2025-2026学年湖南省长沙市三峰中学等学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省长沙市三峰中学等学校高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数(1−i)(2+i)i对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,B=π6,cosA=45A.−53 B.2 C.543.已知向量a=(5,2),b=(1,λ)，若a//(aA.−25 B.12 C.24.将函数y=sin(x+π3)的图象上的所有点向左平移A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin(x+2π5.|a|=5,|b|=3，且b⊥(A.52 B.213 C.16 6.如图，△ABC由斜二测画法画的水平直观图是A′C′=2的等腰直角三角形A′B′C′，那么它在原平面图形中，顶点B到AC的距离是(

)A.1

B.2

C.2

D.7.已知复数z=105a2−i，当a≥1时，不等式2|z|A.43 B.1035 C.88.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=27，b=6，c=4，若AD=23AC，AE= λAB(0≤λ≤1)，若BD与CEA.12 B.23 C.34二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥

B.棱柱的侧棱平行且相等

C.圆台的母线长不一定相等

D.半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面为球面10.设z1，z2，z3∈CA.若z1⋅z2=z1⋅z3且z111.已知函数f(x)=ln|4x+2A.f(x)是奇函数

B.f(1−x)=f(1+x)

C.f(x)在(−1,1)上单调递减

D.若m≠n，f(m)=f(n)，则69m三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2,b=3,c=7，则△ABC的面积为

．13.若sinθ−2cosθ=0，则1+cos2θ1+sin2θ=

．14.在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=23，A=2π3，则b+c的取值范围为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)已知x>3，求x+4x−3的最小值；

(2)求2x(4−x)16.(本小题15分)

已知a=(m−6,1)，b=(m−2,3)，c=(m+1,4m)，复数z=a⋅b+a⋅ci(i为虚数单位，m∈R)．

(1)若复数z为非零实数，求(a17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=43,c=6,a=12cosB+6．

(1)求cosC；

(2)求18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，记△ABC的面积为S，且4S=3(b2−a2−c2)．

(1)求角B的大小；

(2)若b=3，BD，BE分别为△ABC的中线和角平分线．

(i)若△ABC19.(本小题17分)

已知函数f(x)=2x−k⋅2−x是R上的奇函数，函数g(x)=[f(x)]2+2f(x)+n．

(1)求实数k的值；

(2)若函数g(x)在[1,+∞)上的最小值为254，求实数n的值；

(3)设函数参考答案1.C

2.B

3.C

4.C

5.B

6.D

7.B

8.C

9.BD

10.ABD

11.AC

12.313.2914.(215.解：(1)因为x>3，

x+4x−3=x−3+4x−3+3≥2(x−3)×4x−3+3=7，

当且仅当x−3=4x−3时，即x=5时取等号，

所以x+4x−3的最小值是7．

(2)由题意知2x(4−x)≥0，解得0≤x≤4，

所以2x(4−x)=2x(4−x)≤2×x+4−x2=22，

当且仅当x=4−x，即x=2时取得等号，

所以2x(4−x)的最大值是22．

16.解：(1)a=(m−6,1)，b=(m−2,3)，c=(m+1,4m)，

复数z=a⋅b+a⋅ci

=(m−6)(m−2)+3+[(m−6)(m+1)+4m]i=m2−8m+15+(m2−m−6)i，

若复数z为非零实数，则m2−m−6=0且m2−8m+15≠0，解得m=−2．

此时a=(−8,1),b=(−4,3),c=(−1,−8)，

则a+b=(−12,4),a−c=(−7,9)，

所以(a+b)⋅(a−c)=−12×(−7)+4×9=120；

(2)若复数z为纯虚数，则m2−8m+15=0且m2−m−6≠0，解得m=5，

此时a=(−1,1),b=(3,3),c=(6,20)，则b−12c=(3,3)−(3,10)=(0,−7)，

所以a在b−12c上的投影向量为a⋅(b−12c)|b−12c|b−12c|b−12c|=−77×(0,−1)=(0,1)．

17.解：(1)根据a=12cosB+6,b=43,c=6，

结合余弦定理得a=12⋅a2+c2−b22ac+6，即a=12⋅a2+36−4812a+6，解得a=2，

所以cosC=a2+b2−c22ab19.解：(1)f(x)=2x−k⋅2−x是R上的奇函数，因此f(0)=0，

因此f(0)=1−k=0，得k=1；

检验：当k=1时，f(−x)=2−x−2x=−f(x)，f(x)=2x−2−x，

因此实数k的值为1；

(2)根据第一问可知f(x)=2x−2−x，

令2x=p，那么函数f(x)=k(p)=p−1p，

因为x∈[1,+∞)，因此p∈[2,+∞)，

因为k(p)=p−1p在[2,+∞)上单调递增，因此k(p)=p−1p∈[32,+∞),

即当x∈[1,+∞)时，f(x)∈