2026年中考数学二轮复习 高频考点07 二次函数的综合专练24大题型专练

高频考点 二次函数综合专命题探源·考向解密（3年中考考向与命题特征根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等考点一二次函数的定义12312345671二次函数图象与系数关系（压轴23412考点五二次函数与几何综合（压轴题12345678每个考点中考预测题3好题速递·分层闯关（7道最新名校模拟试题+6道中考闯关题3~6分，属必拿分基础题；3~6分；c综合符号2a+b、a+b+c等代数式符号；3二次函数等式综合3~8分；6~10分；【答案】𝑦【答案】𝑦=−10𝑥250+10(13−𝑥)【详解】解：由题意得，𝑦=(𝑥−2)50+=(𝑥−2)考点一二次函数的定义形如𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐①化简后是不𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐形式；②a≠0x命题点01【典例】（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是𝑥，宽是长的一半，面积是𝑦，那么𝑦关于𝑥 ．（不要求写定义域故答案为𝑦=𝑥 即𝑦=𝑥×𝑥=𝑥因此宽为2．长方形的面积𝑦【详解】解：∵𝑥【答案】𝑦= ==−10𝑥2故答案为：𝑦=−10𝑥2【答案】𝑦=−𝑥2+1（答案不唯一【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的关键y轴上，可知𝑎<0，𝑏=【答案】𝑦=−𝑥2+1（答案不唯一【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的关键y轴上，可知𝑎<0，𝑏=0x轴有两个交点，可知𝑐≠0，据此写出答案【详解】解：∵y =0，𝑎<0，𝑏=∵x∴𝑐≠∴这条抛物线的表达式可以是：𝑦=−𝑥2故答案是：𝑦=−𝑥2+1（答案不唯一【答案】𝑦=−𝑥2【详解】解：原正方形面积为10×10=100（平方厘米则𝑦=100−(10−𝑥)【答案】𝑦=−𝑥2【详解】解：原正方形面积为10×10=100（平方厘米则𝑦=100−(10−𝑥)2=−𝑥2+20𝑥，故答案为：𝑦=−𝑥2命题点02【典例】（2026·河南周口·一模）下列各式中，𝑦是关于𝑥的二次函数的是（A．𝑦=

B．𝑥2−𝑦+2= C．𝑦=2𝑥+ D．𝑦2=【答案】【答案】【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎≠0，𝑎,𝑏,𝑐为常数）【详解】解：A、𝑦=𝑥2B、整理𝑥2−𝑦+2=0得𝑦=𝑥2+2，符合𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎=1≠0)，符合二次函数定义，该选项符合题D、𝑦2=𝑥2−1xy值，yx1】（2025·河南开封·一模）下列𝑦关于𝑥的函数中，属于二次函数的是（A．𝑦= B．𝑦=6𝑥+ C．𝑦=

D．𝑦=【答案】【答案】【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义“形如𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐（𝑎、𝑏、𝑐为常数，且𝑎≠0）的【详解】解：A、𝑦=2𝑥2−5𝑥B、𝑦=6𝑥1C、𝑦=𝑥D、𝑦=𝑥2】（2025·上海嘉定·一模）下列𝑦关于𝑥的函数中，一定是二次函数的是（A．𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+ B．𝑦=C．𝑦=𝑥2 D．𝑦=【答案】【答案】【分析】本题考查二次函数的识别，根据形如𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎≠0)，这样的函数叫做二次函数，进行判【详解】解：A、当𝑎=0时，𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐B、𝑦=(𝑥−5)2−𝑥2=−10𝑥+25C、𝑦=𝑥2+1D、𝑦=𝑥23】（2025·上海金山·一模）下列函数中，一定是二次函数的是（A．𝑦=3𝑥+𝑚2（其中𝑚是常数 B．𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（其中𝑎、𝑏、𝑐是常数C．𝑦= D．𝑦=(𝑥+【答案】【答案】【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎≠0)，这样的函数叫做二次函数，进行判B、当𝑎=0C、𝑦=(2𝑥−1)𝑥=2𝑥2−𝑥D、𝑦=(𝑥4)2−𝑥2=8𝑥+16，不含二次项，不是二次函数，不符合题意．C．命题点03【典例】（2026·上海虹口·一模）已知𝑦=(𝑚−3)𝑥|𝑚−1|（𝑚为常数）是二次函数，那么𝑚的值是（ D．3或【答案】【答案】【详解】解：∵𝑦=(𝑚−3)𝑥|𝑚−1|（𝑚为常数）∴𝑚−3≠0,|𝑚−1|=∴𝑚≠3,𝑚−1=±2，解得𝑚=−1，【变式1】（2026·甘肃白银·模拟预测）若𝑦=(𝑎−3)𝑥𝑎2−2𝑎−1−2是二次函数，则𝑎= 【答案】【答案】0𝑎−3≠𝑎2−2𝑎−1=2整理，得𝑎2−2𝑎−1=∴𝑎2−2𝑎−3=∴(𝑎−3)(𝑎+1)=解得解得𝑎=3或𝑎=−1，结合𝑎≠3，可得𝑎= 【答案】【答案】𝑎>【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线开口向下可得出𝑎2，再结合二次函数的定义即可【详解】解：根据题意可知：2−𝑎<0且2−𝑎≠0，解得：𝑎>2，故答案为：𝑎>中考预测题1．已知二次函数𝑦=𝑘𝑥2−2𝑥−1xk的取值范围是（A．𝑘> B．𝑘<C．𝑘≥−1且𝑘≠ D．𝑘≤1且𝑘≠【答案】【答案】0x𝛥≥0【详解】解：∵二次函数𝑦=∴二次项系数𝑘≠又∵该函数图象和𝑥轴有交点，即方程𝑘𝑥2−2𝑥−1=0∴𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=(−2)2−4⋅𝑘⋅(−1)≥0，化简得4+4𝑘≥0，解得𝑘≥−1，综上𝑘的取值范围是𝑘≥−1且𝑘≠2．已知二次函数𝑦=𝑘𝑥2−3𝑥−2与一次函数𝑦=−𝑥+1k的取值范围是（A．𝑘≥

且𝑘≠

D．𝑘>−且𝑘≠ 𝑘≥

𝑘>【答案】【答案】键．根据二次函数定义可知𝑘≠0，再将二次函数和一次函数联立方程组，再利用Δ≥0即可得出答案．二次函数𝑦∴𝑘≠𝑦=∴𝑘≠𝑦=𝑦=−𝑥+整理得：𝑘𝑥2−2𝑥−3=∵二次函数𝑦=𝑘𝑥2−3𝑥−2与一次函数𝑦=−𝑥+1∴Δ=4−4𝑘⋅(−3)≥解得：𝑘≥−∴k的取值范围是𝑘≥−3且𝑘≠下列说法正确的是（A．硝酸钾和氯化铵的溶解度𝑆g与温度𝑇(℃)分别满足二次函数和一次函数关系B．当0℃<𝑇<60℃时，硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度都随温度的上升而增大【答案】【答案】【详解】解：根据题图，无法判断硝酸钾的溶解度𝑆g与温度𝑇(℃)的溶解度的溶解度𝑆g与温度𝑇(℃)之间的函数图象不是直线，故氯化铵的溶解度𝑆g与温度𝑇(℃)一定不满足一次函数关系，故选项A错误；考点二一、核心解题总策略：31步：快速预处理(把函数变成“看得懂”的形式化成顶点式(首选对一般式𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，用配方法化为：𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2直接读出：①对称轴：𝑥=ℎ；②顶点坐标：(h,k)a ①开口方向：看𝑎(𝑎>0上,𝑎<0下)；②对称轴：公式𝑥=−；顶点纵坐标(最值)：公式𝑦= 2a顶点式或公式x=增减性（单调性开口方向+开口方向+顶点纵坐标，区分最大/y轴：x=0yx命题点01【典例】（2026·陕西榆林·一模）已知二次函数𝑦=𝑥2−2𝑎𝑥𝑎2+1（𝑎为常数）的对称轴为𝑥=2，下列说法中正确的是（）D．若点𝐴(−2,𝑦1)，𝐵(3,𝑦2)在该函数图象上，则𝑦1>【答案】【答案】==∵二次函数𝑦=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎2+1的对称轴为𝑥=∴ =𝑎=∴𝑦=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎2+1=𝑥2−4𝑥+5=(𝑥−2)2+1，令𝑥=0，𝑦=5>0，图象与𝑦轴的交点在𝑦轴正半轴上，A函数𝑦=(𝑥−2)2+1开口向上，当𝑥=2时，𝑦min=1≠5，B∵𝑦min=1>0，Δ=(−4)2−4×5=−4<∴图象与𝑥轴没有交点，C对称轴为𝑥=2：点𝐴(−2,𝑦1)到对称轴的距离：|−2−2|=点𝐵(3,𝑦2)到对称轴的距离：|3−2|=∵4>𝑦1>𝑦2，D正确．1】（2026·陕西渭南·一模）将二次函数𝑦=𝑎(𝑥1)2+ℎ（a、h为常数，𝑎≠0）xy则关于新二次函数的说法的是 B．其图象的对称轴为𝑥=C．当𝑥<2时，y的值随x值的增大而减 D．当𝑥=−1时，𝑦<【答案】【答案】时，𝑦=4a，h的值，从而得到新二次函数的解析式，根据二次函数的图象及∶将二次函数𝑦=𝑎(𝑥1)2+ℎ2𝑦=𝑎(𝑥++ℎ，即𝑦=𝑎(𝑥−1)2+ℎ由表可得，当𝑥=1时，𝑦=7；当𝑥=2时，𝑦=𝑎(1−1)2+ℎ= 𝑎=∴𝑎(2−1)2+ℎ=4，解得ℎ=7∴新二次函数为𝑦=−3(𝑥−1)2∴其图象开口向下，对称轴为直线𝑥1，当𝑥<1时，yx的增大而增大，当𝑥=−1时，𝑦=−3(−1−1)2+7=−5<A、B、DC2】（2026·广东珠海·一模）已知二次函数𝑦=𝑥2−2𝑥−3，下列说法错误的是（ B．对称轴为直线𝑥= D．当𝑥>1时，𝑦随𝑥的增大而减【答案】【答案】【详解】解：∵𝑦=𝑥2−2𝑥−3=(𝑥−1)2−4，𝑎=1>∴抛物线开口向上，A抛物线对称轴为直线𝑥=1，顶点坐标为(1,−4)，B、C∵∵抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥=∴当𝑥1时，𝑦随𝑥D选项说法错误．综上，只有D选项符合题意．3】（2026·江苏连云港·模拟预测）关于二次函数𝑦=−2(𝑥+5)2−3，下列说法正确的是（【答案】【详解】解：∵二次函数为𝑦=−2(𝑥+∴𝑥=【答案】【详解】解：∵二次函数为𝑦=−2(𝑥+∴𝑥=−5，在𝑦A不符合题意；顶点坐标为(−5,−3)B不符合题意；∵𝑎=−2<∴函数有最大值，最大值为−3C令𝑦=0，得−2(𝑥+5)2−3=0，即(𝑥+5)2=−3<0∴图象与𝑥D命题点02【典例】（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎−2的图象经过𝐴(𝑚−2,𝑦1)，𝐵(3−𝑚,𝑦2)，其中𝑚>4，且当𝑥<0时，yx值的增大而增大，下列说法正确的是（）A．𝑦1<𝑦2< B．−2<𝑦2<C．−2<𝑦1< D．𝑦2<𝑦1<【答案】【答案】【详解】解：∵𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎−2=∴抛物线对称轴为直线𝑥=1，顶点坐标为(1,−2)，顶点纵坐标为∵当𝑥<0时，𝑦随𝑥的增大而增大，𝑥<0在对称轴𝑥=1∴∴抛物线开口向下，𝑎<∵𝑚>∴𝑑1=|(𝑚−2)−1|=|𝑚−3|=𝑚−3，𝑑2=|(3−𝑚)−1|=|2−𝑚|=∵𝑑2−𝑑1=(𝑚−2)−(𝑚−3)=1>∴𝑑2>𝑑1，即𝐵∴𝑦2<𝑦1<=+𝑛的图象上，则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大小关系是（A．𝑦3<𝑦1<𝑦2B．𝑦2<𝑦3< C．𝑦1<𝑦3< D．𝑦1<𝑦2<【答案】【答案】【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得抛物线开口向下，对称轴为直线𝑥1，抛物线【详解】解：∵二次函数𝑦=−(𝑥−1)2∴抛物线开口向下，对称轴为直线𝑥=1∵2−1<1−(−1)<∴𝑦1<𝑦2<2】（2025·浙江杭州·一模）设函数𝑦1=−(𝑥−𝑎1)2，𝑦2=−(𝑥−𝑎2)2，直线𝑥=1的图象与函数的图象分别交于点𝐴(1,𝑐1)，𝐵(1,𝑐2)，得（A．若1<𝑎1<𝑎2，则𝑐1< B．若𝑎1<1<𝑎2，则𝑐1<C．若𝑎1<𝑎2<1，则𝑐1< D．若𝑎1<𝑎2<1，则𝑐2<【答案】【答案】【分析】将𝑥=1代入两个函数得到𝑐1和𝑐2的表达式，再结合各选项中𝑎1，𝑎2的大小关系，比较𝑐1和𝑐2的大【详解】解：依题意，𝑐1=−(1−𝑎1)2，𝑐2=∴𝑐1−𝑐2=−(1−𝑎1)2+(1−𝑎2)2=(1−𝑎2)−(1−𝑎1)(1−𝑎2)+(1−𝑎1)=若𝑎1<𝑎2<∵𝑎∵𝑎1<𝑎2，∴𝑎1−𝑎2<∵𝑎1<1，𝑎2<1，∴𝑎1+𝑎2<2，即2−𝑎1−𝑎2>∴𝑐1−𝑐2=(𝑎1−𝑎2)(2−𝑎1−𝑎2)<0，即𝑐1<𝑐2，C正确，D若1<𝑎1<𝑎2，𝑎1−𝑎2<0，𝑎1+𝑎2>2，2−𝑎1−𝑎2<0，得𝑐1−𝑐2>0，𝑐1>𝑐2，A错误．若𝑎1<1<𝑎2，𝑎1−𝑎2<0，无法确定2−𝑎1−𝑎2的正负，无法得到𝑐1<𝑐2，B错误．命题点03【典例】（2026·河南周口·一模）x的二次函数𝑦=𝑎𝑥2+4𝑥+𝑐，xya，c【答案】(1)𝑎=−2，𝑐=(2)𝑥=1(3)0≤𝑡≤【分析】（1）（2）根据二次函数对称轴为直线𝑥=−2𝑎（【答案】(1)𝑎=−2，𝑐=(2)𝑥=1(3)0≤𝑡≤【分析】（1）（2）根据二次函数对称轴为直线𝑥=−2𝑎（3）根据二次函数图象得知抛物线开口向下，根据题意结合图象，𝑡−11，𝑡13t【详解】（1）4𝑎+8+𝑐=1𝑎−4+𝑐=𝑎=𝑐=1∴𝑎∴𝑎=−2，𝑐=（2）解：由（1）得𝑦=−2𝑥2+4𝑥+∴二次函数的对称轴为直线𝑥= =（3）解：0≤𝑡≤∵−2<0，对称轴为直线𝑥=∴当𝑥1时，yx的增大而增大；当𝑥>1时，yx的增大而减小，且𝑥=−1和𝑥=3∵当𝑡−1≤𝑥1≤𝑡+1，𝑥2=3时，均满足𝑦1≥∴𝑡−1≥−1，𝑡+1≤∴0≤𝑡≤的力学特性．该轮廓线对应的函数关系为𝑦=|𝑥2−2𝑥−3|（单位：米），其中𝑦表示距桥面基准线的垂直高(1)列表（完成以下表格𝑦1=𝑦=(2)描点并画出该桥拱截面轮廓线𝑦=|𝑥2−2𝑥−3|(3)（i）数学小组探究发现直线𝑦=5与函数𝑦=|𝑥2−2𝑥−3|的图象交于点𝐸、𝐹，𝐸(−2,5),𝐹(4,5)|𝑥2−2𝑥−3|>5的解集 【答案】(1)(2)(3)（i）𝑥<−2或𝑥>4（ii）①直线𝐵𝐶的解析式为【答案】(1)(2)(3)（i）𝑥<−2或𝑥>4（ii）①直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=−𝑥+3；②𝑚=【分析】（1）把𝑥=−1分别代入𝑦1=𝑥2−2𝑥−3和𝑦=|𝑥2−2𝑥−3|，求出𝑦1和𝑦（2）（3）（i）根据函数图象可得出不等式|𝑥2−2𝑥−3|>5②画出函数图象，当直线平移时发现，直线与二次函数有三个交点时，直线与𝑦−𝑥22𝑥3相切时可得【详解】（1）解：当𝑥=−1时，𝑦1=(−1)2−2(−1)−3=1+2−3=0；所以，𝑦=|0|=0．当𝑥=2时，𝑦1=22−2×2−3=4−4−3=所以，𝑦=|−3|=3．②𝐵𝐶沿𝑦轴平移𝑚个单位后与函数𝑦=|𝑥2−2𝑥−3|3𝑚𝑦1=𝑦=解：（i）不等式|𝑥2−2𝑥−3|>5的解集为：𝑥<−2或𝑥>设直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑘=

3𝑘+𝑏=𝑏= 解得𝑏=3所以，直线所以，直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=−𝑥+②当−1<𝑥<3时，函数解析式为𝑦=−𝑥2+2𝑥+当直线𝐵𝐶沿𝑦轴平移𝑚个单位后与函数𝑦−𝑥22𝑥3图象相切时，与函数𝑦|𝑥2−2𝑥−3|平移后的直线解析式为𝑦=−𝑥3+𝑚，联立方程得−𝑥+3+𝑚=−𝑥2+2𝑥+3，整理得𝑥2−3𝑥+𝑚=0，∵平移后的直线与函数𝑦=−𝑥2+2𝑥+3∴方程𝑥2−3𝑥+𝑚=0∴Δ=(−3)2−4𝑚=解得：𝑚=≤≤yxy1【答案】(1)𝑦=+10(40≤【答案】(1)𝑦=+10(40≤𝑥≤0.6≤𝑑≤根据表格数据和（1）（3）由表格数据，当𝑦=6时，𝑥=45652可得，当𝑥=45时，𝑑≈7.0，当𝑥=65时，𝑑≈0.6，【详解】（1）解：由二次函数点的坐标对称性质可设该二次函数的解析式为：𝑦=𝑎(𝑥−55)2∴6=𝑎(45−55)2解得：𝑎=∴该二次函数的解析式为：𝑦=−(𝑥−55)2+10(40≤𝑥≤（2）（（3）解：由（1）知函数解析式为𝑦=−(𝑥−55)2根据表格或图像可知：当𝑦6时，𝑥=45∴根据数形结合可知：45≤𝑥≤2知，当𝑥45dBd约为7.0m；当𝑥=65dB时，对应的距离d约为0.6m；0.6≤𝑑≤7.0．（注：本题答案不唯一，答案在合理区间即可，d0.5～0.8之间，d3】（2025·贵州遵义·一模）已知二次函数𝑦 ，𝑎= (3)当−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=4时，写出方程−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=4【答案】【答案】(1)(3)𝑥1=𝑥2=【详解】（1）（2）解：∵当𝑥=−1和𝑥=3时，𝑦=∴抛物线的对称轴为直线𝑥=∵当𝑥=1时，𝑦=∵当𝑥=0和𝑥=2∴𝑎=（3）解：根据图象𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥𝑐的顶点坐标为(1,4)，可知二次函数方程−𝑥2+𝑏𝑥𝑐=4的解为𝑥1==命题点04【典例】（2026·四川达州·一模）如图，将函数𝑦=2(𝑥−3)2+1y象，其中点𝐴(2,𝑚)，𝐵(7,𝑛)平移后的对应点分别为点𝐴′，𝐵′．若曲线段𝐴𝐵20（分），则新图象的函数表达式是（A．𝑦=2(𝑥+2)2 B．𝑦= C．𝑦=2(𝑥−3)2 D．𝑦=2(𝑥−3)2 【答案】【答案】【分析】连接𝐵,𝐴′𝐵′,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形𝐴′𝐵′𝐴的面积，由题意易得点𝐴、𝐵平距离即为该平行四边形𝐴′𝐵′𝐴的高，然后可得𝐴𝐴′=4，进而问题可求解．【详解】解：连接∴点𝐴,𝐵的水平距离为7−2=∴5𝐴𝐴′=∴𝐴𝐴′=∴4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为𝑦=2(𝑥−3)21】（2026·浙江杭州·模拟预测）二次函数𝑦=(𝑥−1)2+2的图象平移后经过点(1,5)，下列平移方式正确的是（）．【答案】A：平移后解析式为𝑦(𝑥−1−1)2+2−1=(𝑥−2)2+1，当𝑥=1时，𝑦=2【答案】A：平移后解析式为𝑦(𝑥−1−1)2+2−1=(𝑥−2)2+1，当𝑥=1时，𝑦=2，不符合B：平移后解析式为𝑦=(𝑥−1−1)2+2−2=(𝑥−2)2，当𝑥=1时，𝑦=1C：平移后解析式为𝑦=(𝑥−1+1)2+2+2=𝑥2+4，当𝑥=1时，𝑦=5D：平移后解析式为𝑦=(𝑥−1+2)2+2+1=(𝑥1)2+3，当𝑥=1时，𝑦=72】（2026·陕西西安·三模）已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−3𝑎，当−4≤𝑥≤0y1，3b的值为（）

C． D．或 −2或 解得𝑏=2𝑏−4𝑏=𝑏=将𝑎=1𝑏代入得：16𝑎−3𝑎−4𝑏=13𝑎−4𝑏= ∴二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−3𝑎的对称轴为直线𝑥=①当𝑎>0∵当−4≤𝑥≤0y1，−1−(−4)>∴当𝑥=−4时，𝑦=∴16𝑎−4𝑏−3𝑎= ∵𝑥= = =解得𝑎=轴为直线𝑥=−1，①当𝑎>0时，②当𝑎<03个单位长度后，得𝑦=𝑎(𝑥−3)2∴𝑎(0−3)2+𝑏(0−3)−3𝑎=【分析】由二次函数图象平移的规律得𝑦=𝑎(𝑥−3)2+𝑏(𝑥−3)−3𝑎，由经过原点得𝑎=1𝑏【答案】②②当𝑎<0∵当−4𝑥0y∴当𝑥=−1时，𝑦=∴𝑎−𝑏−3𝑎=将𝑎=1𝑏代入得：𝑎−3𝑎−𝑏=−2𝑎−𝑏=−𝑏−𝑏=−2𝑏=解得𝑏=综上，b的值为−2或 3】（2025·广西·一模）把抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+3(𝑎>0)

𝑦=3𝑥+

方向平移10其顶点在原抛物线上，则𝑎是（ 【答案】【答案】【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，关键是把沿直线𝑦=1𝑥1向的平移【详解】原抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+3可化为𝑦=𝑎(𝑥−1)2+(3−𝑎)，顶点为已知直线𝑦=1𝑥+1，当𝑥=0时，𝑦=1；当𝑦=0时，𝑥=∴一次函数过点 12+32=平移方式为向右平移3个单位，向上平移1个单位或向左平移3个单位，向下平移1个单位，∴4−𝑎=𝑎⋅42−2𝑎⋅4+3=16𝑎−8𝑎+3=8𝑎+∴4−𝑎=8𝑎+4−3=8𝑎+1=𝑎=2−𝑎2−𝑎=𝑎⋅(−2)2−2𝑎⋅(−2)+3=4𝑎+4𝑎+3=8𝑎+∴2−𝑎=8𝑎+2−3=8𝑎+−1=𝑎=−9，与𝑎>0故𝑎=命题点05【典例】（2026·陕西西安·一模）二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过，𝐵(0,−1)，𝐶(3,𝑚)三点，则4𝑎2𝑏−𝑐的值为（ 【答案】【答案】ab的关系，Bc的值，最后代入式子计算即可．【详解】解：∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过∴二次函数的对称轴为直线𝑥== =∴𝑏=∴将𝑥=0,𝑦=−1代入解析式得𝑐=∴4𝑎+2𝑏−𝑐=4𝑎+2(−2𝑎)−(−1)=4𝑎−4𝑎+1=1】（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线𝑦=𝑎

+𝑏(𝑎>0)x轴于点𝐴(𝑚,0),𝐵(𝑛,0)−1<𝑚<0n的取值范围是（ −<𝑛<

−<𝑛

C．1<𝑛< D．2<𝑛< 【答案】【答案】根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线𝑥=2，则点𝐴与点𝐵关于直线𝑥=2对称，然后根据点𝐴【详解】解：∵抛物线𝑦=𝑎 +𝑏(𝑎>0)的对称轴为直线𝑥=1 而抛物线交𝑥轴于点∴点𝐴与点𝐵关于直线𝑥=2∵−1<𝑚<点𝐵在(1,0)与(2,0)∴1<𝑛<2，2】（2025·广东深圳·三模）已知二次函数𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎≠0)x轴正M的横坐标是（） 【答案】【答案】x轴的交点，由图象可知，抛物线的对称轴为直线𝑥=1x轴负半轴的交点横坐标是−1xM的横坐标是2×1−(−1)=3．【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线𝑥=1x轴负半轴的交点横坐标是xM的横坐标是2×1−(−1)=3．命题点06【典例】（2026·陕西西安·三模）已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+4𝑎𝑥+𝑐(𝑎>0)的函数图像经过𝑛,𝑚2+5两点，则𝑛的值可能是（ 【答案】【答案】判断出𝑚2+5>4𝑚，则|𝑛−(−2)|>|1−(−2)|，求解即可．【详解】解：∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+4𝑎𝑥+𝑐(𝑎>∴抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥= =∵𝑚2+5−4𝑚=(𝑚−2)2+1>∴𝑚2+5>∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+4𝑎𝑥+𝑐(𝑎>0)的函数图像经过𝐴(1,4𝑚)，𝐵𝑛,𝑚2+5∴|𝑛−(−2)|>|1−(−2)|，解得：𝑛<−5或𝑛>1．2在范围内，即𝑛1】（2025·河南濮阳·一模）如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点𝐴(−3,0)𝑥=1，则一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的根 【答案】𝑥【答案】𝑥1=−3，𝑥2=轴𝑥=1得出𝐴(−3,0)的对称点，即为抛物线与𝑥轴的交点，再求出一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0【详解】解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与𝑥轴的一个交点是𝐴(−3,0)，对称轴为直线𝑥=设另一个交点的坐标为∴𝑚−3=1，解得𝑚=∴抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与𝑥轴的另一个交点是∴∴一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的解是：𝑥1=−3，𝑥2=故答案为：𝑥1=−3，𝑥2=2【变式2】（2025·江苏扬州·二模）二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎，𝑏，2>∴𝑚>∵2−<点2,𝑛距离对称轴2−2∴点(−0.8,𝑚)距离对称轴2−(−0.8)=1.3根据抛物线的对称性得对称轴为𝑥=−2+3=距离对称轴2−2个单位，结合函数图像即可得到𝑚>−2,25，(1,−1)3,25=命题点07【答案】𝑦=−𝑥2+2𝑥+【分析】利用待定系数法将𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)，𝐶(0,3)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+【答案】𝑦=−𝑥2+2𝑥+【分析】利用待定系数法将𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)，𝐶(0,3)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐【详解】解：将𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)，𝐶(0,3)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑎−𝑏+𝑐=9𝑎+3𝑏+𝑐=𝑐=𝑎=𝑏=𝑐=∴该二次函数的解析式为𝑦=−𝑥2+2𝑥+1】（2026·安徽安庆·一模）新定义：对于给定的二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)𝑎𝑥2−𝑏𝑥+𝑐(𝑥≥𝑦=−𝑎𝑥2−𝑏𝑥𝑐(𝑥<0)的函数称为二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎≠0)的“友好关联函数”已知二次函数𝑦=𝑥2+2𝑥+请写出这个二次函数的“友好关联函数”的表达 𝑥2−2𝑥+3(𝑥≥𝑦=−𝑥2−2𝑥𝑥2−2𝑥+3(𝑥≥𝑦=−𝑥2−2𝑥+3(𝑥<−23【分析】（1）充分理解“友好关联函数”的定义，再结合二次函数𝑦=𝑥2+2𝑥+3析式为𝑦=1𝑥+9，再分两种情况分析：当𝑥≥0时，当𝑥<0【详解】解：（1）∵𝑦=−𝑎𝑥2−𝑏𝑥+𝑐(𝑥<0)的函数称为二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的“数”．且二次函数𝑦=𝑥2+2𝑥+𝑥2−2𝑥+3(𝑥≥𝑎𝑥2−𝑏𝑥+𝑐(𝑥≥∴这个二次函数的“友好关联函数”的表达式𝑦−𝑥2−2𝑥+3(𝑥<0)（2）∵−1<∴点𝐴(−1,𝑚)在函数𝑦=−𝑥2−2𝑥+3∴𝑚=−(−1)2−2×(−1)+3==𝑦=−𝑥2−2𝑥+当𝑥<0𝑦=1𝑥+ 解得：1=−1（A重合，舍去）𝑦1==−2=∴直线𝐴𝐵与该“友好关联函数”2,43𝑦=1𝑥+4=−𝑘𝑏𝑏=96=3𝑘+𝑘=∴𝑦=2𝑥+𝑦=𝑥2−2𝑥+当𝑥≥0当𝑛≥0时，把𝐵(𝑛,6)代入𝑦=𝑥2−2𝑥+3，得6=𝑛2−2𝑛+解得𝑛=3或𝑛=−1<0（舍去当𝑛<0时，把𝐵(𝑛,6)代入𝑦=−𝑥2−2𝑥+3，得6=−𝑛2−2𝑛+3，整理得：𝑛2+2𝑛+3=0，Δ=22−4×1×3=−8<设直线𝐴𝐵的函数解析式为𝑦=𝑘𝑥+ 解得：1=3（B重合，舍去）𝑦1==−2（不符合题意，舍去2（2026·浙江舟山·一模在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦(2,𝑚)，(3,𝑛)在抛物线𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎>上，抛物线的对称轴是直线𝑥=𝑡，若𝑚<𝑛<𝑐t的取值范围是（A．𝑡>

<𝑡<

C．1<𝑡< D．1<𝑡< 【答案】【答案】【分析】首先判断出抛物线开口向上，当𝑥>𝑡时，yx的增大而增大；当𝑥<𝑡时，yx的增大而减小，y轴交于点(0,𝑐)，然后分情况讨论求解即可．【详解】解：∵𝑎>∵抛物线的对称轴是直线𝑥=∴当𝑥>𝑡时，yx的增大而增大；当𝑥<𝑡时，yx综上所述，t的取值范围是2<𝑡<∵0<2<∴𝑛<𝑚<𝑐∴2<𝑡<当对称轴在点(3,𝑛)右边时，即当𝑡≥3∴𝑡−2<3−𝑡，即𝑡当对称轴在点(2,𝑚)和点(3,𝑛)之间时，即当2<𝑡<3∵𝑚<𝑛<∴3<𝑡≤∴3−𝑡<𝑡−0，即𝑡>∵当𝑥=0时，𝑦=当𝑡≤0时，∵0<2<∴𝑐<𝑚<𝑛，不符合题意；当当0<𝑡≤2时，∵𝑚<𝑛<中考预测题QB出发，沿折线𝐵−𝐶−𝐷Dx秒，𝑃𝑄2y2，yx的函数图象经过最低点𝐸(2,𝑚)．下列说法不正确的是（A．𝑛= B．𝑚=C．𝑘=

【答案】【分析】连接𝐴𝐶，交𝐵𝐷0Q作𝑄𝐻⊥𝐷𝐵H，结合菱形的性质得𝐵𝐷=𝐷𝐶= ∠𝐷𝐵𝐶=60°，𝑂𝐶⊥𝐵𝐷△𝐵𝐶𝑂∽△𝐵𝑄𝐻，有𝐶𝑂=𝐵𝐶=𝐵𝑂Q2位的速度沿折线𝐵−𝐶−𝐷D2QCP0 𝑥=𝐷𝑂=3.5，则𝐵𝐷=2𝐷𝑂=7，则𝑂𝐶=23和𝑂𝐵=22可知点𝑛=7PBQDQ在线段𝐵𝐶运动时，解得𝐵𝐻=𝑥、𝑄𝐻=3𝑥和𝑃𝐻=𝑃𝐵−𝐵𝐻，利用勾股定理求得𝑃𝑄2为7(𝑥−2)2+21EQ在线段𝐷𝐶运动时，同理可得𝑃𝐷=𝑥，𝑃𝐵=7−𝑥，𝐷𝑄=14−2𝑥，𝐷𝐻=7−𝑥和𝑄𝐻=73−3𝑥，则𝑃𝐻=2𝑥−7，利用勾股定理求得𝑃𝑄2=−70𝑥196【详解】解：连接𝐴𝐶，交𝐵𝐷0Q作𝑄𝐻⊥𝐷𝐵H∵菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶=60°，𝐷𝐶=𝐵𝐶，𝑂𝐶⊥𝐵𝐷，𝐷𝑂=𝐵𝐶𝐷则𝐵𝐷=𝐷𝐶=∵𝑂𝐶⊥𝐵𝐷，𝑄𝐻⊥∴𝑂𝐶∥∴∠𝐵𝐷𝐻=∠𝐵𝐶𝑂,∠𝐵𝐻𝑄=∴△𝐵𝐶𝑂∽△∴𝑄𝐻=𝐵𝑄=

Q2个单位的速度沿折线𝐵−𝐶−𝐷D2QCP0时，𝑥=𝐷𝑂=3.5，则𝐵𝐷=2𝐷𝑂=3.5×2=那么，𝑂𝐶=

3，𝑂𝐵=22可知点𝑛=7PBQDQ在线段𝐵𝐶∴𝑃𝐷=𝑥，𝑃𝐵=7−𝑥，𝐵𝑄=𝑄𝐻=2𝑥=𝐵𝐻，解得𝐵𝐻=𝑥，𝑄𝐻=7

则𝑃𝐻=𝑃𝐵−𝐵𝐻=7−𝑥−𝑥=7−2𝑥，那么，𝑃𝑄2为𝑦=𝑃𝐻2+𝐻𝑄2=(7−2𝑥)+(=7𝑥2−28𝑥+=7(𝑥−2)2当𝑥=22E，𝑚=𝑦=当𝑥=3.5时，𝑘=𝑦=

4Q在线段𝐷𝐶同理可得𝑃𝐷=𝑥，𝑃𝐵=7−𝑥，𝐷𝑄=∴𝐷𝐻=1(14−2𝑥)=7−𝑥，𝑄𝐻=3𝐷𝑄=3(14−2𝑥)=73− 则𝑃𝐻=𝑃𝐷−𝐷𝐻=𝑥−(7−𝑥)=2𝑥−7，那么，𝑃𝑄2为𝑦=𝑃𝐻2+𝐻𝑄2=(7−2𝑥)2+(73−=7𝑥2−70𝑥+当𝑥=4时，𝑦=故选已知点𝐴(−3,𝑦1)，𝐵(1,𝑦2)在抛物线𝑦=2𝑥2+𝑚𝑥+2上，若4<𝑚<5，则下列判断正确的是（A．2<𝑦1< B．𝑦1<𝑦2< C．𝑦2<2< D．2<𝑦2<【答案】【答案】A，B两点坐标代入抛物线解析式，得到𝑦1,𝑦2关于𝑚的表达式，再根据4<𝑚<5确定𝑦1,𝑦2的范【详解】解：【详解】解：∵点𝐴(−3,𝑦1)，𝐵(1,𝑦2)在抛物线𝑦=2𝑥2+𝑚𝑥+2∴将𝑥=−3代入解析式得𝑦1=2×(−3)2+𝑚×(−3)+2=20−3𝑚，将𝑥=1代入解析式得𝑦2=2×12+𝑚×1+2=4+𝑚，∵4<𝑚<∴对𝑦1，不等式同乘−3得−15<−3𝑚<−12，三边加20得5<𝑦1<8；对𝑦2，三边加4得8<𝑦2<∴2<𝑦1<8<𝑦2，即2<𝑦1<3．已知二次函数𝑦=𝑥2−𝑎𝑥+𝑎(𝑎≠0)的图象经过𝐴𝑎 ，𝐵(2𝑎,𝑦)两点，则下列判断正确的是（ 无论实数a取什么值，都有𝑦1> B．无论实数a取什么值，都有𝑦1>C．可以找到实数a，使得𝑦2< D．可以找到实数a，使得𝑦2=∴𝑦1−𝑎=𝑎−𝑎2−𝑎=−𝑎2<即𝑦1<𝑎A当𝑥=2𝑎时，𝑦2=4𝑎2−2𝑎2+𝑎=2𝑎2∴𝑦−𝑦=𝑎−𝑎2−(2𝑎2+𝑎)=− 202<即𝑦1<𝑦2B、D当𝑦2=2𝑎2+𝑎<0时，此时<𝑎<a，使得𝑦2<0C 【详解】解：当𝑥=时，𝑦1=𝑎−𝑎+𝑎=−<𝑎<0C而得到 𝑎−2𝑎2−(2𝑎2+𝑎)=−202<0，可判断B、D选项；再由当𝑦2=2𝑎2+𝑎<0时，此【分析】把𝑥=代入解析式可得𝑦1=𝑎−2𝑎2A选项；把𝑥=2𝑎代入解析式可得𝑦2=2𝑎2+𝑎【答案】考点三1abc例：开口向(𝑎0)y轴右侧（a，b异号→𝑏<0），y轴正半轴(𝑐>0)𝑎𝑏𝑐=(+)(−)(+)=−,即𝑎𝑏𝑐<考点2：判断𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄①2个交点：Δ＞0；②1个交点：Δ=0；③无交点：Δ<拓展：𝑏2＞4𝑎𝑐等价于Δ＞0，𝑏2=4𝑎𝑐等价于：Δ=0，𝑏2＜4𝑎𝑐等价于Δ<03：判断𝒂𝒃𝒄,𝒂−𝒃𝒄①𝑥=1时，𝑦=𝑎𝑏𝑐，看图象上𝑥=1x②𝑥−1时，𝑦𝑎−𝑏𝑐，看图象上𝑥1x轴上方还是下方；同理,𝑥=24𝑎+2𝑏+𝑐,𝑥=−24𝑎−2𝑏+𝑐.利用对称轴公式𝑥=−2𝑎2𝑎𝑏：由𝑥=−2𝑎移项得2𝑎𝑥𝑏=0，当𝑥=1时，2𝑎1+𝑏=2𝑎𝑏12𝑎−𝑏：当𝑥=−1时，2𝑎(−1)𝑏=−2𝑎+𝑏，变形为2𝑎−𝑏=−(−2𝑎𝑏)，看对称轴和-1命题点01二次函数图象与系数关系（压轴【典例】（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点(1,1)，(𝑚,0)，(3,0)，给出下列四个结论：①𝑎𝑏𝑐>0；②4𝑎𝑐−𝑏2<4𝑎；③5𝑎+2𝑏+𝑐<0；④𝑎+𝑏+𝑐>0．其中正确的结论是 （填序号【答案】【答案】∴𝑎<∵∴𝑐<∵抛物线对称轴在𝑦轴右侧，对称轴为直线𝑥=∴ >又∵𝑎<∴𝑏>𝑎𝑏𝑐0，故结论①正确，符合题意．∴>又𝑎<0，不等式两边同时乘4𝑎（负数），4𝑎𝑐−𝑏2<4𝑎，故结论②∵抛物线过点(1,1)、∴𝑎+𝑏+𝑐=1，9𝑎+3𝑏+𝑐=(𝑎𝑏+𝑐)+(9𝑎+3𝑏+𝑐)=1即10𝑎+4𝑏+2𝑐=5𝑎2𝑏𝑐=0.5>0，故结论③∵抛物线经过点∴当𝑥=1时，𝑦=𝑎+𝑏+𝑐=1>0，故结论④正确，符合题意．1】（2026·江西新余·一模）二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎≠0)的图象如图所示，顶点坐标为(1,𝑛)；x轴的交点为𝐴(−1,0)By轴的交点在(0,2)与(0,3)之间（包括端点）．①𝑏2−4𝑎𝑐>0；②3𝑎+𝑐<0；③点(−2,𝑦)，1

>𝑦>𝑦；④方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐−𝑛−1=

无实根；

．其中正确结论 ⑤≤𝑛≤ 【答案】【分析】根据二次函数的图象与𝑥轴有两个交点，得Δ=𝑏2−4𝑎𝑐>0，可判断①；根据对称轴为

=−2𝑎𝐴(−1,0)=0=0②1

，(5,𝑦)都在抛物线上，且(5,𝑦)的对称点为(−3,𝑦)，当𝑥<1时，yx−3<−2 1，得𝑦<𝑦<𝑦，可判断③；根据直线𝑦=𝑛1 程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−𝑛−1=0无实根，可判断④y轴于点(0,𝑐)，得2≤𝑐≤3𝑐=−3𝑎

2，由顶点(1,𝑛)，得𝑛=

≤−4𝑎≤

≤𝑛≤4，可判断−1≤𝑎≤

，得

，即得【详解】解：∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴的交点为𝐴(−1,0)和点∴Δ=𝑏2−4𝑎𝑐>∴对称轴为直线𝑥=∵对称轴为𝑥=∴−𝑏=∴𝑏=把𝐴(−1,0)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠得𝑎−𝑏𝑐=∴3𝑎+𝑐=∵二次函数对称轴为𝑥=1∴当𝑥<1时，yx∵点(−2,𝑦)1

，(5,𝑦)都在抛物线上，(5,𝑦)的对称点为(−3,𝑦)，且−3<−2< ∴𝑦3<𝑦1<∵直线𝑦𝑛1∴方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−𝑛−1=0对𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，令𝑥=0，则𝑦=∴二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎≠0)y轴于点∴2≤𝑐≤∵3𝑎+𝑐=∴𝑐=−1≤𝑎≤−把(1,𝑛)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，得𝑛=−4𝑎．∴8≤−4𝑎≤即3≤𝑛≤2】（2026·四川内江·一模）二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线𝑥=2，下列结论：①𝑎𝑏𝑐<0；②4𝑎𝑏=0；③9𝑎𝑐<3𝑏；④若点𝐴(−3,𝑦1)、 点𝐵

7 在该函数图象上，则𝑦<𝑦<𝑦；⑤4𝑎+2𝑏≤𝑚(𝑎𝑚+𝑏) （填写序号【答案】【答案】22∴𝑦1<𝑦2<𝑦3，故结论④∵当𝑥=2时，𝑦∴当𝑥=𝑚时，𝑎𝑚2+𝑏𝑚+𝑐≤4𝑎+2𝑏+∴4𝑎2𝑏≥𝑚(𝑎𝑚𝑏)，故⑤错误，5∴𝐴,𝐵,𝐶到对称轴的距离分别为5,,∵点𝐴(−3,𝑦1)、点𝐵2,𝑦2、点𝐶2,𝑦3在该函数图象上，对称轴为直线𝑥=∴4𝑎𝑏=0，故结论②∵图象过点(−1,0)，对称轴为直线𝑥=∴当𝑥=−3时，𝑦<∴𝑦=𝑎×(−3)2−3𝑏+𝑐<0，即9𝑎+𝑐<3𝑏，故结论③∴𝑥= =2，即𝑏=∴𝑏>∴𝑎𝑏𝑐<0，故结论①∵对称轴为直线𝑥=∴𝑥= =∴𝑎<0,𝑐>∵对称轴为直线𝑥=3】（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图像如图所示，对称轴为𝑥=x轴负半轴交于(−0.5,0)，下列结论①𝑎𝑏𝑐>0；②3𝑎+𝑐>实数根；④4𝑎+5𝑐>0；其中正确的个数

+𝑏𝑥+𝑐+2=

【答案】【详解】解：①∵函数图像开口向下，对称轴为𝑥=1y∴𝑎<0，𝑏=−2𝑎>0，𝑐>∴𝑎𝑏𝑐<0，故①②∵x轴交于(−0.5,0)，且对称轴为𝑥=∴x轴另一个交点为将𝑥=3代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠得：𝑦=9𝑎3𝑏+将𝑏=−2𝑎代入，得𝑦=3𝑎+由图像可知，3𝑎𝑐<0，故②

+𝑏𝑥+𝑐+2=

+𝑏𝑥+𝑐=由图像可知，二次函数与直线𝑦=−2

+𝑏𝑥+𝑐=−2一定有两个不相等的实数根，故③④将(−0.5,0)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠ 得：4𝑎−2𝑏+𝑐=整理得：𝑎−2𝑏4𝑐=将𝑏=−2𝑎代入，得5𝑎4𝑐=0(1)，将𝑥=1代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)得：𝑦=𝑎+𝑏+𝑐>将𝑏=−2𝑎代入，得𝑦=−𝑎+𝑐>（1）+（2）得：4𝑎5𝑐>0，故④2命题点02【典例】（2026·湖北襄阳·一模）二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏与反比例函数𝑦=𝑥在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ 【答案】【答案】【分析】根据二次函数图象得到𝑎<0,𝑏>0,𝑐>0，再判断一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏与反比例函数𝑦=𝑥二次函数𝑦=𝑎𝑥2𝑏𝑥𝑐∴𝑎<对称轴在𝑦∴ >∴𝑏>抛物线与𝑦轴的交点在𝑦∴𝑐>一次函数𝑦=𝑎𝑥𝑏反比例函数𝑦=𝑥𝑥的图象可能是（1】（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎≠0)图象的顶点为(−1,−2)，则一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏与反比例函数𝑦=𝑥的图象可能是（ 【答案】点坐标确定𝑎、𝑏的符号，进而判断一次函数和反比例函数图象经过的象限．由二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑥=𝑥=

=−1，即𝑏=2𝑎，将顶点坐标代入得𝑎−𝑏𝑐=−2标-2为最小值，知抛物线开口向上，即𝑎>0，则𝑏=2𝑎>0，一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏中，𝑎>0,𝑏>0∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐图象的顶点为−1，−2∴可设𝑦=𝑎(𝑥+1)2−2，即𝑦=𝑎𝑥2+2𝑎𝑥+∵该二次函数图象的对称轴为𝑥=∴−2𝑎=∴𝑏=一次函数为𝑦=𝑎𝑥+2𝑎，即𝑦=𝑎(𝑥一次函数𝑦=𝑎𝑥𝑏的图象恒经过定点(−2,0)，排除B，C．当𝑎<0时，𝑏=2𝑎<0D．2】（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)与二次函数𝑦=+𝑏𝑥(𝑎≠0)的图象如图，则一次函数𝑦=𝑎𝑏𝑥+𝑘的图象大致是（ 【答案】【答案】【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到𝑘>0，𝑎𝑏<0【详解】解：∵反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0)∴𝑘>∴一次函数𝑦=𝑎𝑏𝑥𝑘y∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎≠0)∴𝑎< >∴𝑏>∴𝑎𝑏<∴一次函数𝑦=𝑎𝑏𝑥+𝑘yx∴一次函数𝑦=𝑎𝑏𝑥𝑘3】（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)所示，则函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0)和𝑦=−𝑐(𝑐≠0)的大致图象可能是（ 【答案】【答案】【分析】由抛物线可得，𝑎<0,𝑏=−1,𝑐>0，则𝑏=2𝑎<0，−𝑐<0【详解】解：由抛物线可得，𝑎<0,−𝑏=−1,𝑐>∴𝑏=2𝑎<0，−𝑐<∴直线𝑦=𝑎𝑥𝑏(𝑎≠0)经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限D选项符合题意．命题点03【典例】（2026·陕西西安·二模）已知二次函数𝑦=−𝑥2+2𝑥𝑎（a为常数），当𝑚≤𝑥≤3时，y有最大值𝑎+1，最小值𝑎−3m的取值范围是（）𝑚≤ B．1≤𝑚≤ C．−1≤𝑚≤ D．−1≤𝑚≤【答案】【答案】最小值，分析函数在𝑚≤𝑥≤3时的增减性与最值取得的位置，进而确定𝑚的取值范围．【详解】解：二次函数解析式为𝑦=−𝑥2+2𝑥+𝑎𝑦=−(𝑥2−2𝑥+1)+1+𝑎=−(𝑥−1)2+(𝑎+∵二次项系数−1<∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,𝑎1)，当𝑥=1时，函数取得最大值𝑎+∵𝑦的最大值为𝑎+∴𝑥=1必须在取值范围𝑚≤𝑥≤3内，即𝑚≤抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，𝑥=3到对称轴𝑥=1的距离为3−1=2．将𝑥=3代入解析式得𝑦(3)=−32+2×3+𝑎=∴函数在𝑥=3要保证𝑦(3)在𝑚≤𝑥≤3时的最小值，则需满足𝑦(𝑚)≥𝑦(3)，即𝑥=𝑚到对称轴𝑥=1的距离不大于𝑥=3到对∴|𝑚−1|≤|3−1|，解得−1≤𝑚≤综上，𝑚的取值范围为−1≤𝑚≤1】（2026·陕西宝鸡·一模）已知抛物线𝑦−𝑥2−4𝑥𝑐（𝑐为常数，−5≤𝑥≤𝑚−5），当𝑥=−5𝑦取得最小值，当𝑥=−2时，𝑦取得最大值，则𝑚的取值范围是 A．3≤𝑚≤ B．−5≤𝑚≤ C．−3≤𝑚≤ D．𝑚≥【答案】【答案】m的取值【详解】对抛物线配方得：𝑦=−𝑥2−4𝑥+𝑐=−(𝑥+2)2+(𝑐+∵𝑎=−1<∴抛物线开口向下，对称轴为𝑥=−2，在𝑥=−2∵−5≤𝑥≤𝑚−5，且𝑥=−2时𝑦∴−2𝑚−5，解得𝑚≥又又𝑥=−5时𝑦取得最小值，二次函数在闭区间的最小值出现在离对称轴更远的端点处，𝑥=−5𝑥−2的距离为|−5−(−2)|=3，因此区间右端点𝑚−53|(𝑚−5)−(−2)|≤3化简得|𝑚−3|3，解得0≤𝑚≤6，取两个不等式的交集得3≤𝑚≤+的最小值 𝐴𝐵2=(𝑚−0)2+(0−4)2=𝑚2+𝐴𝐶2=(𝑚+3−0)2+(0−4)2=(𝑚+3)2+则𝐴𝐵2=𝑚2+16+2[(𝑚+3)2+=𝑚2+16+2(𝑚2+6𝑚+=3𝑚2+12𝑚+=3(𝑚2+4𝑚)+=3(𝑚+2)2∵(𝑚+2)2≥∴3(𝑚+2)2+54≥∴𝐴𝐵2+2𝐴𝐶2命题点04【典例】（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线𝑦=−𝑥2+𝑝𝑥+𝑞的对称轴为直线𝑥=−3M的一条直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏与该抛物线的另一个交点为𝑁(−1,1)P，使得△𝑃𝑀𝑁的周长最小，P的坐标为（ 3 D3,0或【答案】【答案】【分析】根据题意可得抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2−6𝑥−4=−(𝑥+3)2+5，分析可知当𝑃𝑀+𝑃𝑁𝑃𝑀𝑁Mxy轴的对应点𝑀′分别求解出直线𝑀′𝑁的解析式，找到最短路线，分别求出𝑃𝑀+𝑃𝑁的值，比较两种情况取值更小的结果即可．【详解】∵抛物线𝑦=−𝑥2+𝑝𝑥𝑞的对称轴为直线𝑥=−3，𝑁（−1，1）−𝑝=1=+𝑞𝑞=−4𝑝=∴该抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2−6𝑥−4=−(𝑥+3)2𝑃𝑀𝑁的周长为𝑀𝑁𝑃𝑀𝑃𝑁，且𝑀𝑁是定值，所以只需𝑃𝑀𝑃𝑁如图，过点𝑀（−3，5）y轴对称的点𝑀′（3，5）连接𝑀′𝑁，𝑀′𝑁yP，设直线𝑀′𝑁的解析式为𝑦=𝑎𝑥+𝑡(𝑎≠0)，由点𝑀 和点 5=3𝑎+1=−𝑎+𝑎=解得：𝑡=2∴直线𝑀′𝑁的解析式为𝑦=𝑥+2，当𝑥=0时，𝑦=2，即∵𝑃𝑀+𝑃𝑁=∴𝑀′𝑁 +(5−1)2=4 +(−5−1)2=2此时△PMN的周长为210∵42=32，210=∴42+𝑀𝑁<210∴𝑀′𝑁∵𝑃𝑀+𝑃𝑁=∴直线𝑀′𝑁的解析式为𝑦=3𝑥+4，当𝑦=0时，𝑥=−，即𝑃（−𝑐=𝑑=4−5=−3𝑐+1=−𝑐+ 和点由点𝑀设直线𝑀′𝑁的解析式为𝑦=𝑐𝑥+𝑑(𝑐≠此时𝑃𝑀𝑁的周长为42同理，如图，过点𝑀（−3，5）x轴对称的点𝑀′（−3，−5），连接𝑀′𝑁，𝑀′𝑁x轴的交点即为所求的点P，1】（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线𝑦=−1𝑥2+𝑥+4xA，B两点，P点，其横坐标为−3，C为抛物线对称轴上一动点，连接𝐴𝐶，𝑃𝐶，当𝑃𝐶𝐴𝐶取得最小值时，tan∠𝐵𝐴𝐶为（

D． 4𝑘+𝑏=0∴𝑃−3,4由𝑦=−1𝑥2+𝑥+4可知：对称轴为直线𝑥=1，当𝑦=01𝑥2+𝑥+4=解得：𝑥1=−2,𝑥2=由轴对称可知：𝐴𝐶=𝐵𝐶，所以𝑃𝐶+𝐴𝐶=𝑃𝐶+𝐵𝐶≥设直线𝑃𝐵的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，则有，−4𝑘+𝑏=4【详解】解：当𝑥=−3时，则有𝑦=−× −+4=9线𝑃𝐵的解析式为𝑦=−1𝑥4+4得𝑃3,【答案】𝑘=−3𝑏=∴直线𝑃𝐵的解析式为𝑦=−𝑥+∴当𝑥=1时，则有𝑦=−+= ∴𝐶(1,1)，即𝐶𝐸=∵𝐴𝐸=𝐴𝑂+𝑂𝐸=∴tan∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐸=2】（2026·四川绵阳·二模）如图，𝑀(2,2)𝑀与𝑥轴，𝑦轴均相切，将一次函数𝑦3𝑥𝑏的图象平移，当图象与⊙𝑀有公共点时，则实数𝑏的取值范围是（）A．−565≤𝑏≤4

≤𝑏≤−4+ C．𝑏≤2 D．−1410−20≤𝑏≤6 【答案】【答案】【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为(𝑥,𝑦)，由半径𝑟=2(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=2(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=4，再联立𝑦=3𝑥𝑏与(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=4Δ≥0建立关于b的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可．∵圆心∵⊙𝑀与𝑥轴，𝑦∴⊙𝑀的半径𝑟=设圆上任意一点坐标为由半径𝑟=2得，(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=∴∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=当图象与𝑀联立𝑦=3𝑥+𝑏与(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=4，得：(𝑥−2)2+(3𝑥+𝑏−2)2=4，整理得：10𝑥2+(6𝑏−16)𝑥+(𝑏−2)2=𝑥∴Δ=(6𝑏−16)2−4×10×(𝑏−2)2≥整理得，𝑏2+8𝑏−24≤令𝑏2+8𝑏−24=解得𝑏=−8±64+96=−4±2令𝑡=𝑏2+∴不等式𝑏2+8𝑏−24≤0的解集，即为抛物线𝑡=𝑏2+8𝑏−24在𝑥轴下方时，对应于𝑥轴交点横坐标的取值范∵1>0∴不等式的解集为−4−210≤𝑏≤−4+23】（2026·江苏宿迁·一模）如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，其中∠𝐴=45°，𝐴𝐶=8是𝐴𝐶边上的动点，连接𝐵𝑀，以𝐵𝑀𝐵𝑀𝑁，连接𝐶𝑁𝐶𝑀𝑁 【答案】【答案】【分析】通过证明△𝐴𝐵𝑀𝐶𝐵𝑁，可得𝐶𝑁=2,∠𝐵𝐶𝑁=∠𝐵𝐴𝐶=45°，可求𝑁𝐻【详解】解：过点𝑁作𝑁𝐻直线𝐴𝐶于∴∴当𝐶𝑀4𝐶𝑀𝑁面积的最大值为𝐶𝑀𝑁=1×𝐶𝑀𝑁𝐻=1×𝐶𝑀1(8−𝐶𝑀)=−1(𝐶𝑀−4)2∴𝑁𝐻=2𝐶𝑁=∴𝐴𝑀=2𝐶𝑁,∠𝐴𝐶𝑁=∴∠𝑁𝐶𝐻=2,∠𝐵𝐶𝑁=∠𝐵𝐴𝐶=∴𝐴𝑀∴△𝐴𝐵𝑀∽△又∵𝐴𝐵=𝐵𝑀=在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°,∠𝐴=𝐴𝐵𝐶∴𝐴𝐵=2𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝐶=𝐵𝑀𝑁∴𝐵𝑀=2𝐵𝑁,∠𝑀𝐵𝑁=45°=∴∠𝐴𝐵𝑀=𝑚𝑚【详解】解：二次函数𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+𝑚2−𝑚中，𝑎=1>𝑚𝑚【详解】解：二次函数𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+𝑚2−𝑚中，𝑎=1>0∵二次函数图象经过点将𝑥=0,𝑦=6代入解析式得：𝑚2−𝑚=6，整理得𝑚2−𝑚−6=0，解得𝑚=3或𝑚=∵∵对称轴在𝑦轴左侧，二次函数对称轴公式为𝑥=∴𝑥=−<解得𝑚>因此𝑚=−2舍去，得𝑚=将𝑚=3代入二次函数解析式得：𝑦=𝑥2+3𝑥+32−3=𝑥2+3𝑥+配方得𝑦=(𝑥+)+4【变式 故答案为：故答案为：3 3∴𝑎=2时，𝐴𝐶取得最小值2=2+∵2𝑎2−6𝑎+9=2𝑎−设𝐵(𝑎,0)，则𝐶(𝑎,−𝑎)，根据勾股定理得𝐴𝐶 2𝑎2−6𝑎+9，结合配方法求最值即可求解由题知𝐵𝐶𝐴𝐵，𝐴𝐵=|3−𝑎|,𝐵𝐶=∴𝐴𝐶 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2 |3−𝑎|2+|−𝑎|2 2𝑎2−6𝑎+2【答案】32/3中考预测题1𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐的对称轴是直线𝑥=1x轴负半轴交点横坐标−1<𝑥<0，则以下五个结论中，正确的有（）①𝑎𝑏𝑐>0；②2𝑎+𝑏=0；③𝑏2>4𝑎𝑐；④4𝑎+2𝑏+𝑐>0；⑤3𝑎+𝑐> B．2 C．3 D．4【答案】【答案】【分析】由图象可知：抛物线𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐的开口向下，则𝑎<0y轴交于正半轴，即𝑐>0为直线𝑥=𝑏=1，则有𝑏=−2𝑎>0【详解】解：由图象可知：抛物线𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐的开口向下，则𝑎<0y轴交于正半轴，即𝑐>0称轴为直线𝑥=𝑏=1，则有𝑏=−2𝑎>∴𝑎𝑏𝑐<0，故①错误；2𝑎+𝑏=0，故②∵x2∴𝑏2−4𝑎𝑐>0，即𝑏2>4𝑎𝑐，故③由图象可知当𝑥=0时，则有𝑦=𝑐>0；当𝑥=−1时，则𝑦=𝑎−𝑏𝑐<0，由𝑏=−2𝑎可得𝑦=+𝑐=3𝑎+𝑐<0，故⑤∴根据二次函数的对称性可知：当𝑥=0和𝑥=2∴当𝑥=2时，𝑦=4𝑎2𝑏𝑐>0，故④正确；综上所述：正确的结论有②③④3个．2．已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象开口向上，与𝑥轴交于(−2,0)和(3,0)，则下列关系正确的是（A．𝑎>0，𝑏>0，𝑐> B．𝑎>0，𝑏<0，𝑐<C．𝑎>0，𝑏>0，𝑐< D．𝑎>0，𝑏<0，𝑐>【答案】【答案】∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象开口向上，与𝑥轴交于(−2,0)和∴𝑎>0，对称轴为直线𝑥= >0，关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的两根为𝑥1=𝑥2=∴𝑏< =(−2)×3=−6<∵𝑎>∴𝑐∴𝑐<3．在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数𝑦=𝑥2−2|𝑥|+2𝑦𝑥2−2|𝑥|+以下五个结论：①点 线𝑥=1对称；④点𝐴(𝑎,𝑦)，𝐵(𝑏,𝑦)，若𝑎>𝑏>1，则𝑦<𝑦；⑤若直线𝑦=𝑎与函数𝑦

有2个公共点，则0<𝑎<2．其中正确的结论 ．（填写序号当当𝑥<0时，𝑦= ≥即不管𝑥取何值，始终有𝑦≥由表知，函数的图像关于直线𝑥=0对称，即关于𝑦轴对称，故③∵当𝑥≥0时，𝑦=，𝑦随𝑥∴点𝐴(𝑎,𝑦1)，𝐵(𝑏,𝑦2)，若𝑎>𝑏>1，则𝑦1<𝑦2，故④由②可知，0<𝑦≤1，≥ 当𝑥≥0时，𝑦=∴点−410在函数的图象上，故①【详解】解：当𝑥=−4时，𝑦=【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把𝑥=−4代入函数解析式求出𝑦的值即可判断①；由绝对值的性质可得即不管𝑥取何值，始终有𝑦0，即可判断②；根据表格对应的数值可判断③；根据二次函数的当当𝑥=0时，𝑦=由图象可知，当直线𝑦=𝑎与函数𝑦=𝑥2−2|𝑥|+2的图象有2个公共点时，2≤𝑎<1，故⑤综上，正确的结论是考点四1：二次函数与方程组综合(求交点/求解析式1.例：求𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐与𝑦=𝑘𝑥𝑚的交点。联立∶𝑦=𝑘𝑥消元：代入消元，转化为一元二次方程(或一元一次)𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+即：𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑘𝑥+利用交点求二次函数解析式(待定系数法进阶x轴的两个交点(𝑥1,0),(𝑥2,0)，直接设交点式：𝑦=2：二次函数与不等式组综合(求范围/比大小)利用图象解不等式(数形结合)𝑦𝑦1>𝑦2：找图象上方的部分，对应𝑥𝑦1<𝑦2：找图象下方的部分，对应𝑥的范围。命题点01【典例】（25-26九年级下·江苏扬州·开学考试）如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑐与直线𝑦=𝑚𝑥+𝑛交于(−2,−3)，𝐵(3,𝑞)两点，则不等式𝑎𝑥2+𝑐<𝑚𝑥+𝑛的解集 ．【答案】【答案】−2<𝑥<【分析】本题主要考查了用图象法解一元二次不等式，理解不等式𝑎𝑥2+𝑐<𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑚𝑥+𝑛图象在抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑐图象上方时自变量的取值范围是解题的关键．根据不等式+𝑐𝑚𝑥𝑛的解集即为直线𝑦𝑚𝑥𝑛图象在抛物线𝑦𝑎𝑥2+𝑐图象上方时自变量的取值范围，进行求解【详解】解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑐与直线𝑦=𝑚𝑥+𝑛交于𝐴(−2,−3)，𝐵(3,𝑞)两点，观察函数图象可知：当−2<𝑥<3时，直线𝑦=𝑚𝑥+𝑛在抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑐的上方，∴不等式𝑎𝑥2+𝑐<𝑚𝑥+𝑛的解集为−2<𝑥<故答案为：−2<𝑥<1】（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐与直线𝑦=𝑘𝑥ℎ相交于两点，则不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥−ℎ>𝑘𝑥−𝑐成立时，𝑥的取值范围 【答案】【答案】−2<𝑥<【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得𝑎𝑥2+𝑏𝑥−ℎ𝑘𝑥−𝑐【详解】解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与直线𝑦=𝑘𝑥+ℎ相交于(−2,𝑚),(2,𝑛)∴由图可知，当𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>𝑘𝑥+ℎ时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时−2<𝑥<∴𝑎𝑥2+𝑏𝑥−ℎ>𝑘𝑥−𝑐的解集为−2<𝑥<∴不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥−ℎ>𝑘𝑥−𝑐的解集为−2<𝑥<2．故答案为：−2<𝑥<2．=

𝑥2+𝑚𝑥+3𝑚2−1,𝑥≥−2𝑥2+8𝑥+5,𝑥< 示𝑦随着𝑥的增大而增大，则𝑚的取值范围 当𝑥=𝑚即−2𝑚2+8𝑚+5≤𝑚2+𝑚2+3𝑚2−1，整理可得7𝑚2−8𝑚−6≥0，令7𝑚2−8𝑚−6=解得𝑚1=4+58，𝑚2=4−根据二次函数的图象可得7𝑚2−8𝑚−6≥0的解集为𝑚≥4+58或𝑚≤4−58（舍去综上，4+58≤𝑚≤故答案为：4+58≤𝑚≤则𝑚≥−2，解得𝑚≥要使该函数的图像显示𝑦随着𝑥该函数开口向上，对称轴为直线𝑥=2要使该函数的图像显示𝑦随着𝑥则𝑚≤右段函数为𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+3𝑚2−1(𝑥≥= 该函数开口向下，对称轴为直线𝑥=𝑏【详解】解：左段函数为𝑦=−2𝑥2+8𝑥+5(𝑥<【答案】4+58≤𝑚≤命题点02【典例】（2026·江苏连云港·一模）如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑐与直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏交于𝐴(−3,𝑚)，𝐵(1,𝑛)两点，则不等式𝑎𝑥2+𝑘𝑥+𝑐<𝑏的解集是 ∴∴m、nx的一元二次方程𝑥2−2𝑥−3=0解方程𝑥2−2𝑥−3=0得𝑥=−1或𝑥=∴x的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑘𝑥+𝑐−𝑏=0的两个实数根分别为𝑥1=−1，𝑥2=∴抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑐与直线𝑦=−𝑘𝑥+𝑏的两个交点的横坐标分别为∴不等式𝑎𝑥2+𝑐<−𝑘𝑥+𝑏的解集为−1<𝑥<∴不等式𝑎𝑥2+𝑘𝑥+𝑐<𝑏的解集是−1<𝑥< ∴𝑚+𝑛=−=2，𝑚𝑛 =设方程𝑎𝑥2+𝑘𝑥+𝑐−𝑏=0的两个实数根分别为𝑚、+𝑐=−𝑘𝑥+𝑏，即𝑎𝑥+𝑘𝑥+𝑐−𝑏=𝑦=𝑎𝑥2+𝑦=−𝑘𝑥+𝑏得【答案】−1<𝑥<∴𝑘=−2，𝑐−𝑏=∴−3+1=−𝑎，−3×1=𝑎𝑦=𝑎𝑥2+【详解】解：联立𝑦=𝑘𝑥+𝑏得𝑎𝑥+𝑐=𝑘𝑥+𝑏，即𝑎𝑥−𝑘𝑥+𝑐−𝑏=∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑐与直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏交于𝐴(−3,𝑚)，𝐵(1,𝑛)，推出抛物线𝑦𝑎𝑥2+𝑐与直线𝑦=−𝑘𝑥𝑏的两个交点的横坐标分别为−1，3，求出不等式𝑎𝑥2+𝑐<−𝑘𝑥【分析】联立两函数解析式得到𝑎𝑥2−𝑘𝑥+𝑐−𝑏=0，根据A、B两点的坐标可得𝑘= 𝑐−𝑏=−3，则1】（2026·四川广安·二模）如图，一次函数𝑦=2𝑥−3的图象与二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)图象交于点𝐴、𝐵，且点𝐴在𝑥轴上，点𝐵在𝑦轴上，则关于𝑥的不等式𝑎𝑥2+(𝑏−2)𝑥+𝑐+3>0的解集 【答案】【答案】𝑥<0或𝑥>【详解】解：令𝑥=0，可得∴令𝑦=0，可得0=2𝑥−3，解得𝑥=∴𝐴2,0x的不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>2𝑥−3即𝑎𝑥2+(𝑏−2)𝑥+𝑐+3>0的解集为𝑥<0或𝑥>2】（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线𝑦=1𝑥2+𝑏𝑥+𝑐x轴于𝐴(−2,0)、By轴于点(0,−4)，直线𝑦=𝑎𝑥+𝑚B，直接写出不等式1𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>𝑎𝑥+𝑚【答案】【答案】(1)直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑥−4；抛物线的解析式为𝑦=(2)𝑥<0或𝑥>【分析】（1）把𝐴(−2,0)、𝐶(0,−4)代入𝑦=1𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，求出抛物线表达式，再求出𝐵(4,0)∴不等式2𝑥+𝑏𝑥+𝑐>𝑎𝑥+𝑚的解集是𝑥<0或𝑥>𝑎=𝑚=−4∴直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=0=4𝑎+−4=解得：𝑥1=−2,𝑥2=∴∵直线𝑦=𝑎𝑥+𝑚经过点B，当𝑦=0时，0=∴抛物线的解析式为𝑦=𝑏=𝑐=−4−4=0=1×(−2)2−2𝑏+【详解】（1）解：∵抛物线𝑦=1𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过𝐴(−2,0)、𝐶(0,−4)中考预测题在直角坐标系中，当1<𝑥<𝑡时，抛物线𝑦=

−𝑚𝑥

1𝑚2的图象总在直线𝑦=𝑥t值为（ 【答案】【答案】++<0，求出𝑥2−2(𝑚+2)𝑥+𝑚2<0的解集为(𝑚+2)−2𝑚+1<𝑥<(𝑚+2)+2𝑚+11<𝑥<𝑡，𝑥2−2(𝑚+2)𝑥𝑚2<0恒成立，则(𝑚+2)−2𝑚+1≤1，且𝑡≤(𝑚+2)+2𝑚+1𝑡的最大值，则𝑡=(𝑚+2)+2𝑚+1【详解】解：首先对抛物线配方：𝑦= 𝑚𝑥+𝑚2=抛物线在直线𝑦=𝑥下方，即对任意1<𝑥<𝑡(𝑥−𝑚)2<整理得整理得𝑥2−2(𝑚+2)𝑥+𝑚2<0，令ℎ=𝑥2−2(𝑚+2)𝑥+𝑚2=解得𝑥=(𝑚+2)±2𝑚+1，其中𝑚≥∴𝑥2−2(𝑚+2)𝑥+𝑚2<0的解集为(𝑚+2)−2𝑚+1<𝑥<(𝑚+2)+2𝑚+要使得任意1<𝑥<𝑡，𝑥2−2(𝑚+2)𝑥+𝑚2<0恒成立，则(𝑚+2)−2𝑚+1≤1，且𝑡≤(𝑚+2)+2𝑚+1，∴为求𝑡的最大值，则𝑡=(𝑚+2)+2𝑚(𝑚+2)−2𝑚+1≤𝑚+1≤2𝑚+令𝑢=𝑚+1≥0，则𝑢2=𝑚+∴𝑢2≤𝑢(𝑢−2)0，则𝑢−2≤0，∴0≤𝑢≤∵(𝑚+2)+2𝑚+1=𝑢2−1+2+2𝑢=(𝑢+∴𝑡=(𝑚+2)+2𝑚+1=(𝑢2−1+2)+2𝑢=(𝑢+1)2≤(2+1)2=2．已知二次函数𝑦=(𝑥−𝑚)2+𝑘M，图象上有一点𝑃(𝑥1,𝑦1)满足𝑦1−𝑘=3(𝑥1−𝑚)≠0，若𝑄(𝑥2,𝑦2)是函数图象（𝑃𝑀段）上的一点（P，M重合），令𝑡=𝑦2−𝑘，则𝑡的范围是（）A．𝑡< B．𝑡> C．0<𝑡< D．0<𝑡<【答案】【答案】【分析】根据二次函数顶点式得到𝑀(𝑚,𝑘)P在函数图象上得到𝑦1−𝑘=(𝑥1−𝑚)𝑥1−𝑚=3，则𝑥1=𝑚+3，由此确定𝑃点坐标为(𝑚+3,𝑘9)𝑄(𝑥2,𝑦2)是𝑃𝑀P、M重合的点，得到𝑚<𝑥2<𝑚+3，即0<𝑥2−𝑚<3，结合题意即可求解．【详解】解：∵函数𝑦=(𝑥−𝑚)2+𝑘的顶点为𝑀(𝑚,𝑘)，且点𝑃(𝑥1,𝑦1)∴𝑦1−𝑘=(𝑥1−𝑚)又∵𝑦1−𝑘=3(𝑥1−𝑚)≠∴(𝑥1−𝑚)2=∵𝑥1−𝑚≠0，两边同除以(𝑥1−𝑚)得：𝑥1−𝑚=3，则𝑥1=𝑚+代入得𝑦1−𝑘=3×3=9，则𝑦1=𝑘+∴𝑃(𝑚+3,𝑘9)，且∵