NC40=90°—NC=90。—/7,

;./EAD—/DAC-NEAC一g(a-0)；

综上所述，当4时，NEAD=；(0-a)；当a>/时，ZE4D=1(a-/?).

乙乙

【点睛】

本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线，高，掌握三角形内角和定理和直角

三角形两锐角互余是解题的关键.

12.(1)40°；(2)的值不变，比值为；(3)ZOEC=ZOBA=60°.

【分析】

(1)根据OB平分NAOF,OE平分NCOF,即可得出

ZEOB=ZEOF+ZFOB=ZCOA,从而得出答案；

(2

解析：(1)40°；(2)NOBCNOR7的值不变，比值为g；(3)ZOEC=ZOBA=60°.

【分析】

(1)根据OB平分NAOF,OE平分NCOF,即可得出NEOB=NEOF+NFOB=gNCOA,从而

得出答案；

(2)根据平行线的性质，即可得出NOBC=NBOA,ZOFC=ZFOA,再根据

ZFOA=ZFOB+ZAOB=2ZAOB,即可得出/OBC：ZOFC的值为1：2.

(3)设NAOB=x，根据两直线平行，内错角相等表示出NCBO=NAOB=x,再根据三角形的

一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出/OEC,然后利用三角形的内角和等于

180。列式表示出NOBA,然后列出方程求解即可.

【详解】

(1),/CBIIOA

/.ZC+ZCOA=180°

•••ZC=100°

ZCOA=1800-ZC=80°

ZFOB=ZAOB,OE平分/COF

ZFOB+ZEOF=g(ZAOF+ZCOF)COA=40°;

ZEOB=40°;

(2)ZOBC：/OFC的值不发生变化

1.,CBIIOA

ZOBC=ZBOA,ZOFC=ZFOA

,.1ZFOB=ZAOB

ZFOA=2ZBOA

ZOFC=2ZOBC

ZOBC：ZOFC=1：2

(3)当平行移动AB至NOBA=60°时，ZOEC=ZOBA.

设NAOB=x,

,/CBIIAO,

ZCBO=ZAOB=x,

,/CBIIOA,ABIIOC,

ZOAB+ZABC=180°,ZC+ZABC=180°

ZOAB=ZC=100°.

ZOEC=ZCBO+ZEOB=x+40°,

ZOBA=1800-ZOAB-ZAOB=180°-100°-x=80,>-x,

/.x+40°=80°-x,

x=20°.

ZOEC=ZOBA=801>-20°=60°.

【点睛】

本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图

理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

13.(1)证明见解析；(2)900°,180°(n-l)；(3)(180n-180-2m)°

【详解】

【模型】

(1)证明：过点E作EFIICD,

,/ABIICD,

/.EFIIAB,

Z1+ZMEF

解析：(1)证明见解析；(2)900°,180°(n-l)：(3)(180n-180-2m)°

【详解】

【模型】

(1)证明；过点E作EFIICD,

ABIICD,

EFIIAB,

/.Z1+ZMEF=180°,

同理/2+/NEF=180°

Z1+Z2+NMEN=360°

【应用】

(2)分别过E点，F点，G点，H点作Li，L2，L3，L4平行于AB,利用(1)的方法可得

Z1+Z2+Z3+N4+Z5+Z5=180x5=900°；

由上面的解题方法可得:Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+...+Nn=180°(n-l),

故答案是：900°,180°(n-l)；

(3)过点0作SRIIAB,

ABIICD,

/.SRIICD,

/.ZAMiO=ZMiOR

同理/CMnO=ZMnOR

ZAMiO+zCMnO=ZMiOR+zMnOR,

ZAMiO+zCMnO=ZMiOMn=m°,

MiO平分NAM1M2，

ZAMIM2=2ZAMIO,

同理/CMnMn-l=2ZCMnO,

ZAM1M2+ZCMnMn-i=2ZAM1O4-2ZCMnO=2ZMiOMn=2m°,

o

又7ZAM1M2+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+......+/n-14-zCMnMn-i=180(n—1),

Z2+