2025-2026学年福建省福州市台江区九校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省福州市台江区九校高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.曲线y=f（x）在x=1处的切线如图所示，则f′（1）-f（1）=（）A.0 B.2 C.-2 D.-12.某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同种类的选法有（）A.20种 B.30种 C.40种 D.60种3.若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的涂色部分的面积表示（）A.事件A发生的概率

B.事件B发生的概率

C.事件B不发生条件下事件A发生的概率

D.事件A、B同时发生的概率4.已知随机变量X的分布列如下表，且Y=aX+3.X123P若E（Y）=-2，则a=（）A.-3 B.-2 C. D.15.已知，则a2=（）A.-2 B.2 C.4 D.126.若圆柱的侧面的展开图的周长为4，则该圆柱体积最大为（）A. B. C. D.7.若m,n均为非负整数，在做m+n的加法时各位均不进位（例如：134+3802=3936），则称（m,n）为“简单的”有序对，而m+n称为有序数对（m,n）的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是（）A.20 B.16 C.150 D.3008.若函数是区间（m-1，m+4）上的单调函数，则实数m的值一定不是（）A.-5 B.-3 C.3 D.4二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法正确的是（）A.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，则数据2x1-3，2x2-3，…，2xn-3的方差为8

B.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有53种不同的放法

C.用0～9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数

D.已知随机变量X的概率分布为，则实数a的值为10.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.A1表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A2表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是（）A.A1，A2为对立事件 B.

C. D.11.已知函数f（x）=xlnx,则（）A.函数f（x）在（0，e）上单调递减，在（e,+∞）上单调递增

B.

C.若a＜xf（x），则实数a的取值范围是

D.当时，若方程有且只有一个根，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若，则正整数x的值为

.13.若函数f（x）=x（x-c）2在x=-1处有极小值，则f（3）等于

.14.将4个相同的小球摆放在3×3的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在的展开式中，求：

（1）求常数项、及此项的二项式系数；

（2）求系数绝对值最大的项.16.(本小题15分)

已知函数f（x）=ax+ex，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x+y+1=0平行.

（1）求a的值；

（2）求f（x）的极值.17.(本小题15分)

对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）.

（1）求这4联可以凑成甲对联的概率；

（2）记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望.18.(本小题17分)

现有外表相同，编号依次为1，2，3，…，n（n≥3）的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（k=1，2，3，…，n）个袋中有k个红球，n-k个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.

（1）当n=4时，

①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；

②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；

（2）记第三次取到白球的概率为p,证明：.19.(本小题17分)

已知函数.

（1）讨论f（x）的单调区间；

（2）若，求a与k的数量关系；

（3）设x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个极值点，证明：.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】ABD

11.【答案】BC

12.【答案】5或7

13.【答案】108

14.【答案】29

15.【答案】常数项为-160，此项的二项式系数为20

T3=240x

16.【答案】a=-2；

f（x）的极小值为2（1-ln2），无极大值．

17.【答案】

18.【答案】解：（1）①n=4时，第二个袋中有2白2红，共4个球，

从中连续取出三个球（每个取后不放回），

第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，

所以第三次取出为白球的概率为；

②设选出的是第k（k=1，2，3，4）个袋，连续三次取球的方法数为4×3×2=24，

第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：（白，白，白），

若k=1，则取法数为（4-k）（3-k）（2-k），

若k=2或k=3或k=4，取法数为0，也满足关系（4-k）（3-k）（2-k），

故取（白，白，白）的取法可表示为（4-k）（3-k）（2-k），

同理（白，红，白），取法数为k（4-k）（3-k），

（红，白，白），取法数为k（4-k）（3-k），

（红，红，白），取法数为k（k-1）（4-k），

从而第三次取出的是白球的种数为：（4-k）（3-k）（2-k）+k（4-k）（3-k）+k（4-k）（3-k）+k（k-1）（4-k）=3×2（4-k），

则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率，

则在第3个袋子中第三次取出的是白球的概率，

而选到第k个袋子的概率为，故所求概率为：

，

所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率为．

（2）设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为n（n-1）（n-2），

第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：

（白，白，白），取法数为（n-k）（n-k-1）（n-k-2），

（白，红，白），取法数为k（n-k）（n-k-1），

（红，白，白），取法数为k（n-k）（n-k-1），

（红，红，白），取法数为k（k-1）（n-k），

从而第三次取出的是白球的种数为：

（n-k）（n-k-1）（n-k-2）+k（n-k）（n-k-1）+k（n-k）（n-k-1）+k（k-1）（n-k）

=（n-1）（n-2）（n-k），

则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率，

而选到第k个袋子的概率为，

所以．

19.【答案】当a≤0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；当时，f（x）在上单调递减，在和上单调递增；当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增

a=k

证明：结合（1