高考数学二轮复习第九章 平面向量（学生版）

第九章平面向量知识梳理1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有：（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．

经典真题回顾1．（2024年北京高考数学真题）设，是向量，则“a+b·a-b=0”是“或”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024年天津高考数学真题）已知正方形ABCD的边长为1，DE=2EC,若BE=λBA+μBC，其中λ,μ为实数，则λ+μ=；设F是线段上的动点，G为线段3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a,b满足a=1,a+2b=2A．12 B． C． D．14．（2023年北京高考数学真题）已知向量a，b满足a+b=(2,3),A．-2 B．-1 C．0 D5．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅ED=A． B．3 C． D．56．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量，则cosa+b,A．117 B．1717 C． D．7．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量a,b,c满足a=b=1,A．-45 B．-25 C．8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2A．1+22 BC．1+2 D．9．（2023年天津高考数学真题）在△ABC中，BC=1，∠A=60∘，AD=12AB,CE=110．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量，满足a-b=3，a+b

考点一：平面向量基本定理及其应用解题思路：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果．【典例1-1】如图，在△ABC中，AN=12AC，P是BN的中点，若，则A．12 B．1 C．32 D【典例1-2】（2024·河南商丘·三模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若BF=xAB+yACA．-1 B．-34 C．-【变式1-1】（2024·广东·模拟预测）已知等边△ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若DF=3EF，则（A．12AB+C．12AB+【变式1-2】（2024·新疆·模拟预测）在平行四边形ABCD中，M, N分别在边CD, AD上，DM=MC, ANA．14AB+C．13AB+高考预测1．如图，在平行四边形ABCD中，点E满足BE=13EC，点F为CD的中点，则

A． B． C． D．考点二：平面向量共线的充要条件及其应用解题思路1、平面向量共线定理：已知OA=λOB+μOC，若2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量a=x1,y1，b=x2,y【典例2-1】在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且AB=2AM，AC=4AN，D在边BC上（不包含端点）．若ADA．2 B．4 C．6 D．8【典例2-2】已知a,b是平面内两个不共线的向量，AB=a+λb,A．λ-μ=1 B．λ+μ=2 C．λμ=1 D【变式2-1】如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设AM=xAB，AN=yACA．52 B．4 C． D．3【变式2-2】如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上的动点，若BE=xBA+yBCA．1 B．3 C．5 D．8高考预测1．已知O是△ABC所在平面内一点，若OA+OB+OCA．12 B．49 C．1 D考点三：平面向量的数量积解题思路：1、向量的数量积：设两个非零向量a,b的夹角为θ，则a⋅|b|⋅2、数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度|a|与b在3、设向量a=x1,y1，（1）若a=(x,y)，则|a|（2）设Ax1,y1,Bx（3）设两个非零向量a,b，且a=x1（4）若a,b都是非零向量，θ是a与b【典例3-1】如图，在平行四边形ABCD中，O,E分别为AC,BC的中点，F为AE上一点，且FA=FB，AD=2AB=4，则．【典例3-2】已知向量，满足a-2b=2a-b【变式3-1】如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+【变式3-2】如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5.若，则BC⋅DC=高考预测1．已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F．使得DE=2EF，则AF⋅考点四：平面向量的模与夹角解题思路(1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为[0,π]．(2)求非零向量a,b的夹角一般利用公式【典例4-1】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知向量，满足a=3,4，，a-b=7，则b【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在△AOB中，∠AOB=120°，OB=2OA=23，P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，则当PA【变式4-1】（2024·高三·重庆·期末）已知非零向量满足：a,b=π2，且a【变式4-2】已知平面内两个向量a=2k,1，b=1,k2，若与的夹角为钝角，则实数高考预测1．平面向量a, b满足2a=b，a考点五：等和线问题解题思路等和线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OP=λOA+μOB(λ,μ∈R)，若点P在直线AB①当等和线恰为直线AB时，k=1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈④当等和线过O点时，k=0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；【典例5-1】已知在△ABC中，点P满足，动点M在△BPC的三边及内部运动，设AM=xAC+yAB，则【典例5-2】如图，已知A,B,C是圆O上不同的三点，与AB交于点D（点O与点D不重合），若OC=λOA+μOB(λ,μ∈【变式5-1】已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且，若OC=λOA+μOBλ,μ∈【变式5-2】如图所示，∠BAC=2π3，圆M与分别相切于点D,E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xAD+y高考预测1．已知O为△ABC内一点，且，点M在△OBC内（不含边界），若，则λ+μ的取值范围是．考点六：极化恒等式解题思路极化恒等式（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|证明：不妨设AB=a,AD=AC2=DB2=①②两式相加得：AC（2）极化恒等式：上面两式相减，得：14a+b2①平行四边形模式：a几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14②三角形模式：a⋅b=AM2AABCM【典例6-1】（2024·江西·模拟预测）已知圆C的半径为2，点A满足AC=4，E，F分别是C上两个动点，且EF=23，则AEA．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]【典例6-2】已知正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN∥CD，点P在正六边形的边上运动，则PM⋅A．5 B．6 C．7 D．8【变式6-1】已知圆O的半径为2，弦长AB=23，C为圆O上一动点，则AC⋅BC【变式6-2】在△ABC中，，AC=6，∠ABC=π6，P，Q是BC边上的两个动点，且PQ=4，则的最大值为高考预测1．已知点O为坐标原点，△ABC为圆M:(x-1)22．如图所示，正方形ABCD的边长为13，正方形边长为1，则AE⋅AG的值为.若在线段AB上有一个动点M，则ME⋅MG考点七：矩形大法解题思路矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：OA【典例7-1】已知圆C1:x2+y2=9与C2:x2+y2=36，定点【典例7-2】在平面内，已知AB1⊥AB2，OB1=OA．(0,52]B．(52,72]【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆Q:x2+y2=16，点P1,2，M、N为圆O上两个不同的点，且PM【变式7-2】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知向量a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足a-c⋅b-A．2 B．52 C．32 D高考预测1．已知向量a、b满足a=b=a⋅b=2考点八：平面向量范围与最值问题解题思路平面向量范围与最值问题常用方法：（1）定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论（2）坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解（3）基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论（4）几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果【典例8-1】若a=1，b=3，则a+b+【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，已知，点P在边CD上，则AP⋅BP的最小值为【变式8-1】（2024·高三·上海·期中）在平面上，已知两个单位向量、的夹角为120°，向量α=λa+μb，其中λ2+μ【变式8-2】设向量a,b,c满足a=b=2,a·b高考预测1．已知向量，满足a=2b=2，则a+b2．已知向量满足，则|a+b|的取值范围为考点九：等差线、等商线问题解题思路1、如图设AB=e1，AC=e2是平面内两个不共线向量，若AP=xe1+ye2，反向延长AC到E,使AE=-2、如图所示，令ODOA=OEOB=OPOC=k【典例9-1】如图，在△ABC中，BD=13BC，点E在线段AD上移动（不含端点），若AE=λAB+μ【典例9-2】（多选题）给定两个单位向量OA,OB，且OA⋅OB=-32，点C在以O为圆心的圆弧A．-3 B． C．2 D．0【变式9-1】（多选题）在ΔABC中，点D满足BD=DC，当点E在线段AD上（不含A点）移动时，记AEA．λ=2μ B．λ=μC．14λ+μ的最小值为1 D．4【变式9-2】（2023·山西·高一统考期末）已知在△ABC中，点D满足BD=34BC，点E在线段AD(不含端点A，D)上移动，若高考预测1．（多选题）已知△ABC中，AB=AC=2,BC=2,D是边BC的中点，动点P满足PD=1,A．x+y的值可以等于2B．x-yC．的值可以等于D．x+2y的值可以等于3考点十：奔驰定理与向量四心解题思路：1、重心定理：①在△ABC中，若G为重心，则AG=②GA+GB+GC==4\*GB3④三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．2、奔驰定理：若SA⋅OA3、垂心定理：三角形三边上的高相交于一点故点O是的垂心，则一定有OA⋅OA⋅OB=4、外心向量定理：（1）AO⋅AB=12（2）AO⋅AF=14（3）AO⋅BC=15、内心定理①角平分线的交点，到三条边的距离相等；②OA⋅③AO【典例10-1】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，的面积分别为SA,SB,A．若SA:SB:B．若M为△ABC的内心，则C．若，M为△ABC的外心，则D．若M为△ABC的垂心，，则【典例10-2】平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理A．23-8 B．-2 C．【变式10-1】在平面上有△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC⋅OA+S△OAC⋅OB+S△OAB⋅OC=0即称为经典的“A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【变式10-2】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是△ABC所在平面上的一点，PA⋅PB=cbPA⋅PCA．重心 B．外心 C．内心 D．垂心高考预测1．在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，∠A=π3，O为其外心.若△ABC外接圆半径为，且cosBA．1 B． C．2 D．2．已知△ABC的外心为G，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a:b:c=5:5:8．若，则CG⋅CB=A．252 B．50 C．25 D．考点十一：阿波罗尼斯圆问题解题思路在平面上给定两点A，B，设点P在同一平面上且满足PAPB=λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆（λ=1时【典例11-1】（2024·高三·上海·期中）平面上到两个定点距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知a,b,c满足【典例11-2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A-2,0、B2,0，点P满足PA【变式11-1】已知平面向量a，b，c，满足a=b=2，且|a+b|=2A．152 B．15 C．172 D【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量a，b，c满足a⊥b，且a=b=2，c