2026年中考数学二轮复习 高频考点10 几何与函数中最值问题17大题型专练

高频考点 几何与函数中最值问题（压轴题命题探源·考向解密（3年中考考向与命题特征根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等考点一几何最值问题考点二函数中最值问题12345612345678考点三圆中最值问题1290°求最值3定点定长中最值问题每个考点中考预测题3好题速递·分层闯关（6道最新名校模拟试题+4道中考闯关题/阿氏圆选择压轴题和解答题压轴小问为主，分3~8分，属于中考高频拉分题型；的转化思想，是中考几何最常与特殊图形（矩形、菱形、圆）2.函数最二次函数选择中档题和解答题基础小问为主，分3~6分；圆上动点到直线/定点的距离最值；4.隐圆背景下的最值问题。4~8考点一几何最值问题胡不归最值（带系数线段和特征：PA+kPB解法：构造特殊角（30˚、45˚、60˚），kPB命题点01【典例01】（2026·广东广州·一模）如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=60°，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=8，点𝐸，𝐹分别是边𝐴𝐵，𝐵𝐶上的动点，且满足𝐵𝐹=2𝐴𝐸．当𝐴𝐸= 连接𝐴𝑃，𝐷𝑃，则𝐴𝑃+𝑃𝐷的最小值为 【答案 2【分析】由题意可知∠𝐴𝐵𝐶60°，若𝐸𝐵𝐹为等边三角形，则需满足𝐵𝐸𝐵𝐹，利用𝐵𝐹2𝐴𝐸列方程求解A，DPP的运动轨迹，通过取特殊点可以发现，P在𝐴𝐵的垂直平分线上，那么求𝐴𝑃+𝑃𝐷的最小值就可以转化为“将军饮马”问题，进而问题得解．【详解】解：设𝐴𝐸=𝑥，由题意可知𝐵𝐹=2𝑥，𝐵𝐸=当𝐸𝐵𝐹为等边三角形时，则有𝐵𝐸=𝐵𝐹，即2𝑥=∴𝐴𝐸=𝑥=1FP作𝐹𝐺𝐴𝐵，𝑃𝐻𝐴𝐵G，H，连接∴∠𝐹𝐺𝐵=𝑃𝐻𝐵=∴𝑃𝐻∥∴△𝐸𝑃𝐻∽△ ∴𝐺𝐸=点𝑃为𝐸𝐹 ∴𝐺𝐸=𝐸𝐹=∴𝐻𝐸=在Rt𝐵𝐺𝐹中，∠𝐴𝐵𝐶=60°，∠𝐺𝐹𝐵=∴𝐵𝐺

𝐵𝐹=𝑥=𝐻𝐸𝐴𝐸=𝐻𝐺𝐵𝐺，即𝐻𝐴=连接𝐵𝑃，则𝐴𝑃=∴𝐴𝑃+𝑃𝐷=𝐵𝑃+当𝐵，𝑃，𝐷在同一条直线上时，𝐵𝑃𝑃𝐷最小，即为𝐵𝐷由题意可知，在Rt△𝐷𝑀𝐶中，∠𝐷𝐶𝑀=60°，𝐷𝐶=𝐴𝐵=∴𝐷𝑀=𝐶𝐷sin∠𝐷𝐶𝑀=3𝐶𝐷=33，𝐶𝑀=1𝐶𝐷=在Rt△𝐷𝑀𝐵中，𝐵𝑀=𝐵𝐶+𝐶𝑀=11，𝐷𝑀=3∴𝐵𝐷 𝐵𝑀2+𝐷𝑀2 112+(33)=2𝐴𝑃+𝑃𝐷的最小值为201】（25-26九年级下·北京·期中）在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=3，点𝐸，𝐹分别为𝐴𝐷、𝐴𝐵𝐴𝐸=𝐴𝐹，连接𝐵𝐸、𝐶𝐹，则𝐵𝐸+𝐶𝐹的最小值 【答案】3【答案】3【分析】过点𝐷作关于直线𝐴𝐵的对称点𝐷′，连接𝐷′𝐹𝐴𝐵𝐸𝐴𝐷𝐹得到𝐵𝐸𝐷𝐹，结合轴对称性质得到𝐵𝐸=𝐷′𝐹，将𝐵𝐸+𝐶𝐹转化为𝐷′𝐹+𝐶𝐹，利用两点之间线段最短可知当𝐶、𝐹、𝐷′三点共线时和最【详解】过点𝐷作关于直线𝐴𝐵的对称点𝐷′，连接∴∴𝐷′𝐹=𝐷𝐹，𝐴𝐷′=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=∵∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐹=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐸=∴△𝐴𝐵𝐸≌△∴𝐵𝐸=∴𝐵𝐸=∴𝐵𝐸+𝐶𝐹=𝐷′𝐹+∴当𝐶、𝐹、𝐷′三点共线时，𝐷′𝐹+𝐶𝐹有最小值，最小值为∵𝐴𝐷′=𝐴𝐷=∴𝐷′𝐷=𝐴𝐷′+𝐴𝐷=在Rt△𝐷′𝐷𝐶中，由勾股定理得：𝐶𝐷′ 𝐷′𝐷2+𝐶𝐷2 62+32=45=3𝐵𝐸𝐶𝐹的最小值为3边𝐵𝐶上运动，点𝐹在对角线𝐴𝐶上运动，且𝐵𝐺=2𝐴𝐹．若当𝐸𝐹⊥𝐴𝐵时，则𝐴𝐹= 𝐸𝐹+𝐹𝐺的最小值 22【分析】根据正方形的性质可得∠𝐵𝐴𝐶45∘，由𝐸𝐹⊥𝐴𝐵△𝐴𝐸𝐹为等腰直角三角形，结合𝐸为𝐴𝐵中点四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐷𝐴𝐵=∴∠𝐵𝐴𝐶=𝐸是𝐴𝐵的中点，𝐴𝐵=∴𝐴𝐸

1𝐴𝐵=∵𝐸𝐹⊥∴∠𝐴𝐸𝐹=𝐴𝐸𝐹∴𝐴𝐹 𝐴𝐸2+𝐸𝐹2=2过点𝐹作𝐹𝑀𝐴𝐵于点𝑀，作𝐹𝑁𝐵𝐶于点𝑁，连接𝐵𝐹，𝐷𝐹，𝐷𝐸，设𝐹𝑀=则∠𝐹𝑀𝐵=∠𝐹𝑁𝐵=∵∠𝑀𝐵𝑁=∴𝐵𝑁=𝐹𝑀，𝐵𝑀=∵∵∠𝐵𝐴𝐶=45∘，∠𝐴𝐶𝐵=∴𝐴𝑀=𝐹𝑀=𝐵𝑁=∴𝐴𝐹=∴𝐵𝐺=2𝐴𝐹=∴𝑁𝐺=𝐵𝑁=∴𝐵𝐹=由对称性知，𝐵𝐹=∴𝐷𝐹=∴𝐸𝐹+𝐹𝐺=𝐸𝐹+𝐷𝐹≥∴𝐴𝐸=∵𝐴𝐷=4，∠𝐸𝐴𝐷=由勾股定理得：𝐸𝐷= 𝐴𝐸2+𝐴𝐷2= 22+42=25，即𝐸𝐹+𝐹𝐺的最小值为25．且∠𝑃𝑂𝑄=30°，𝑂𝑃=3，𝑂𝑄=5，点𝐴𝐵分别是𝑂𝑀，𝑂𝑁上的动点则𝑃𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑄的最小值 【答案】【答案】2【分析】作点𝑃关于𝑀的对称点𝑃′，作点𝑄关于𝑁的对称点𝑄′，连接𝑂𝑃′、𝐴𝑃′、𝑂𝑄′、𝐵𝑄′、𝑃′𝑄′，由轴对称的性质可得，𝑃=𝑂𝑃′=3，𝑄=𝑂𝑄′=5，𝐴=𝑃′𝐴，𝑄=𝐵𝑄′，𝑂𝐴=∠𝑃′𝐴，∠𝑄𝑂𝐵∠𝑄𝑂𝐵=∠𝑄′𝑂𝐵，则𝑃𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑄=𝑃′𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑄′≥𝑃′𝑄′，当𝑃′、𝐴、𝐵、𝑄′四点共线时，𝑃𝐴+𝐴𝐵+取得最小值𝑃′𝑄′．容易计算得∠𝑃′𝑂𝑄′=90°，使用勾股定理计算出𝑃′𝑄′【详解】解：如图，作点𝑃关于𝑂𝑀的对称点𝑃′，作点𝑄关于𝑂𝑁的对称点𝑄′，连接𝑂𝑃′、𝐴𝑃′、𝑂𝑄′、𝐵𝑄′由轴对称的性质可得，𝑂𝑃𝑂𝑃′=3，𝑂𝑄𝑂𝑄′=5，𝑃𝐴𝑃′𝐴，𝐵𝑄𝐵𝑄′，∠𝑃𝑂𝐴∠𝑄𝑂𝐵=∵∠𝑀𝑂𝑁=60°，∠𝑃𝑂𝑄=∴∠𝑃𝑂𝐴+∠𝑄𝑂𝐵=∠𝑀𝑂𝑁−∠𝑃𝑂𝑄=∴∠𝑃′𝑂𝐴+∠𝑄′𝑂𝐵=∴∠𝑃′𝑂𝑄′=∠𝑃′𝑂𝐴+∠𝑄′𝑂𝐵+∠𝑀𝑂𝑁=在Rt△𝑂𝑃′𝑄′中，𝑃′𝑄′ 𝑂𝑃′2+𝑂𝑄′2 (3)2∵𝑃𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑄=𝑃′𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑄′≥ =2∴当𝑃′、𝐴、𝐵、𝑄′四点共线时，𝑃𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑄取得最小值2命题点02===

的最小值 𝐷𝐸+ 【答案】【答案】C为顶点，𝐶𝐴为边，在𝐶𝐴的右侧作∠𝐴𝐶𝐹=30°E作𝐸𝐹𝐶𝐹F，连接𝐷𝐹，根据含30°∵∠𝐵𝐴𝐶∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，∠𝐵=30°，𝐵𝐶=即𝐷𝐸∴𝐴𝐶=𝐷𝐹=∴∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐴𝐶𝐹=∴∠𝐶𝐷𝐹=30°=又𝐶𝐷=𝐷𝐶，∠𝐴=∠𝐷𝐹𝐶=∴△𝐶𝐴𝐷≌△∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐵= ∴𝐴𝐶𝐵=60°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=∴D、E、F三点共线时，𝐷𝐸𝐶𝐸最小，最小值为∴𝐷𝐸+𝐶𝐸=𝐷𝐸+𝐸𝐹≥则𝐸𝐹==时，𝐷𝐸+1𝐶𝐸最小，最小值为𝐷𝐹，证明△𝐶𝐴𝐷≌△𝐷𝐹𝐶(AAS)，得出𝐴𝐶=𝐷𝐹=9直角三角形的性质得出𝐸𝐹=1𝐶𝐸，𝐴𝐶=1𝐵𝐶=9，则𝐷𝐸1𝐶𝐸=𝐷𝐸𝐸𝐹≥𝐷𝐹D、E、F作𝐷𝐻⊥𝐸𝐹于H，𝐴𝐷=3，𝐷𝐶=4，则2𝐷𝐻+𝐷𝑀的最小值为 【答案】+的最小值转化为求𝐷𝑁𝐴𝑁【详解】连接∵沿𝐸𝐹翻折矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴对应𝑀，𝐷落在𝐶𝐵上的𝑁𝐸𝐹为线段𝐷𝑁∵𝐷𝐻⊥又∵𝐸𝐹∴𝐷𝐻∥𝐷𝐻与𝐷𝑁都过点∴点𝐷，𝐻，𝑁𝐻为𝐷𝑁∴𝐷𝑁=∵点𝐷与点𝑁关于𝐸𝐹对称，点𝐴与点𝑀关于𝐸𝐹∴𝐷𝑀=∴2𝐷𝐻+𝐷𝑀=𝐷𝑁+作点A关于直线𝐵𝐶的对称点𝐴′，连接𝑁在𝐵𝐶∴𝐴𝑁=∴𝐷𝑁+𝐴𝑁=𝐷𝑁+𝐴′𝑁≥∵四边形为矩形∴∠𝐷𝐴𝐵=90°，𝐴𝐷=3，𝐴𝐵=∵点𝐴′A关于直线𝐵𝐶∴𝐴𝐴′=2𝐴𝐵=8，∠𝐴′𝐴𝐷=∴𝐷𝐴′ 𝐴𝐷2+𝐴𝐴′2 32+82=∴∴2𝐷𝐻+𝐷𝑀≥此时N为直线𝐷𝐴′与𝐶𝐵的交点，在𝐶𝐵∴2𝐷𝐻+𝐷𝑀的最小值为⊙点𝑂(0,0)，半径𝑟=2，点P是圆O上的一个动点，求3𝑃𝐵+𝑃𝐴的最小值 ∴∴𝑃𝐵+𝑃𝐴=𝑃𝐶+∵∠𝑃𝑂𝐶=∴△𝑃𝑂𝐶∽△∴𝑃𝐵=3，即𝑃𝐶= +∵𝐴(0,4),𝐶(2∴𝐴𝐶 (0−)+(4−0)2=2 ∴𝑂𝐵=6=三点共线时，𝑃𝐶𝑃𝐴取得最小值，即线段𝐴𝐶【详解】解：已知半径𝑟=2，𝑂𝐵===【答案】2故故3𝑃𝐵+𝑃𝐴的最小值 2【变式 的最小值 𝐵𝐺+2𝐶𝐺 G（1）借助正方形性质得𝐸𝐷𝐹为直角三角形，利用直角三角形斜边中线定理求出𝐷𝐺=𝐵𝐺𝐶𝐺的最小值为【详解】（1）四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝐸𝐹=∴∠𝐸𝐷𝐹=点𝐺为线段𝐸𝐹∴𝐷𝐺=𝐸𝐹=×4= 𝐷𝐼=1，连接𝐵𝐼交⊙𝐷于𝐵𝐺𝐶𝐺的最小值为∵𝐵𝐶=4，𝐼𝐶=𝐷𝐶−𝐷𝐼=4−1=∴𝐵𝐼 𝐼𝐶2+𝐵𝐶2 32+42=可知当𝐺运动到𝐺′的位置，即𝐵、𝐺、𝐼位于同一条直线上时，𝐵𝐺+1𝐶𝐺取得最小值，最小值为∴𝐵𝐺+𝐶𝐺=𝐵𝐺+∴𝐶𝐺=2，即𝐺𝐼=∵∠𝐼𝐷𝐺=∴△𝐼𝐷𝐺∽△ 𝐷𝐺=𝐷𝐶=∵𝐷𝐺=2，𝐷𝐼=1，𝐷𝐶=04】（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷=5，𝐴𝐵=8MDC5NBA3

的最小值 𝐷𝑁+ 【答案】8【答案】8到使𝐵𝐸=3，连接𝑁𝐸,𝐷𝐸，以𝐵𝑁为一边构造相似比为5的相似三角形，得到5𝐴𝑀【详解】解：延长𝐶𝐵E，使𝐵𝐸=3，连接∵𝐴𝐷=∴𝐵𝐸= MNt由题意，得𝐷𝑀=5𝑡,𝐵𝑁=∴𝐵𝑁=3𝑡= ∴𝐵𝐸=

∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=∠𝐴𝐷𝑀=∴∠𝐸𝐵𝑁=∠𝐴𝐷𝑀=∴△𝐸𝐵𝑁∽△∴𝐸𝑁=𝐵𝐸= ∴𝐸𝑁

∴𝐷𝑁

3𝐴𝑀=𝐷𝑁+𝐸𝑁≥而𝐷𝐸 𝐸𝐶2+𝐷𝐶2 (3+5)2+82=8∴𝐷𝑁

3𝐴𝑀≥8故答案为：8命题点03=△的方向平移，得到△𝐸𝐹𝐺，连接𝐶𝐸，𝐸𝐷，𝐹𝐶，则△𝐶𝐸𝐹周长的最小值 【答案】23+2/2+2【分析】根据菱形的性质得到𝐴𝐵=2,∠𝐴𝐵𝐷=30°，根据平移的性质得到𝐸𝐹=𝐴𝐵=2,𝐸𝐹∥𝐴𝐵𝐸𝐹𝐶𝐷是平行四边形，得到𝐸𝐷=𝐹𝐶，于是得到𝐸𝐶𝐹𝐶=𝐸𝐶𝐸𝑀的最小值，根据平移的性质得𝑀𝐷𝐶𝐵𝐶𝐷(SAS)得到𝐶𝑀=𝐵𝐷=23∵2的菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷=2,∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐵=30°，∠𝐵𝐶𝐷=∵将𝐴𝐵𝐷沿射线𝐵𝐷∴𝐸𝐹=𝐴𝐵=2,𝐸𝐹∥𝐴𝐵，点𝐸在过点𝐴且平行于𝐵𝐷∴𝐴𝐵=∴𝐸𝐹=∴𝐸𝐷=𝐶𝐸𝐶𝐹=𝐸𝐶𝐸𝐷∴作点𝐷关于定直线的对称点𝑀，连接𝐶𝑀交定直线于𝐸，则𝐶𝑀的长度即为𝐸𝐶𝐷𝐸=𝐸𝐶𝑀𝐸根据轴对称的性质可得：𝐷𝑀∵∵∴𝐷𝑀⊥𝐵𝐷，∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝐵=∴∠𝐴𝐷𝑀=60°,𝐷𝐻=𝑀𝐻=𝐴𝐷=∴𝐷𝑀=∵∠𝐶𝐷𝑀=∠𝑀𝐷𝐹+∠𝐶𝐷𝐵=90°+30°=∴∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐵𝐶𝐷，在𝑀𝐷𝐶和𝐵𝐶𝐷中𝐷𝑀=∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐵𝐶𝐷𝐶𝐷=∴△𝑀𝐷𝐶≌△∴𝐶𝑀=∵∠𝐵𝑂𝐶=90°,∠𝐶𝐵𝐷=30°,𝐵𝐶=∴𝐶𝑂=𝐵𝐶=∴𝐵𝑂 𝐵𝐶2−𝐶𝑂2=∴𝐶𝑀=𝐵𝐷=2则𝐶𝐸𝐹周长的最小值为𝐸𝐹+𝐶𝐹+𝐶𝐸=𝐸𝐹+𝐶𝑀=𝐸𝐹+𝐵𝐷=2301】（2025·安徽亳州·三模）如图，Rt△𝐴𝐵𝐶

𝐴𝐵=𝐴𝐶=8,𝐵𝑂=

M为𝐵𝐶 周长的最小值 8+410/410对于（2），作𝑂𝐻𝐵𝐶，𝑁𝐽𝑂𝐻，再根据“角角边”△𝑂𝐻𝑀𝑁𝐽𝑂，可得𝐽𝑁=𝑂𝐻=2△𝐴𝐶𝑁′的周长最小，再作𝐴𝐺⊥𝐵𝐶，最后根据勾股定理求出答案【详解】解：（1）N点在𝐴𝐵上时，𝑂𝑀∴△𝐵𝑂𝑀∽△∴𝐵𝑂=

∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=8,𝐵𝑂

∴𝑂𝑀=𝐵𝑂

1×8=∵将线段𝑂𝑀O按逆时针方向旋转90°至∴𝑂𝑀=∴𝐴𝑁=𝐴𝐵−𝐵𝑂−𝑂𝑁=8−2−2=（2）如图，作𝑂𝐻𝐵𝐶H，𝑁𝐽𝑂𝐻∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=∴∠𝐴𝐵𝐶=∵𝑂𝐻𝐵𝐶∴𝑂𝐻=∵𝑂𝐵=4𝐴𝐵，𝐴𝐵=∴𝑂𝐵=∴𝑂𝐻=𝐵𝐻=∵𝑂𝑀∵𝑂𝑀=𝑂𝑁，∠𝑂𝐻𝑀=∠𝑁𝐽𝑂=90°，∠𝑁𝑂𝐽=∴△𝑂𝐻𝑀≌△∴𝐽𝑁=𝑂𝐻=∴N的运动轨迹是直线（该直线与直线𝑂𝐻平行，在𝑂𝐻的右侧，与𝑂𝐻的距离是C关于该直线的对称点𝐶′，连接𝐴𝐶′交该直线于𝑁′，连接𝐶𝑁′，此时△𝐴𝐶𝑁′的周长最小，作𝐴𝐺⊥在Rt△𝐴𝐺𝐶′中，𝐴𝐶′ (42)2+(82)2=4𝐴𝐶𝑁的周长的最小值为8+410．故答案为：8+410．【变式02】（2025·山东潍坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形𝑂𝐴𝐶𝐵的顶点O是坐标原点，顶点𝑂𝐴4D的周长最小时，则点E的坐标 【答案】【答案】C、D是定点，则𝐶𝐷△𝐶𝐷𝐸的周长最小，即𝐷𝐸𝐶𝐸x轴的对称点𝐷′E在线段𝐶𝐷′上时△𝐶𝐷𝐸考查轴对称-E的位置是解题的关Dx轴的对称点𝐷′连接𝐶𝐷′xE，连接若在边𝑂𝐴上任取点𝐸′E不重合，连接𝐶𝐸′、𝐷𝐸′、由由𝐷𝐸′+𝐶𝐸′=𝐷′𝐸′+𝐶𝐸′>𝐶𝐷′=𝐷′𝐸+𝐶𝐸=𝐷𝐸+𝐶𝐸，可知△∵在矩形𝑂𝐴𝐶𝐵中，𝑂𝐴=3，𝑂𝐵=4，D为边𝑂𝐵∴𝐵𝐶=3,𝐷′𝑂=𝐷𝑂=2,𝐷′𝐵=∵𝑂𝐸∥∴Rt△𝐷′𝑂𝐸∽Rt△则𝐵𝐶=3=∴𝑂𝐸=命题点0404】（2026·湖南邵阳·二模）如图，在等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90°，𝐵𝐶=42，点𝐷为边的中点，点𝐸，𝐹分别为边𝐴𝐵,𝐴𝐶上的动点，且𝐷𝐸⊥𝐷𝐹，则△𝐴𝐸𝐹的面积的最大值 【答案】【答案】【分析】连接𝐴𝐷𝐴𝐷𝐸𝐶𝐷𝐹，当𝐷𝐸𝐴𝐵时，求得𝑆△𝐷𝐸𝐹𝐴𝐸𝐹的面【详解】解：如图，连接𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，∠𝐴=90°，点𝐷为边𝐵𝐶∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶=∵𝐷𝐸∵𝐷𝐸⊥∴∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐸𝐷𝐹−∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐴𝐷𝐹，即：∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐹，在△𝐴𝐷𝐸与△𝐶𝐷𝐹中，∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐹,𝐴𝐷=𝐶𝐷,∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐹，∴△𝐴𝐷𝐸≌△∴𝐷𝐸=即：𝑆四边形𝐴𝐸𝐷𝐹=𝑆△𝐴𝐷𝐸+𝑆△𝐴𝐷𝐹=𝑆△𝐶𝐷𝐹+𝑆△𝐴𝐷𝐹=𝑆△𝐴𝐷𝐶=∵𝑆△𝐷𝐸𝐹=2𝐷𝐸 ∴当𝐷𝐸𝐴𝐵时，𝑆△𝐷𝐸𝐹=1×22=故：𝑆△𝐴𝐸𝐹=4−2=01】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=6，𝐴𝐷=°．动点𝑀、𝑁分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐷上，且𝐴𝑀𝐴𝑁，以𝑀𝑁𝑀𝑁𝑃，使点𝑃始终在▱𝐴𝐵𝐶𝐷的内部（1）∠𝐴𝑀𝑃= （2）当△𝑀𝑁𝑃的面积最大时，𝐷𝑁的长 【分析】（1）在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，得出∠𝐵𝐴𝐷=120°𝑀𝑁𝑃是等边三角形，得出𝑀𝑃=𝑁𝑃=∠𝑀𝑃𝑁=60°，连接𝐴𝑃𝐴𝑀𝑃𝐴𝑁𝑃，得出∠1=∠2=60°，∠3=∠4=30°，则∠𝐴𝑀𝑃=（2）作∠𝐵𝐴𝐷的平分线交𝐵𝐶于点𝐸𝐴𝐵𝐸是等边三角形，得出𝐴𝐵𝐴𝐸=𝐵𝐸，根据∠𝐵𝐴𝐸=∠1出直线𝐴𝑃和直线𝐴𝐸重合，确定点𝑃在𝐴𝐸上运动，根据𝑆△𝑀𝑁𝑃=3𝑀𝑃2，得出𝑀𝑃△𝑀𝑁𝑃大，当点𝑃与点𝐸𝑀𝑁𝑃的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得𝐵𝑀=𝐴𝑀=3𝐴𝑁=𝐴𝑀=3，得出𝐷𝑁=8−3=【详解】解：∵在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=6，𝐴𝐷=8，∠𝐵=∴∠𝐵𝐴𝐷=180°−60°=𝑀𝑁𝑃∴𝑀𝑃=𝑁𝑃=𝑀𝑁，∠𝑀𝑃𝑁=连接∵𝐴𝑀=𝐴𝑁，𝑀𝑃=𝑁𝑃，𝐴𝑃=∴△𝐴𝑀𝑃≌△∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4=∴∠𝐴𝑀𝑃=180°−∠1−∠3=∵∠𝐵=∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐵𝐸∵∠𝐵𝐴𝐸=P在𝐴𝐸∵𝑆△𝑀𝑁𝑃=2𝑀𝑃·𝑀𝑃sin60°

则𝑀𝑃𝑀𝑁𝑃PE重合时，𝑀𝑃△𝑀𝑁𝑃则𝐵𝑀=𝐴𝑀=∴𝐴𝑁=𝐴𝑀=∴𝐷𝑁=8−3=02】（2026·江苏宿迁·一模）如图，在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵90°，其中∠𝐴45°，𝐴𝐶=8是𝐴𝐶边上的动点，连接𝐵𝑀，以𝐵𝑀𝐵𝑀𝑁，连接𝐶𝑁𝐶𝑀𝑁 2,∠𝐵𝐶𝑁2,∠𝐵𝐶𝑁=∠𝐵𝐴𝐶=∴𝐴𝑀=2𝐶𝑁,∠𝐴𝐶𝑁=∴∠𝑁𝐶𝐻=∴𝑁𝐻=2𝐶𝑁=∴△𝐶𝑀𝑁=1×𝐶𝑀⋅𝑁𝐻=1×𝐶𝑀⋅1(8−𝐶𝑀)=−1(𝐶𝑀−4)2∴当𝐶𝑀=4△𝐶𝑀𝑁面积的最大值为∴𝐴𝑀∴△𝐴𝐵𝑀∽△ 又∵𝐴𝐵=𝐵𝑀=在𝑅𝑡𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°,∠𝐴=𝐴𝐵𝐶∴𝐴𝐵=2𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝐶=𝐵𝑀𝑁∴𝐵𝑀=2𝐵𝑁,∠𝑀𝐵𝑁=45°=∴∠𝐴𝐵𝑀=【详解】解：过点𝑁作𝑁𝐻直线𝐴𝐶于2,∠𝐵𝐶𝑁=∠𝐵𝐴𝐶=45°，可求𝑁𝐻【分析】通过证明△𝐴𝐵𝑀∽△𝐶𝐵𝑁，可得𝐶𝑁【答案】03】（2024·河南信阳·一模）如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，且𝐴𝐶=6𝐴𝐵𝐸𝐹∥𝐵𝐷 【答案】【分析】设𝐸𝐹与𝐴𝑂的交点为𝐺，𝐴𝐸=𝑥，根据菱形的性质可

𝐵𝑂=2𝐵𝐷= 𝐴𝑂=2𝐴𝐶=𝐴𝐶𝐵𝐷．由𝐸𝐹∥𝐵𝐷𝐴𝐸𝐹𝐴𝐵𝐷，且𝐸𝐹𝐴𝐶，利用相似的性质计算得𝐸𝐹=

6𝑥，𝐴𝐺

4𝑥𝐺𝑂=4−𝑥

𝑆△𝑂𝐸𝐹=

𝑥−

【详解】解：如图，设𝐸𝐹与𝐴𝑂的交点为𝐺，𝐴𝐸=∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，且𝐴𝐶=8，𝐵𝐷=∴𝐵𝑂

1𝐵𝐷=3，𝐴𝑂

1𝐴𝐶=4，且𝐴𝐶⊥由勾股定理可得𝐴𝐵 𝐵𝑂2+𝐴𝑂2 32+42=∵𝐸𝐹∥∴△𝐴𝐸𝐹∽△𝐴𝐵𝐷，𝐸𝐹⊥∴𝐴𝐸=𝐸𝐹=𝐴𝐺，即𝑥=𝐸𝐹=

4解得 6 4𝐸𝐹= 𝐴𝐺=∴𝐺𝑂=𝐴𝑂−𝐴𝐺=4−𝑆△𝑂𝐸𝐹=2𝐸𝐹⋅1 =2⋅5𝑥⋅4−5𝑥=−

=

𝑥−

<∴当𝑥=2时，𝑆取得最大值3，即△𝑂𝐸𝐹的最大面积是04】（2025·四川乐山·二模）O是等腰Rt△𝐴𝐵𝐶的斜边𝐴𝐵的中点，𝐴𝐶=𝐵𝐶=5𝑂𝐸=2，连接𝐵𝐸，以𝐵𝐸为直角边，作等腰Rt△𝐵𝐸𝐹，其中∠𝐵𝐸𝐹=90°，连接𝐴𝐹，求四边形𝐴𝐶𝐵𝐹面积的 【答案】【答案】50+10△𝐴𝐵𝐹∽△𝐶𝐵𝐸，可得𝑆△𝐴𝐵𝐹=2𝑆△𝐶𝐵𝐸△𝐶𝐵𝐸△𝐴𝐵𝐹即四边形𝐴𝐶𝐵𝐹面积有最大值，当点𝐸，点𝑂，点𝐻𝐵𝐶𝐸【详解】解：如图，连接𝐶𝐸，过点𝑂作𝑂𝐻𝐵𝐶于∵𝐴𝐶=𝐵𝐶=52，𝐵𝐸=𝐸𝐹，∠𝐴𝐶𝐵=∴𝐴𝐵=2𝐵𝐶=10，𝐵𝐹2𝐵𝐸，𝑆△𝐴𝐵𝐶=1𝐴𝐶⋅𝐵𝐶=1×52×52=25，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸𝐵𝐹= 𝐵𝐶=𝐵𝐸2，∠𝐴𝐵𝐹=∴△𝐴𝐵𝐹∽△ 2∴𝑆△𝐴𝐵𝐹=当𝐶𝐵𝐸𝐴𝐵𝐹的面积有最大值，即四边形𝐴𝐶𝐵𝐹点𝑂是𝐴𝐵故答案为：故答案为：102=52+2∴△𝐴𝐵𝐹的面积最大值为2𝑆△𝐵𝐶𝐸=102∴四边形𝐴𝐶𝐵𝐹面积的最大值𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝐴𝐵𝐹=1022+5𝐵𝐶𝐸=1×525∵𝑂𝐸=∴𝑂𝐻=𝐴𝐶=2 ∴𝐵𝐻=𝑂𝐵=∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝑂𝐻𝐵=∴△𝐵𝑂𝐻∽△∴𝑂𝐵=命题点05【典例05】（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=4,𝐴𝐷=6，点M，N分别在边𝐶𝐷,𝐵𝐶上，且𝐵𝑁=2𝐷𝑀．连接𝐴𝑀，过点N作𝑁𝑃⊥𝐴𝑀，垂足为P，连接𝐷𝑃，则𝐷𝑃的长的最小值为 ．【答案】【答案】明△𝑁𝐵𝐻∽△𝑀𝐷𝐴，得到∠𝐵𝑁𝐻=∠𝐴𝑀𝐷，再导角证明∠𝐵𝑁𝐻+∠𝑃𝑁𝐵=180°P、N、H三点共线；取𝐴𝐻O，连接𝑂𝑃,𝑂𝐷P在线段𝑂𝐷上时，𝐷𝑃有最小值，最小值为𝑂𝐷−𝑂𝑃的值，【详解】解：如图所示，延长𝐴𝐵H，使得𝐵𝐻=2𝐴𝐷=12，连接∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=∴∠𝑁𝐵𝐻=180°−∠𝐴𝐵𝐶=90°=∵𝐵𝑁=2𝐷𝑀,𝐵𝐻=2𝐴𝐷=∴𝐵𝑁=

∴△𝑁𝐵𝐻∽△∴∠𝐵𝑁𝐻=∵𝑁𝑃⊥∴∠𝑁𝑃𝑀=∴∠𝑃𝑀𝐶+∠𝑃𝑁𝐶=360°−∠𝐶−∠𝑁𝑃𝑀=∵∠𝐴𝑀𝐷+∠𝑃𝑀𝐶=∠𝑃𝑁𝐶+∠𝑃𝑁𝐵=∴∠𝐴𝑀𝐷+∠𝑃𝑁𝐵=∴∠𝐵𝑁𝐻+∠𝑃𝑁𝐵=∴P、N、H∵𝐴𝐻=𝐴𝐵+𝐵𝐻=∴𝑂𝐴=𝑂𝑃

1𝐴𝐻=∵𝐷𝑃≥∴P在线段𝑂𝐷上时，𝐷𝑃有最小值，最小值为𝑂𝐷−𝑂𝑃在Rt△𝐴𝐷𝑂中，𝑂𝐷 𝐴𝐷2+𝑂𝐴2=∴𝐷𝑃=10−8=2，01】（2026·江苏连云港·一模）𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=5，以𝐴𝐶为斜边作Rt𝐴𝐶𝑃有cos∠𝐶𝐴𝑃=5，连接𝐵𝑃，并延长𝐵𝑃至点𝑄，使得𝑃𝑄=𝐵𝑃，连接𝐴𝑄，则𝐴𝑄的最大值 ∵𝐵𝐶∵𝐵𝐶=∴𝑃𝐸= ∴𝑃𝐸=𝐴𝐸=∵∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐸=∴∠𝑃𝐴𝐸=∴△𝑃𝐴𝐸∽△∴𝐴𝑃=∴cos∠𝐵𝐴𝐸=cos∠𝐶𝐴𝑃=平分𝐵𝐹，得到𝐴𝐹=𝐴𝐵=8；根据𝐴𝑄≤𝐴𝐹𝑄𝐹A、F、Q三点共线时，𝐴𝑄8+8=【详解】解：如图所示，以𝐴𝐵为斜边作Rt𝐴𝐵𝐸，且使得∠𝐵𝐴𝐸∠𝐶𝐴𝑃，延长𝐵𝐸F，使得𝐸𝐹𝐵𝐸，连，则𝑃𝐸=4；由三角形中位线定理可得𝑄𝐹=2𝑃𝐸=8；证明𝐴𝐸 证明𝑃𝐴𝐸𝐶𝐴𝐵【答案】【分析】以𝐴𝐵为斜边作Rt𝐴𝐵𝐸，且使得∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝑃，延长𝐵𝐸F，使得𝐸𝐹=𝐵𝐸，连接𝑃𝐸，𝑄𝐹∵𝐸𝐹∵𝐸𝐹=𝐵𝐸，𝑃𝑄=∴𝑃𝐸为𝐵𝑄𝐹∴𝑄𝐹=2𝑃𝐸=∵𝐸𝐹=𝐵𝐸，∠𝐴𝐸𝐵=90°，即𝐴𝐸⊥∴𝐴𝐹=𝐴𝐵=∵𝐴𝑄≤𝐴𝐹+∴A、F、Q三点共线时，𝐴𝑄有最大值，最大值为8+8=【答案】Al的对称点𝐴′，连接𝐴′𝑃，𝐴′𝐵，𝐴𝐴′，过𝐴′作𝐴′𝐸⊥𝐵𝐷E，根据轴对称的性质可得出𝐴𝐴′C，𝐴𝐶=𝐴′𝐶=4，𝐴𝑃=𝐴′𝑃，证明四边形𝐴′𝐶𝐷𝐸是矩形，得出𝐴′𝐸=5，𝐷𝐸=4，在Rt△𝐴′𝐵𝐸【答案】Al的对称点𝐴′，连接𝐴′𝑃，𝐴′𝐵，𝐴𝐴′，过𝐴′作𝐴′𝐸⊥𝐵𝐷E，根据轴对称的性质可得出𝐴𝐴′C，𝐴𝐶=𝐴′𝐶=4，𝐴𝑃=𝐴′𝑃，证明四边形𝐴′𝐶𝐷𝐸是矩形，得出𝐴′𝐸=5，𝐷𝐸=4，在Rt△𝐴′𝐵𝐸中，根据勾股定理求出𝐴′𝐵，根据𝑃𝐴+𝑃𝐵=𝐴′𝑃+𝑃𝐵≥𝐴′𝐵，则当𝐴′、P、B三点共线时，𝑃𝐴+𝑃𝐵取最小值，最【详解】解：由题意，得𝐴𝐶=4，𝐵𝐷=2，𝐴𝐶𝑙，𝐵𝐷𝑙，𝐶𝐷=Al的对称点𝐴′，连接𝐴′𝑃，𝐴′𝐵，𝐴𝐴′，过𝐴′作𝐴′𝐸⊥𝐵𝐷则𝐴𝐴′C，𝐴𝐶=𝐴′𝐶=4，四边形𝐴′𝐶𝐷𝐸是矩形，𝐴𝑃=∴𝐴′𝐸=𝐶𝐷=5，𝐴′𝐶=𝐷𝐸=∴𝐵𝐸=∴𝐴′𝐵 𝐴′𝐸2+𝐵𝐸2=∵𝐴𝑃=∴𝑃𝐴∴𝑃𝐴+𝑃𝐵=𝐴′𝑃+𝑃𝐵≥∴当𝐴′、P、B三点共线时，𝑃𝐴+𝑃𝐵取最小值，最小值为𝐴′𝐵=61，即𝑃𝐴+𝑃𝐵的最小值为61．命题点06【答案】2【分析】作𝑃𝐸𝐵𝐶于点𝐸，设𝐴𝑃=𝐷𝑄=2𝑥30度角的直角三角形的性质，求出𝑃𝐸=1𝑃𝐶=2−𝑥，𝐶𝐸=3𝑃𝐸=6−3𝑥，进而求出点𝐸与点𝑄重合时，𝑃𝐸的长，当点𝑄在点𝐸【答案】2【分析】作𝑃𝐸𝐵𝐶于点𝐸，设𝐴𝑃=𝐷𝑄=2𝑥30度角的直角三角形的性质，求出𝑃𝐸=1𝑃𝐶=2−𝑥，𝐶𝐸=3𝑃𝐸=6−3𝑥，进而求出点𝐸与点𝑄重合时，𝑃𝐸的长，当点𝑄在点𝐸𝐸𝑄=𝐶𝐷+𝐷𝑄−𝐶𝐸=4+2𝑥−6+3𝑥=(2+3)𝑥−2，勾股定理得到𝑃𝑄2=𝑃𝐸2+𝐸𝑄2=(23−𝑥)(2+3)𝑥−2，利用二次函数求最值，当点𝑄在点𝐸右侧得到𝑃𝐸的长比𝐸,𝑄重合时要大，且𝑃𝑄>𝑃𝐸𝑃𝑄>43−4【详解】解：作𝑃𝐸𝐵𝐶于点𝐸，设𝐴𝑃=𝐷𝑄=∵∠𝐴=90°，∠𝐶=30°，𝐴𝐵=∴𝐵𝐶=2𝐴𝐵=8,𝐴𝐶=3𝐴𝐵=4∴𝐶𝑃=𝐴𝐶−𝐴𝑃=4∵D是𝐵𝐶∴𝐶𝐷=𝐵𝐶=∵𝑃𝐸⊥𝐵𝐶，∠𝐶=∴𝑃𝐸=𝑃𝐶=23−𝑥，𝐶𝐸=3𝑃𝐸=6−当点𝐸与点𝑄重合时，则：𝐶𝐸=𝐶𝐷+𝐷𝐸=4+2𝑥=6−解得𝑥=4−2∴𝑃𝑄=𝑃𝐸=23−4+23=4当点𝑄在点𝐸则：𝐸𝑄=𝐶𝐷+𝐷𝑄−𝐶𝐸=4+2𝑥−63𝑥=(2+∴𝑃𝑄2=𝑃𝐸2+𝐸𝑄2=(23−𝑥)2+(2+3)𝑥−2=(8+43)𝑥2−(83+8)𝑥+𝑥= −(83+8)𝑥=2×(8+4𝑃𝑄2=(8+43)(3−1)2−(83+8)(3−1)+16=∴𝑃𝑄的最小值为8=22；此时𝑃𝐸的长比𝐸,𝑄重合时要大，且𝑃𝑄>∴𝑃𝑄>4∵43−4>2∴𝑃𝑄的最小值为2【变式01】（2026·江苏徐州·一模）如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=25，点O是边𝐵𝐶的中点，若点E是 【答案】【答案】【分析】根据旋转的性质和正方形的性质证明𝐴𝐷𝐸𝐶𝐷𝐹∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐷𝐴𝐸，确定点𝐹的运【详解】解：连接由旋转的性质可知𝐷𝐸=𝐷𝐹，∠𝐸𝐷𝐹=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝐴𝐷=𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵=∴∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐶𝐷𝐹+∠𝐸𝐷𝐶=∴∠𝐴𝐷𝐸=在𝐴𝐷𝐸𝐶𝐷𝐹𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝐸=𝐷𝐸=∴△𝐴𝐷𝐸≌△∴∠𝐷𝐴𝐸=当𝑂𝐹𝐶𝐹时，𝑂𝐹∴在Rt△𝑂𝐹𝐶中，𝑂𝐹=𝑂𝐶sin∠𝑂𝐶𝐹=𝑂𝐶sin∠𝐵𝐴𝑂=5×5= ∴sin∠𝐵𝐴𝑂=𝐴𝑂=由勾股定理得，𝐴𝑂 𝐴𝐵2+𝐵𝑂2 (25)+(5)= ∴𝐵𝑂=2𝐵𝐶=2𝐴𝐵=5=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐵𝐴𝐷=90°,𝐴𝐵=𝐵𝐶=2∵∠𝑂𝐶𝐹=∠𝐷𝐶𝐹−90°，∠𝐵𝐴𝑂=90°−∠𝐷𝐴𝑂=90°−(180°−∠𝐷𝐴𝐸)=∴∠𝑂𝐶𝐹=在Rt𝐴𝐵𝑂中，𝐴𝐵=25，𝑂是𝐵𝐶02】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，点𝐷是Rt𝐴𝐵𝐶的斜边𝐴𝐶上一点，且∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴=30°,𝐵𝐶=42，以𝐵𝐷为斜边作等腰Rt△𝐵𝐷𝐸，使𝐸,𝐶在𝐵𝐷同侧，连接𝐶𝐸，则𝐶𝐸的最小值 【答案】【答案】【分析】如图，过点𝐶作𝐶𝐻⊥𝐵𝐶，使𝐶𝐻=𝐶𝐵，连接𝐵𝐻,𝐻𝐷，利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的【详解】解：如图，过点𝐶作𝐶𝐻𝐵𝐶，使𝐶𝐻=𝐶𝐵=42，连接则𝐻𝐶𝐵∴∠𝐻𝐵𝐶=𝐵𝐷𝐸∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐵𝐷𝐸=45°,𝐵𝐸=∴∠𝐷𝐵𝐸=∴∠𝐷𝐵𝐻=∵

=

=∴△𝐵𝐷𝐻∽△∴𝐶𝐸=∴当𝐻𝐷𝐴𝐶时，此时𝐷𝐻∵𝐶𝐻⊥𝐵𝐶,𝐴𝐵⊥∴∠𝐻𝐶𝐷=∠𝐴=∴𝐻𝐷

1𝐻𝐶=2∴𝐶𝐸=2𝐷𝐻=∴𝐶𝐸2如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=22.5°，∠𝐵𝐴𝐶=45°，𝐵𝐶=42，𝑃为∠𝐴𝐵𝐶角平分线上一动点，𝑄为𝐴𝐵边上一动点，𝑃𝑄+𝐴𝑃的最小值为 【答案】【答案】2【分析】过点𝑄作𝐵𝑃的对称点𝐺，连接𝑃𝐺、𝐴𝐺，则𝑃𝐺=𝑃𝑄，过点𝐴作𝐴𝐾𝐵𝐶，交𝐵𝐶延长线于点𝐾≥≥𝐴𝐾𝐴𝐾𝐴𝐶𝑅于点𝑇，证明𝐴𝐶𝑅是等腰直角三角形，得出𝐴𝐶=𝑅𝐶，证明△𝑅𝑇𝐶𝐶𝐾𝐴(AAS)，得出𝐴𝐾=𝐶𝑇外角性质得到𝑅𝐵=𝑅𝐶，由等腰三角形的性质得到𝑇𝐵=𝑇𝐶=𝐴𝐾=1𝐵𝐶【详解】解：如图，过点𝑄作𝐵𝑃的对称点𝐺，连接𝑃𝐺、𝐴𝐺，过点𝐴作𝐴𝐾𝐵𝐶，交𝐵𝐶延长线于点∴𝑃𝐺=∴𝑃𝑄+𝐴𝑃=𝑃𝐺+𝐴𝑃≥𝐴𝐺≥∴𝑃𝑄𝐴𝑃的最小值为𝐴𝐾，此时𝐺、𝐾重合，𝐴、𝑃、𝐺三点在同一条直线上，过点𝐶作𝐶𝑅⊥𝐴𝐶，交𝐴𝐵于𝑅，过点𝑅作𝑅𝑇⊥𝐵𝐶于点𝑇，∴∠𝑅𝐶𝑇+∠𝐴𝐶𝐾=∵∠𝐶𝐴𝐾+∠𝐴𝐶𝐾=∴∠𝑅𝐶𝑇=∵∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐶𝑅是等腰直角三角形，∠𝐶𝑅𝐴=∠𝐵𝐴𝐶=45°，𝐴𝐶=在𝑅𝑇𝐶和𝐶𝐾𝐴∠𝑅𝑇𝐶=∠𝐾=∠𝑅𝐶𝑇=𝑅𝐶=∴△𝑅𝑇𝐶≌△∴𝐴𝐾=∵∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝑅=∴𝐵𝑅=∴𝐵𝑇=𝐶𝑇=𝐴𝐾=𝐵𝐶=2∴𝑃𝑄𝐴𝑃的最小值为2𝐴𝐵𝐶中，∠𝐷𝐵𝐶=45°，𝐵𝐷=22，𝐵𝐶=3，直线𝐴𝐷∥𝐵𝐶A为𝐴𝐷𝐵𝐷𝐶积 ；𝐴𝐶的最小值 【答案 ⊥F，取𝐵𝐹G，连接𝐴𝐺，𝐶𝐺，可知∠𝐴𝐸𝐵∠𝐷𝐻𝐶=∠𝐵𝐶𝐹=90°，得到𝐴𝐸∥𝐷𝐻，根据等角对等边及勾股定理得到𝐷𝐻𝐵𝐻2，证明四边形𝐴𝐸𝐻𝐷𝐴𝐸𝐷𝐻=2𝐵𝐷𝐶证明𝐵𝐴𝐸

=，设𝐴𝐵=4𝑥，则𝐵𝐹=6𝑥，得到 的一半得到𝐵𝐺=𝐹𝐺=𝐶𝐺=1𝐵𝐹=3𝑥，根据勾股定理得到𝐴𝐺=5𝑥，根据三角形三边关系及“母越大分数越小”A作𝐴𝐸𝐵𝐶E，𝐷𝐻𝐵𝐶H，作𝐹𝐵𝐴𝐵B，𝐹𝐶𝐵𝐶C，𝐵𝐹可知∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐷𝐻𝐶=∠𝐵𝐶𝐹=∴𝐴𝐸∥∵∠𝐷𝐵𝐶=∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐵𝐷𝐻=∴𝐷𝐻=∵𝐵𝐷=2∴𝐷𝐻=𝐵𝐻=2𝐵𝐷=∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐸∥∴𝐴𝐸=𝐷𝐻= ∴△𝐵𝐷𝐶的面积为2×𝐵𝐶𝐷𝐻=2×3×2=∵∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐴𝐸𝐵=∴∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐵𝐴𝐸=∴∠𝐵𝐴𝐸=∵∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐵𝐶𝐹=∴△𝐵𝐴𝐸∽△ ∴𝐵𝐹=𝐵𝐶=设𝐴𝐵=4𝑥，则𝐵𝐹=∵∠𝐵𝐶𝐹=90°G为𝐵𝐹∴𝐵𝐺=𝐹𝐺=𝐶𝐺

1𝐵𝐹=∴𝐴𝐺 𝐴𝐵2+𝐵𝐺2=∵𝐴𝐶≤𝐴𝐺+

∴𝐴𝐶≥𝐴𝐺+𝐶𝐺=5𝑥+3𝑥=如图，点P和点Q分别是等边三角形𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵和𝐴𝐶上的动点，且𝐴𝑃=𝐶𝑄，若𝐵𝐶=2，则𝑃𝑄的最小 【答案】【分析】在𝐵𝐶D，使得𝐵𝐷=𝐴𝑃，连接𝑃𝐷，𝐷𝑄𝑃𝐵𝐷≌𝑄𝐶𝐷(SAS)𝑃𝐵𝐷≌(SAS)，从而得出𝑃𝑄=𝐷𝑄=𝑃𝐷P作𝑃𝐻𝐵𝐶交𝐵𝐶H，设𝑃𝐵=𝐶𝐷=𝐴𝑃=𝐶𝑄=𝐵𝐷=2−𝑥30度直角三角形求得𝑃𝐷2的表达式，结合二次函数的最值问题【详解】解：𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐵𝐶=∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶=2，∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=如图，在𝐵𝐶D，使得𝐵𝐷=𝐴𝑃，连接∵𝐴𝑃=∴𝐵𝐷=∵𝐵𝐶=2，𝐵𝐷=∴𝐶𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷=又∵𝐴𝐵=2，𝐴𝑃在𝐴𝐵∴𝑃𝐵=𝐴𝐵−𝐴𝑃=∴𝑃𝐵=在𝑃𝐵𝐷𝑄𝐶𝐷𝑃𝐵=∠𝐵=∠𝐶=60°𝐵𝐷=∴△𝑃𝐵𝐷≌△∴𝑃𝐷=2𝑃𝐻2+𝐻𝐷2 2− 3𝑥2−6𝑥+=𝑃𝐵𝐷≌∴𝑃𝐷=∴𝑃𝑄=𝐷𝑄=𝑃𝐷𝑃𝑄𝐷是等边三角形，P作𝑃𝐻⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶H，设𝑃𝐵=𝐶𝐷=𝑥，则𝐴𝑃=𝐶𝑄=𝐵𝐷=∵∠𝐵=∴𝐵𝐻=𝑃𝐵= 在Rt△𝑃𝐻𝐵中，𝑃𝐻 𝑃𝐵2−𝐵𝐻2=∴𝐻𝐷=𝐵𝐷−𝐵𝐻=2−𝑥−𝑥=2− 在Rt𝑃𝐻𝐷∴𝑃𝐷2=𝑃𝑄2=3(𝑥−1)2∵3>∴当𝑥=1时，𝑃𝑄2二次函数：顶点最值+实际问题：解析式+命题点01==向终点𝐵运动，过𝑃作𝑃𝑄𝐴𝐵于点𝑄，连接𝐶𝑄．设点𝑃的运动路径长为𝑥(0≤𝑥≤8),△𝐴𝑃𝑄的面积为△𝑃𝑄𝐶的面积为𝑦2,𝑦1,𝑦2关于𝑥2所示，则下列结论错误的是（A．𝐴𝐶= B．点(7,2)在𝑦1C．𝑦1的最大值为 D．当𝑥=2时，𝑦1=𝑦2=【答案】2可得𝐴𝐶𝐶𝐵的长度为8，可得𝐴𝐶=4；画出𝑥=7时的图形，计算𝐴𝑃𝑄的面积即可；根据题意可得当𝑥=4△𝐴𝑃𝑄的面积最大；画出𝑥=2时的图形，计算△𝐴𝑃𝑄△𝑃𝑄𝐶的面积即可．【详解】解：根据函数图象可得𝐴𝐶𝐶𝐵的长度为∵𝐴𝐶=∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=4A当𝑥=7时，如图，则𝑃𝐵=∵𝐴𝐶=𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝐵=45°，𝐴𝐵=2𝐴𝐶=4𝐵𝑄𝑃 ∴𝐵𝑄=𝑃𝑄 7∴𝐴𝑄=𝐴𝐵−𝑄𝐵=∴

= 即𝑥=7

=∴点(7,2)不在𝑦1B可得当𝑥=4△𝐴𝑃𝑄此 ∴

𝑃𝑄=𝐴𝑄=2𝐴𝐵=2CC = 当𝑥=2时，如图，则𝐴𝑃=𝐶𝑃=2，𝐴𝑄=𝑃𝑄=

=∵∵𝐴𝑃=∴𝑆△𝐴𝑃𝑄=𝑆△𝐶𝑃𝑄=即当𝑥=2时，𝑦1=𝑦2=1D01】（2026·安徽合肥·一模）1，在等腰Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶90°DA开始沿𝐴𝐵边1BEB开始沿𝐵𝐶C，连接𝐷𝐸F为𝐷𝐸中点．设时间为𝑡(s)，𝐷𝐸2y，yt2所示，下列结论不正确的是（A．𝐴𝐵=【答案】【详解】解：由题意得𝐴𝐷=𝑡=∴当𝑡=1时，𝐴𝐷=𝐵𝐸=【答案】【详解】解：由题意得𝐴𝐷=𝑡=∴当𝑡=1时，𝐴𝐷=𝐵𝐸=1，𝑦=𝐷𝐸2=10，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，∴𝐵𝐷2+𝐵𝐸2=𝐷𝐸2，即𝐵𝐷2+12=解得𝐵𝐷=3（负值已舍∴𝐴𝐵=𝐵𝐷+𝐴𝐷=4A∵Rt𝐵𝐷𝐸中，𝐹∴𝐵𝐹

∵𝐵𝐷2+𝐵𝐸2=𝐷𝐸2，即(4−𝑡)2+𝑡2=∴𝐷𝐸2=2𝑡2−8𝑡+16=2(𝑡−2)2∵2>∴当𝑡=2时，𝐷𝐸28，即𝐷𝐸的最小值为2∴𝐵𝐹有最小值为2B正确，不符合题意；那么∴𝐹4−𝑡,

∴𝑀𝐹

4−𝑡

𝑡

1(𝑡−2)2+∵1(𝑡−2)2，𝑡=2时，𝑀𝐹取最小值，此时最小值为2C∵已知𝐶(0,4)，𝐴(4,0)，𝐹4−𝑡,

，设 ∴𝑥

2，𝑦=消去𝑡得𝑦=−𝑥+∴点𝐹在直线𝑦=−𝑥+2作点作点𝐴(4,0)关于直线𝑦=−𝑥+2的对称点∴𝐴𝐹+𝐶𝐹的最小值为𝐴′𝐶∴𝐴𝐹+𝐶𝐹的最小值 (2−0)2+(4+2)2=210，故选项D正确，不符合题意平移得𝐸𝐹𝐺，设平移的距离为𝑥，𝐸𝐹𝐺与𝐴𝐶𝐷重叠的面积为𝑦,𝑦与𝑥2论：①𝐵𝐶=6；𝐴𝐵𝐶的面积为10；③

在𝑦与𝑥3有（ 【答案】【答案】【分析】根据平移及函数图象结合，列出𝑦与𝑥的函数关系式，逐一判断结论是否正确即可【详解】解：由图象可知，当𝑥=6时，𝑦=0，△𝐸𝐹𝐺与△𝐴𝐶𝐷重叠的面积为0，此时，𝐹与𝐶重合，𝐵𝐶=6，∴①当𝑥=3时，𝑦=2，𝐹与𝐷重合，𝐺与𝐶重合，令𝐸𝐹与𝐴𝐶的交点为∵𝐸𝐹𝐴𝐵，𝐷为𝐵𝐶∵𝑆△𝐶𝐹𝑀=∴𝑆△𝐴𝐶𝐷=2𝑆△𝐶𝐹𝑀=∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑆△𝐴𝐶𝐷=10，∴②当0≤𝑥≤3时，连接∵𝐺𝑀∥∴△𝐺𝑀𝐶∽△∴𝐺𝑀=𝐺𝐶=

=

3，即 𝐹𝐺𝐷∴𝐷𝐻=𝐷𝐹= ∴𝐷𝐻=∵𝐴𝐷−𝐷𝐻=∴𝐴𝐻=∵𝐴𝐻∥

△𝐸𝑀𝐻

𝑥

×5

∴𝐴𝐸∥𝐻𝑀∥𝐶𝐷，𝐸𝑁=∵△𝐸𝑀𝐻∽△∴𝑆△𝐸𝑀𝐻

即：𝑆△𝐸𝑀𝐻

𝑥

×5

=5

𝐷𝐹

∴𝑆△𝐷𝐹𝐻

×5= ∵𝑦=∴𝑦=−

+3即当𝑥=2

最 3当3<𝑥≤6∵𝐹𝑀∥∴△𝐶𝐹𝑀∽△当𝑥=5时，𝑦=5≠5，∴③𝑦×10𝐶𝐹∴△𝐶𝑀𝐹03】（2025·福建莆田·模拟预测）我们定义一种新函数：形如𝑦|𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐|(𝑎≠0,𝑏2−4𝑎𝑐>0)的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数𝐺：𝑦|𝑥2−𝑥−6|的图象（如图所示），下列结论错误的是（）C．当𝑥=2D．当直线𝑦=−𝑥+𝑚与函数𝐺的图象有4个交点时，则𝑚的取值范围是3<𝑚<【答案】【答案】ACBD．∵𝑦=∴当𝑥=0时，𝑦=6，当𝑦=0时，𝑥2−𝑥−6=0，解得：𝑥1=3，𝑥2=−2，∴图象与坐标轴的交点为𝐴(−2,0)，𝐵(3,0)，𝐶(0,6)A根据图象得：图象的对称轴为直线𝑥=−2+3=若(𝑥0,𝑦0)在函数图象上，则(1−𝑥0,𝑦0)B由图象可知：当𝑥−2或𝑥3时，函数值𝑦随𝑥C错误；当直线𝑦=−𝑥+𝑚过点𝐵时，直线与函数图象恰好有3个交点，即0=−3𝑚，解得：𝑚=3，当𝑦=−𝑥+𝑚与−2<𝑥<3之间的图象相切时，恰好有三个交点，当−2<𝑥<3时，𝑦=−𝑥2+𝑥+6，−𝑥+𝑚=−𝑥2+𝑥+6，整理得：−𝑥2+2𝑥+6−𝑚=∴Δ=22−4×(−1)×(6−𝑚)=解得：𝑚=∴当直线𝑦−𝑥𝑚与函数𝐺的图象有4个交点时，则𝑚的取值范围是3<𝑚7D正确；综上，错误的是C．命题点0208】（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线𝑦3𝑥1yAy轴正半轴上一点，𝐴𝐵=

3M，N都是直线𝑦=3𝑥1上的点，∠𝑀𝐵𝑁=45°，则线段𝑀𝑁值为（【答案】

B．2 C．2 【分析】根据一次函数得出𝐴(0,1),𝐶(−3,0)，再由正切函数确定∠𝐴𝐶𝑂=30°，得出∠𝐶𝐴𝑂=60°作𝐵𝐸𝑀𝑁，确定𝐵𝐸=sin∠𝐵𝐴𝐸𝐴𝐵=3×23=1𝐵𝑀𝑁D，连接𝐷𝑀、𝐷𝑁 =作𝐷𝐹𝑀𝑁D在𝐵𝐸FE【详解】解：∵𝑦=3𝑥+∴当𝑥=0时，𝑦=1，当𝑦=0时，𝑥=−∴𝐴(0,1),𝐶(−∴𝑂𝐴=1,𝑂𝐶= ∴tan∠𝐴𝐶𝑂 ∴∠𝐴𝐶𝑂=∴∠𝐶𝐴𝑂=∴∠𝐵𝐴𝐸=B作𝐵𝐸𝑀𝑁∵𝐴𝐵=3∴𝐵𝐸=sin∠𝐵𝐴𝐸×𝐴𝐵=3×23= 作𝐵𝑀𝑁D，连接𝐷𝑀、∵∠𝑀𝐵𝑁=∴∠𝑀𝐷𝑁=∵𝐷𝑁∵𝐷𝑁=∴𝑀𝑁=此时，∠𝑀𝐷𝐸=△Dr，则𝐷𝐸∴2𝑟+𝑟=解得：𝑟=2−∴线段𝑀𝑁的最小值为2𝐷𝑁=2【变式01】（2026·四川南充·一模）若𝐴是直线𝑦=𝑥−4上一动点，𝐵𝑚,𝑚2+𝑚−2（𝑚是实数）是坐标平面内一动点，则线段𝐴𝐵长度的最小值是（） 【答案】【答案】【分析】𝐴是直线𝑦=𝑥−4上的动点，𝐵𝑚,𝑚2+𝑚−2的运动轨迹是𝑦=𝑥2+𝑥−2，作直线𝑦=𝑥−4的平行【详解】解：𝐵𝑚,𝑚2+𝑚−2的运动轨迹是𝑦=𝑥2+𝑥−2，直线𝑦=𝑥−4与𝑦轴交点为𝐺(0,−4)，与𝑥轴交点∴𝑂𝐺=𝑂𝐻=∴∠𝑂𝐺𝐻=∠𝑂𝐻𝐺=即线段即线段𝐴𝐵长度的最小值为∴𝐴𝐵=2𝐵𝐺=2(4−𝑘)=2×(4−2)=∴2−𝑘=0，解得𝑘=整理得𝑥2=𝑦=𝑦=𝑥2+∴𝐴𝐵=𝐴𝐺，𝐴𝐵=2𝐵𝐺=作直线𝑦=𝑥−4的平行线𝑀𝑁:𝑦=设𝑀𝑁与𝑦轴交点为𝐵(0,−𝑘)，过𝐵(0,−𝑘)作𝐵𝐴𝐺𝐻于𝐴，则𝐵𝐺=|−𝑘−(−4)|=∴∠𝑂𝐺𝐻=∠𝐺𝐵𝐴=02】（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点𝑄在直线𝑦−𝑥1上运动，将点𝑄绕原点顺时针旋转90°，得到点𝑄′，连接𝑄𝑄′，则𝑄𝑄′的最小值为（）

B．

【答案】【答案】【分析】利用旋转的性质和勾股定理可得𝑄𝑄′= 𝑂𝑄2+𝑂𝑄′2=2𝑂𝑄，即知要求𝑄𝑄′的最小值，即求𝑂𝑄的∴𝑄𝑄′的最小值为2×2=解得ℎ=2×设斜边上的高（即垂线段长度）为ℎ，由三角形面积公式得2×1×1=2∴𝑂𝑄=𝑂𝑄′，∠𝑄𝑂𝑄′=∴𝑄𝑄′ 𝑂𝑄2+𝑂𝑄′2=∵点𝑄在直线𝑦=−𝑥1上，𝑂𝑄的最小值是原点𝑂∵𝑦=0时𝑥=1，𝑥=0时𝑦=∴直线𝑦=−𝑥+1与𝑥轴交于(1,0)，与𝑦轴交于∴直线与坐标轴围成的直角三角形斜边长为12+12= 𝑦=𝑥+2上的一个动点，连接𝑃𝑀，将𝑃𝑀绕点𝑃逆时针旋转90°到𝑃𝑁，连接𝑂𝑁，则线段𝑂𝑁的最小值 【答案】6【答案】65/65⊥𝑀𝑃𝐶𝑃𝑁𝐷(AAS)，设𝑀𝑡2𝑡+2，结合全等三角形的性质得出𝑁−42𝑡,2𝑡，进而可得点𝑁线𝑦−2𝑥−6上运动，当𝑂𝑁𝐹𝐸时，𝑂𝑁𝐵𝐸𝐹是直角三角形，𝐸𝐹𝐴𝐵，得出tan𝐵𝐸𝐹，根据(𝑁𝑂)2+(2𝑁𝑂)2=62∴∠𝑀𝑃𝑁=90°,𝑀𝑃=∵点𝑀是直线𝐴𝐵：𝑦=2𝑥+2设𝑀

1𝑡+如图，过点𝑃作𝐶𝐷𝑥轴，过点𝑀,𝑁分别作𝐶𝐷的垂线于点𝐶,𝐷，设直线𝑁𝐸交𝑦轴于点𝐸，交𝐴𝐵于点∴∠𝐶=∠𝐷=∵∠𝑀𝑃𝑁=∴∠𝑀𝑃𝐶=90°−∠𝑁𝑃𝐷=又∵𝑀𝑃=∴△𝑀𝑃𝐶≌△∴𝐶𝑀=𝑃𝐷,𝐶𝑃=

，𝑀

1𝑡+∴𝑀𝐶=−2−𝑡，𝐶𝑃

2𝑡+ ∴𝑁−22𝑡−2,2𝑡，即𝑁−42𝑡,2 𝑥=−4−𝑡，𝑦=2+∴𝑦=∴点𝑁在直线𝑦=−2𝑥−6上运动，当𝑂𝑁𝐹𝐸时，𝑂𝑁𝑦=1𝑥+联 𝑦=

𝑥=𝑦=∴𝐹−16,5∴𝐵𝐹∴𝐵𝐹2+𝐸𝐹2=𝐵𝐸2，𝐵𝐹=85,𝐸𝐹=166𝐵𝐸𝐹是直角三角形，𝐸𝐹∴tan𝐵𝐸𝐹8=516∴𝑁𝐸=∴(𝑁𝑂)2+(2𝑁𝑂)2=∴5𝑂𝑁2=∴𝑂𝑁=5，即线段𝑂𝑁56 ，𝐵𝐸2=(2+6)2= +162 ，𝐸𝐹216∴𝐵𝐹2命题点03【答案】【分析】根据轴对称最短路径，作点𝐵关于𝐴𝐶的对称点𝐵′，结合点到直线垂线最短可得𝐵′𝐹𝐸即为所求，根据矩形的性质，垂直平分线的性质可得𝐴𝐵′=𝐴𝐵=10△𝐴𝐶𝑃角函数可得𝑃𝐴=【答案】【分析】根据轴对称最短路径，作点𝐵关于𝐴𝐶的对称点𝐵′，结合点到直线垂线最短可得𝐵′𝐹𝐸即为所求，根据矩形的性质，垂直平分线的性质可得𝐴𝐵′=𝐴𝐵=10△𝐴𝐶𝑃角函数可得𝑃𝐴=5，可求出𝐴𝐹的值，根据𝐶𝐷=𝐴𝐹即可求解𝐸𝐹【详解】解：如图所示，作点𝐵关于𝐴𝐶的对称点𝐵′，过点𝐵′作𝑂𝐵的垂线，交𝐴𝐶，𝑂𝐵于点𝐸，𝐹，根据点到直线垂线最短可得此时𝐵𝐸+𝐸𝐹=𝐵′𝐸+𝐸𝐹=𝐵′𝐹的值最小， ∴𝐴𝐵=𝐶𝐷=10，𝐵𝐶=𝐴𝐷=5，∴𝐶𝐷∥∴∠𝐵𝐴𝐶=∵点𝐵′关于𝐴𝐶∴∠𝐵𝐴𝐶=∴∠𝑃𝐴𝐶=∠𝑃𝐶𝐴，则𝑃𝐴=𝑃𝐶，即𝐴𝐶𝑃是等腰三角形，根据对称可得，𝐸𝐵=𝐸𝐵′，𝐴𝐶是𝐵𝐵′的垂直平分线，∴𝐴𝐵′=𝐴𝐵=设𝑃𝐴=𝑃𝐶=𝑥，则𝑃𝐷=𝐶𝐷−𝑃𝐶=∴在直角△𝐴𝐷𝑃中，𝑃𝐴2=𝐴𝐷2∴𝑥2=52+解得，𝑥=4 ∴𝑃𝐴=𝑃𝐶

4，𝑃𝐷=10−4=4∵∠𝑃𝑂𝐹=∠𝐵′𝑃𝐶=∴cos∠𝐴𝑃𝐷=cos∠𝐵′𝑃𝐶=cos∠𝑃𝑂𝐹∴𝐴𝐹=

∴𝐴𝐹

=3×10=∵∠𝐸𝐴𝐹= ∴tan∠𝐸𝐴𝐹=tan∠𝐴𝐶𝐷=𝐶𝐷=10=∴𝐸𝐹= ∴𝐸𝐹

𝐴𝐹

1×6=故答案为：【答案】4【分析】将△𝐴𝐵𝑃B逆时针旋转60°得到△𝐴′𝐵𝑃′，证出𝐴𝑃+𝐵𝑃+𝐶𝑃=𝐴′𝑃′+𝑃𝑃′+𝐶𝑃【答案】4【分析】将△𝐴𝐵𝑃B逆时针旋转60°得到△𝐴′𝐵𝑃′，证出𝐴𝑃+𝐵𝑃+𝐶𝑃=𝐴′𝑃′+𝑃𝑃′+𝐶𝑃𝐴𝑃+𝐵𝑃+𝐶𝑃的和最小时，即点𝐴′、𝑃′、P、C在一条直线上，即最小值为𝐴′𝐶，过点𝐴′作𝐴′𝐹⊥𝐶𝐵，交F，求出𝐵𝐶=4，𝐴′𝐹=3𝑥=23，连接𝐴𝐴′【详解】解：将𝐴𝐵𝑃B逆时针旋转60°得到△∴△𝐴𝐵𝑃≌△∴∠𝐴′𝑃′𝐵=∠𝐴𝑃𝐵，𝐴𝐵=𝐴′𝐵，𝐴′𝑃′=𝐴𝑃，𝐵𝑃′=𝐵𝑃，∠𝑃′𝐵𝑃=∴△𝑃𝐵𝑃′∴∠𝐵𝑃′𝑃=∠𝐵𝑃𝑃′=60°，𝑃𝑃′=∴𝐴𝑃+𝐵𝑃+𝐶𝑃=𝐴′𝑃′+𝑃𝑃′要使𝐴𝑃+𝐵𝑃+𝐶𝑃的和最小时，即点𝐴′、𝑃′、P、C在一条直线上，即最小值为𝐴′𝐶，过点𝐴′作𝐴′𝐹⊥𝐶𝐵，交𝐶𝐵F，在Rt△𝐴′𝐹𝐵中，∠𝐴′𝐵𝐹=180°−∠𝐴′𝐵𝐴−∠𝐴𝐵𝐶=60°，设𝐵𝐹=𝑥，则𝐴′𝐵=2𝑥，∴𝐴′𝐹 𝐴′𝐵2−𝐵𝐹2=∵𝐴′𝐵=∴𝐴𝐵=∵𝐴𝐵+𝐵𝐶=∴𝐵𝐶∴𝐵𝐶=8−𝐴𝐵=∴𝐶𝐹=𝐵𝐹+𝐵𝐶=在Rt△𝐴′𝐹𝐶中，𝐴′𝐶2=𝐴′𝐹2+𝐶𝐹2，即𝐴′𝐶2=3𝑥2+(8−𝑥)2=4(𝑥−2)2+48，当𝑥=2，即𝐴𝐵=2𝑥=4时，𝐴′𝐶2最小，此时，𝐵𝐶=4，𝐴′𝐹=2连接𝐴𝐴′，∵∠𝐵𝐴′𝐴=60°，∠𝐴′𝐵𝐶=∴∠𝐵𝐴′𝐴+∠𝐴′𝐵𝐶=∴𝑆△𝐴𝐵𝐶𝐵𝐶⋅𝐴′𝐹=×4×23=4故答案为：4【变式02】（2025·山东泰安·模拟预测）

𝐴𝐵:𝑦=2𝑥+

x【答案】2的对称点𝐵′，连接𝐶𝐵′交𝑥轴于𝑃，则点𝑃即为所求，由轴对称的性质可得𝐵【答案】2的对称点𝐵′，连接𝐶𝐵′交𝑥轴于𝑃，则点𝑃即为所求，由轴对称的性质可得𝐵′(2,−4)，𝑃𝐵=𝑃𝐵′，则𝑃𝐵+𝑃𝐶=𝑃𝐵′+𝑃𝐶≥𝐶𝐵′，当𝐶、𝑃、𝐵′在同一直线上时，𝑃𝐵+𝑃𝐶最小，为𝐶𝐵′，由勾股定理求出𝐶𝐵′【详解】解：将𝐵(2,𝑚)代入直线𝐴𝐵:𝑦=1𝑥3×2+3=𝑚×2+3=𝑚，故将𝐶(𝑛,2)代入直线𝐴𝐵:𝑦=1𝑥3×𝑛+3=2，解得𝑛=−2，即如图，作点𝐵关于𝑥轴的对称点𝐵′，连接𝐶𝐵′交𝑥轴于𝑃，则点𝑃由轴对称的性质可得：由轴对称的性质可得：𝐵′(2,−4)，𝑃𝐵=∴𝑃𝐵+𝑃𝐶=𝑃𝐵′+𝑃𝐶≥当𝐶、𝑃、𝐵′在同一直线上时，𝑃𝐵+𝑃𝐶最小，为∵𝐶𝐵′ (−2−2)2+ =2∴𝑃𝐵𝑃𝐶的最小值为2故答案为：2命题点0410】（2026·江苏宿迁·二模）如图，反比例函数𝑦=𝑥的图象与直线𝑦=−𝑥+4交于𝐴，𝐵两点，点求𝐴(2)求𝐶𝐸𝐷𝐹【答案】【答案】(1)2−2,2+【分析】（1）把反比例函数𝑦=𝑥与一次函数𝑦=−𝑥+4的解析式联立起来，解方程即可求出点𝐴（2）点𝑃是线段𝐴𝐵上一个动点，设点𝑃的坐标为(𝑎,−𝑎4)，则有点𝐹的纵坐标为−𝑎4，点𝐸=得𝐶𝐸+𝐷𝐹=−𝑎2+4𝑎，再利用二次函数的性质求出𝐶𝐸+𝐷𝐹【详解】（1）解：解方程𝑥=−𝑥+整理可得：𝑥2−4𝑥+2=解得：𝑥1=2+2，𝑥2=2−∴点𝐴在点𝐵点𝐴的横坐标为2−∴𝑦=−𝑥+4=−2−2+4=2+点𝐴2−2,2+2（2）点𝑃是线段𝐴𝐵设点𝑃的坐标为(𝑎,−𝑎+4)，其中4−22<𝑎<4+2 点𝐹的纵坐标为−𝑎+4，点𝐸的横坐标为∵点𝐹在反比例函数𝑦=𝑥∴

=−𝑎+∴𝑥=∴𝐷𝐹=∵点𝐸的横坐标为𝑎，点𝐸在反比例函数𝑦=𝑥∴点𝐸的纵坐标为𝑦=∴𝐶𝐸= ∴𝐶𝐸+𝐷𝐹=−𝑎+4+𝑎

=∴−𝑎2+4𝑎=−(𝑎−2)2当−(𝑎−2)2+4取最大值时𝐶𝐸+𝐷𝐹∵−(𝑎−2)2+4的最大值为𝐶𝐸𝐷𝐹的最小值为

=8=−𝑎 标为(9,3)C的坐标为(5,0)，反比例函数𝑦=𝑘(𝑘≠0,𝑥>0)A，与𝑂𝐵Gy轴上的动点，连接𝐺𝐴，𝐺𝐸，求𝐺𝐴𝐺𝐸G【答案】(1)𝑦=12𝑥>(2)𝐺0,(3)P【答案】(1)𝑦=12𝑥>(2)𝐺0,(3)P3,（2）Ay轴的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐸yG，此时𝐺𝐴+𝐺𝐸的值最小，最小为𝐴′𝐸，求出直线8解析式为𝑦=1𝑥，与反比例函数解析式联立求出𝐸(6,2)Ay轴的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐸y此时𝐺𝐴+𝐺𝐸的值最小，最小为𝐴′𝐸（3）E作𝐸𝐹𝑥FA作𝐴𝐷⊥𝑥DP作𝑃𝐺𝑥G，设𝑃𝑛,𝑛𝑆△𝑂𝐴𝑃=−2𝑛𝑛，由𝑆△𝑂𝐴𝐸=𝑆梯形𝐴𝐷𝐹𝐸+𝑆△𝐴𝑂𝐷−𝑆△𝐸𝑂𝐹求得𝑆△𝑂𝐴𝐸=5【详解】（1）解：∵▱𝑂𝐴𝐵𝐶的边𝑂𝐶xB坐标为1B作𝐵𝐻⊥𝑥HA作𝐴𝐷𝑥∴𝑂𝐻=9，𝐵𝐻=∵C坐标为∴𝑂𝐶=∴𝐶𝐻=𝑂𝐻−𝑂𝐶=∴𝐵𝐶 𝐵𝐻2+𝐶𝐻2 32+42=∴𝑂𝐶=𝐵𝐶=∴𝑂𝐴=𝐴𝐵=𝑂𝐶=𝐵𝐶=∵𝐵𝐻𝑥轴，𝐴𝐷⊥𝑥∴𝐴𝐷=𝐵𝐻=∴𝑂𝐷 52−32=∵反比例函数𝑦=∴𝑘=4×3=

𝑘≠0，𝑥>0的图象经过点∴反比例函数的表达式为𝑦=12(𝑥>2Ay轴的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐸yG，此时𝐺𝐴+𝐺𝐸的值最小，最小为设直线𝑂𝐵解析式为𝑦=∵B坐标为∴9𝑎=∴𝑎=∴直线𝑂𝐵解析式为𝑦=

∵反比例函数𝑦=12(𝑥>0)的图象与𝑂𝐵∴𝑥

𝑥∴𝑥=6或𝑥=−6（舍去连接𝐴′𝐸yG，此时𝐺𝐴+𝐺𝐸=𝐴′𝐺+𝐺𝐸=𝐴′𝐸最小．设直线𝐴′𝐸的解析式为𝑦=𝑚𝑥+𝑛．6𝑚+𝑛=将𝐴′(−4,3)，𝐸(6,2)6𝑚+𝑛=𝑚=−解得𝑛=13∴直线𝐴′𝐸

𝑦=

𝑥+5令𝑥=0，得𝑦=5∴G坐标为0,13P（PE不重合），使得𝑆△𝑂𝐴𝑃=𝑆△𝑂𝐴𝐸，理由如下：3E作𝐸𝐹⊥𝑥FA作𝐴𝐷⊥𝑥DP作𝑃𝐺⊥𝑥G，∴𝐸𝐹=2，𝑂𝐹=6，𝐴𝐷=3，𝑂𝐷=∴𝐷𝐹=𝑂𝐹−𝑂𝐷=设𝑃𝑛12∴𝑆△𝑂𝐴𝑃=𝑆梯形𝐴𝐷𝐺𝑃+ =23+ ×(4−𝑛)+2×𝑛×𝑛−2×4×==−2𝑛+𝑛∵𝑆△𝑂𝐴𝐸=𝑆梯形𝐴𝐷𝐹𝐸+=2(2+3)×2+2×4×3−2×6×=5+6−6= ∴𝑆△𝑂𝐴𝑃=−2𝑛+𝑛=整理得：3𝑛2+10𝑛−48= ∴𝑛=3或𝑛=−6（舍去∴P3,2802】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑦=𝑥𝑏与反比例函数𝑦=𝑘的图像的一个交点为𝑀(𝑚,3)x轴的交点为𝑁(−4,0)．若点𝑃是𝑦𝑀𝑁𝑃的周长最小时，求点𝑃𝑄为𝑥轴上一点，直线𝑀𝑄交反比例函数的图像于点𝑅（异于𝑀），连接𝑅𝑁△𝑁𝑅𝑄的面积为2，求点【答案】【答案】(1)𝑚=−1，𝑘=(2)点𝑃0,(3)点𝑅2（1）把𝑁(−4,0)代入𝑦=𝑥+𝑏求出𝑏值，把𝑀(𝑚,3)代入可求出𝑚的值，代入𝑦=𝑥即可求出𝑘（2）作点𝑁关于𝑦轴的对称点𝑁1，连接𝑀𝑁1，交𝑦轴于𝑃，根据轴对称的性质得出△𝑀𝑁𝑃𝑀𝑁𝑀𝑁，利用待定系数法可求出直线𝑀𝑁

𝑥=0，求出𝑦 𝑦=−𝑥 （3）设𝑅𝑡,−3，直线𝑀𝑄的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，利用待定系数法得出直线𝑀𝑄的解析式

𝑦=−𝑡𝑥3𝑡−3，求出𝑄(𝑡−1,0)，根据𝑁𝑅𝑄的面积为3得出1|𝑡3||3|=3

𝑥∴−4+𝑏=0，𝑚+𝑏=解得：𝑏=4，𝑚=∴3=解得：𝑘=（2）解：如图，作点𝑁关于𝑦轴的对称点𝑁1，连接𝑀𝑁1，交𝑦轴于∴𝑃𝑁=∴𝑀𝑃+𝑃𝑁=𝑀𝑃+∴𝑀、𝑃、𝑁1三点共线时𝑀𝑃+𝑃𝑁有最小值，为𝑀𝑁𝑃的周长最小，为𝑀𝑁设直线𝑀𝑁1的解析式为𝑦=𝑝𝑥+4𝑝+𝑞=∴−𝑝+𝑞=3𝑝=−

𝑞=12∴直线𝑀𝑁

𝑦=−𝑥 当𝑥=0时，𝑦=5∴点𝑃的坐标为0,12（3）解：由（1）得𝑘=∴反比例函数解析式为𝑦=∴设𝑅𝑡,3，直线𝑀𝑄的解析式为𝑦=𝑘𝑥𝑏𝑡𝑘+

=−

𝑡−𝑘1+𝑏1=

=−=∴直线𝑀𝑄的解析式为𝑦=−𝑥

𝑡当𝑦=0时，

=−𝑡𝑥+解得：𝑥=∴𝑄𝑁=|𝑡−1−(−4)|=|𝑡+𝑁𝑅𝑄的面积为∴𝑄𝑁 |=|𝑡+3|⋅|−|=

当𝑡<−3时，(−𝑡−3)

=3，整理得𝑡+3=𝑡（舍去当𝑡>0

，整理得𝑡+3=𝑡（舍去(𝑡+3)⋅𝑡=当−3≤𝑡<0时，(𝑡+3)

=解得：𝑡=

=∴点𝑅2,2命题点0511】（2026·陕西西安·二模）已知二次函数𝑦=−𝑥2+2𝑥𝑎（a为常数），当𝑚≤𝑥≤3时，y有最大值𝑎+1，最小值𝑎−3m的取值范围是（）A．𝑚≤ B．1≤𝑚≤ C．−1≤𝑚≤ D．−1≤𝑚≤【答案】【答案】最小值，分析函数在𝑚≤𝑥≤3时的增减性与最值取得的位置，进而确定𝑚的取值范围．【详解】解：二次函数解析式为𝑦=−𝑥2+2𝑥+𝑎𝑦=−(𝑥2−2𝑥+1)+1+𝑎=−(𝑥−1)2+(𝑎+∵二次项系数−1<∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,𝑎1)，当𝑥=1时，函数取得最大值𝑎∵𝑦的最大值为𝑎+∴𝑥=1必须在取值范围𝑚≤𝑥≤3内，即𝑚≤抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，𝑥=3到对称轴𝑥=1的距离为3−1=2．将𝑥=3代入解析式得𝑦(3)=−32+2×3+𝑎=∴函数在𝑥=3要保证𝑦(3)在𝑚≤𝑥≤3时的最小值，则需满足𝑦(𝑚)≥𝑦(3)，即𝑥=𝑚到对称轴𝑥=1的距离不大于𝑥=3到对∴|𝑚−1|≤|3−1|，解得−1≤𝑚≤综上，𝑚的取值范围为−1≤𝑚≤01】（2026·四川宜宾·二模）若1≤𝑥≤3时，二次函数𝑦=2𝑥2−3𝑎𝑥+4的最小值为−23，则𝑎的值是（）

【答案】【答案】【详解】∵二次函数𝑦=2𝑥2−3𝑎𝑥+4的二次项系数为2>∴抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥= 𝑦𝑚𝑖𝑛=2×32−3𝑎×3+4=22−9𝑎=−23，解得𝑎=5，符合𝑎≥4的条件，∴𝑎=③当4𝑎≥3，即𝑎≥4在1≤𝑥≤3范围内，yx的增大而减小，当𝑥=3时，y解得𝑎=±26，均不在3<𝑎<49𝑚𝑖𝑛=2×(4𝑎)−3𝑎×(4𝑎)+4=−𝑎+4=二次函数最小值在对称轴处取得，将𝑥=3𝑎②当1<𝑎<3，即<𝑎<4 >3解得𝑎=3∴𝑦𝑚𝑖𝑛=2×12−3𝑎×1+4=6−3𝑎=①当4𝑎≤1，即𝑎≤3在1≤𝑥≤3范围内，yx的增大而增大，当𝑥=1时，y【变式02（2026·辽宁沈阳·一模𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎2𝑥+1(𝑎>0)上有两点和𝑁(𝑚2,𝑛2)，当𝑚1=6𝑎，1≤𝑚2≤2时，都有𝑛1>𝑛2成立，则a的取值范围 【答案】【答案】𝑎>【分析】推导出抛物线开口向上，在1≤𝑚2≤2时，函数最大值在端点𝑥=1或𝑥=2处取得，需满足𝑦6𝑎𝑦1且𝑦6𝑎>𝑦224𝑎3+1>−4𝑎2+4𝑎+1②，求出𝑎>3【详解】解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎2𝑥+1中𝑎>24𝑎3+1>−2𝑎2+𝑎+∴抛物线开口向上，在1≤𝑚2≤2时，函数最大值在端点𝑥=1或𝑥=2当𝑥=6𝑎时，记函数值为𝑦6𝑎，当𝑥=1时，记函数值为𝑦1，当𝑥=2时，记函数值为∵点𝑀(6𝑎,𝑛1)的纵坐标恒大于区间1≤𝑚2≤2∴需满足𝑦6𝑎>𝑦1且𝑦6𝑎>∵𝑦6𝑎=𝑎⋅(6𝑎)2−2𝑎2⋅6𝑎+1=24𝑎3综上所述，a的取值范围是𝑎>∵当𝑎>3时，6𝑎>2，不在区间1≤𝑚2≤224𝑎3+1>−2𝑎2+𝑎+∴24𝑎3+1>−4𝑎2+4𝑎+1②的解集为𝑎>解得𝑎>3或𝑎<−2（不符合题意，舍去∵𝑎>∴6𝑎2+𝑎−1>0，(3𝑎−1)(2𝑎+1)>0，3𝑎−1> 3𝑎−1<2𝑎1>02𝑎1<0解得𝑎>6或𝑎<−4（不符合题意，舍去由②，得24𝑎3+4𝑎2−4𝑎>4𝑎(6𝑎2+𝑎−1)>𝑦1=𝑎⋅12−2𝑎2⋅1+1=−2𝑎2+𝑎+𝑦2=𝑎⋅22−2𝑎2⋅2+1=−4𝑎2+4𝑎+1，24𝑎3+1>−2𝑎2+𝑎+1①∴24𝑎3+1>−4𝑎2+4𝑎+1②由①，得24𝑎3+2𝑎2−𝑎>𝑎(24𝑎2+2𝑎−1)>∵𝑎>∴24𝑎2+2𝑎−1>0，(6𝑎−1)(4𝑎+1)>0，6𝑎−1> 6𝑎−1<4𝑎1>04𝑎1<0𝑚𝑚【详解】解：二次函数𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+𝑚2−𝑚中，𝑎=1>𝑚𝑚【详解】解：二次函数𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+𝑚2−𝑚中，𝑎=1>0∵二次函数图象经过点∴∴将𝑥=0,𝑦=6代入解析式得：𝑚2−𝑚=整理得𝑚2−𝑚−6=0，解得𝑚=3或𝑚=∵对称轴在𝑦轴左侧，二次函数对称轴公式为𝑥=∴𝑥=−<解得𝑚>因此𝑚=−2舍去，得𝑚=将𝑚=3代入二次函数解析式得：𝑦=𝑥2+3𝑥+32−3=𝑥2+3𝑥+配方得𝑦=(𝑥+)+4 【答案】3种情况进行讨论求解即可【详解】解：∵𝑦=−𝑥2+2𝑚𝑥+1=−(𝑥−𝑚)2+𝑚2【答案】3种情况进行讨论求解即可【详解】解：∵𝑦=−𝑥2+2𝑚𝑥+1=−(𝑥−𝑚)2+𝑚2∴抛物线的开口向下，对称轴为直线𝑥=∴当𝑥<𝑚时，𝑦随着𝑥的增大而增大，当𝑥>𝑚时，𝑦随着𝑥∵当1≤𝑥≤3∴当𝑚>3时，则当𝑥=3时，函数有最大值为−96𝑚1=4，解得𝑚=2（舍去）；当𝑚<1时，则当𝑥=1时，函数有最大值为−1+2𝑚+1=4，解得𝑚=2（舍去）；当1≤𝑚≤3时，则当𝑥=𝑚时，函数有最大值为−𝑚2+2𝑚2+1=4，解得𝑚=3或𝑚=−（舍去综上：𝑚=05】（2026·江苏南通·一模）若1≤𝑥≤3时，二次函数𝑦=2𝑥2−3𝑎𝑥+4的最小值为−23，则𝑎= 【答案】【答案】𝑦𝑚𝑖𝑛=2×32−3𝑎×3+4=22−9𝑎=解得𝑎=5，符合𝑎≥4的条件 二次函数最小值在对称轴处取得，将𝑥=3𝑎𝑦𝑚𝑖𝑛=2×4 −3𝑎×4𝑎+4=−𝑎+4= 9解得𝑎=±26，均不在3<𝑎<4③当4𝑎≥3，即𝑎≥4在1≤𝑥≤3范围内，yx的增大而减小，当𝑥=3时，y②当1<𝑎<3，即<𝑎<4∵3>3解得𝑎=3𝑦𝑚𝑖𝑛=2×12−3𝑎×1+4=6−3𝑎=①当4𝑎≤1，即𝑎≤3在1≤𝑥≤3范围内，yx的增大而增大，当𝑥=1时，y∴抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥=【详解】解：∵二次函数𝑦=2𝑥2−3𝑎𝑥+4的二次项系数为2>命题点06𝐴，𝐵重合），𝑃𝑄𝑃𝐸交𝐴𝐷于点𝑄，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=(1)若𝐵𝑃=1𝐴𝐵，求证：𝑃𝑄=2，连接𝐶𝑄，当tan∠𝐶𝑄𝐸=2时，求𝐵𝑃【答案】(1)(2)𝐴𝑄=(3)𝐵𝑃2【分析】（1）利用一线三垂直模型，证明𝐴𝑃𝑄≌𝐵𝐸𝑃(AAS)，从而得出𝑃𝑄=【详解】（1）点𝐸是𝐵𝐶的中点，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=∴𝐵𝐸

1𝐵𝐶=∵𝐵𝑃

1𝐴𝐵=∴𝐴𝑃=𝐴𝐵−𝐵𝑃=∴𝐴𝑃=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐴=∠𝐵=∴∠𝐴𝑃𝑄+∠𝐴𝑄𝑃=∵𝑃𝑄⊥∴∠𝐴𝑃𝑄+∠𝐵𝑃𝐸=∴∠𝐴𝑄𝑃=在𝐴𝑃𝑄𝐵𝐸𝑃∠𝐴=∠𝐴𝑄𝑃=𝐴𝑃=∴△𝐴𝑃𝑄≌△∴𝑃𝑄=（2）解：设𝐵𝑃=𝑥，则𝐴𝑃=由（1）知：∠𝐴=∠𝐵，∠𝐴𝑄𝑃=∴△𝐴𝑃𝑄∽△ ∴𝐵𝑃=∴𝑥

4∴𝐴𝑄

1(𝑥−3)2+=当𝑥=3时，𝐴𝑄=（3）解：如图，设𝐶𝐸的中点为点𝐹，过点𝐹作𝐹𝐺𝐵𝐶交𝐴𝐷于点𝐺，在𝐺𝐹上截取𝑂𝐹=2𝐸𝐹=4，连接𝑂𝐸，以点𝑂为圆心𝑂𝐸为半径作⊙𝑂，交𝐴𝐷于点𝑄，连接𝑂𝑄，𝑂𝐶．𝐹是𝐸𝐶的中点，𝐹𝐺𝐹𝐺是𝐸𝐶∴𝐸𝑂=∴𝐶在⊙𝑂∴∠𝐶𝑄𝐸

∵𝑂𝐸=𝑂𝐶，𝐹𝐺⊥∴∠𝐸𝑂𝐹

∴∠𝐶𝑄𝐸=在Rt△𝑂𝐸𝐹中，tan∠𝐸𝑂𝐹=𝐸𝐹= ∴tan∠𝐶𝑄𝐸=tan∠𝐸𝑂𝐹=即当tan∠𝐶𝑄𝐸=2时，点𝑄为⊙𝑂交𝐴𝐷∵∠𝐺𝐹𝐵=∠𝐴=∠𝐵=四边形𝐴𝐵𝐹𝐺∴∠𝑄𝐺𝑂=90°，𝐺𝐹=𝐴𝐵=∴𝐺𝑂=𝐺𝐹−𝑂𝐹=∴𝐺𝑂=又𝑂𝑄=∴Rt△𝑂𝐺𝑄≌Rt△∴∴𝐺𝑄=𝐹𝑂=∴𝐴𝑄=𝐴𝐺−𝐺𝑄=设𝐵𝑃=𝑥，则𝐴𝑃=∴𝐵𝑃=∴𝑥=4整理得：𝑥2−6𝑥8=0，解得𝑥=2或4．经检验：𝑥=2或4∴𝑥=2或∴𝐵𝑃=2或4，即𝐵𝑃的长为2或⊥𝐴𝐵𝐸已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷1，设𝐵𝐸=①求𝐷𝑀的值；（结果用含𝑎的式子表示如图【答案】【答案】(1)(2)①𝑎2②【分析】(1)AAS(2)①先利用全等和相似求出𝐶𝑁，再通过作垂线构造相似三角形求出𝐷𝑀△【详解】（1）四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐵=90°，𝐴𝐵=∵将线段𝐴𝐸绕点𝐸顺时针旋转90°得到线段∴𝐴𝐸=𝐸𝐹，∠𝐴𝐸𝐹=∵𝐹𝐺⊥∴∠𝐺=90°=∵𝐵、𝐸、𝐺∴∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐴𝐸𝐹+∠𝐹𝐸𝐺=∴∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐹𝐸𝐺=在Rt𝐴𝐵𝐸中，∠𝐵𝐴𝐸∠𝐴𝐸𝐵=∴∠𝐵𝐴𝐸=在𝐴𝐵𝐸𝐸𝐺𝐹∠𝐵=∠𝐵𝐴𝐸=𝐴𝐸=∴△𝐴𝐵𝐸≌△（2）①正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为1，𝐵𝐸=∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=1，𝐸𝐶=由（1）知𝐴𝐵𝐸∴𝐸𝐺=𝐴𝐵=1，𝐹𝐺=𝐵𝐸=∵𝐵、𝐸、𝐶、𝐺∴𝐶𝐺=𝐵𝐺−𝐵𝐶=𝐵𝐸+𝐸𝐺−𝐵𝐶=𝑎+1−1=∴𝐶𝐺=𝐹𝐺=∵∠𝐸𝐶𝑁=∠𝐸𝐺𝐹=90°，∠𝐶𝐸𝑁=∴△𝐸𝐶𝑁∽△ ∴𝐸𝐺=∴1

𝑎∴𝐶𝑁=过点𝐹作𝐹𝐻直线𝐴𝐷于点∵𝐹𝐺⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷∥∴𝐹、𝐺、𝐻四边形𝐴𝐵𝐺𝐻中，∠𝐵=∠𝐵𝐴𝐻=∠𝐴𝐻𝐺=∠𝐻𝐺𝐵=四边形𝐴𝐵𝐺𝐻∴𝐴𝐻=𝐵𝐺=𝐵𝐸+𝐸𝐺=𝑎+1，𝐺𝐻=𝐴𝐵=∵𝐹𝐺=∴𝐹𝐻=𝐺𝐻−𝐹𝐺=∵𝐷𝑀∥∴△𝐴𝐷𝑀∽△ ∴𝐹𝐻=∵𝐴𝐷= ∴1−𝑎=∴𝐷𝑀=∴𝐷𝑀

=𝑎(𝑎+

1 ②𝐶𝑁=𝑎(1−𝑎)=−

+∴当𝑎=2时，𝐶𝑁此时𝐵𝐸=𝐸𝐶=1− 由①知𝐷𝑀= 2= ∴𝐶𝑀=𝐶𝐷−𝐷𝑀=1−3= 在Rt△𝐸𝐶𝑀中，𝐸𝐶=2，𝐶𝑀=∴𝐸𝑀

+𝐶𝑀2

1

=在Rt△𝐸𝐺𝐹中，𝐸𝐺=1，𝐹𝐺=∴𝐸𝐹

+

12

1 5 =过点𝐹作𝐹𝐾𝐷𝐶于点∵𝐹𝐺⊥𝐵𝐶，𝐷𝐶⊥四边形𝐶𝐺𝐹𝐾 ∴𝐶𝐾=𝐹𝐺=2，𝐹𝐾=𝐶𝐺=∵𝐶𝑀=2 ∴𝑀𝐾=𝐶𝑀−𝐶𝐾=

=

1 1

在Rt△𝑀𝐹𝐾中，𝑀𝐹 点𝑀在△𝐸𝐹𝐺

+𝑀𝐾

+ =6𝑆△𝐸𝑀𝐹=𝑆△𝐸𝐶𝑀+𝑆梯形 =2×2×3+2×3+2×2−2×1× =6+24−=过点𝑀作𝑀𝑄𝐸𝐹于点∵

△𝐸𝑀𝐹=2×𝐸𝐹× ∴2×2×𝑀𝑄=∴𝑀𝑄=

5

5 20 5在Rt△𝐸𝑀𝑄中，𝐸