幂的乘除课件2025-2026学年北师大版七年级数学下册

1  幂的乘除第一章整式的乘除1 ｜ 幂的乘除第1课时同底数幂的乘法第一章整式的乘除知识点1

同底数幂的乘法法则若m，n都是正整数，则am•an＝

。法则：am•an＝am＋n(m，n都是正整数)。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

解：(1)原式＝(－3)7＋6＝(－3)13。

解：(3)原式＝－x3＋5＝－x8。解：(4)原式＝b2m＋2m＋1＝b4m＋1。

解：(2)原式＝(x－y)3＋2＝(x－y)5。解：(3)原式＝x3n＋2n－2＝x5n－2。典例2计算：(1)8×83×83＝

⁠；(2)100×100m－1×100m＋1＝

⁠。87

1002m＋1

变式2计算：

am•an•ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数)。m6

知识点2

同底数幂乘法法则的逆用逆用法则：am＋n＝am•an(m，n都是正整数)。例：a10＝a2＋8＝a2•a8。典例3填空：(1)105＝10×

＝102×

⁠；(2)x7＝x•

＝x2•

⁠；(3)3m＋n＝

×3n。104

103

x6

x5

3m

变式3已知10x＝10，10y＝100，求10x＋y的值。解：10x＋y＝10x×10y＝10×100＝1000。解：10x＋y＝10x×10y＝10×100＝1000。知识点3

同底数幂的乘法法则的实际应用典例4卫星绕地球的运动速度(第一宇宙速度)为7.9×103

m/s，一天大约有8.6×104s，求卫星绕地球运行一天所经过的路程。解：7.9×103×8.6×104＝7.9×8.6×107＝6.794×108(m)。答：卫星绕地球运行一天所经过的路程约为6.794×108m。解：7.9×103×8.6×104＝7.9×8.6×107＝6.794×108(m)。答：卫星绕地球运行一天所经过的路程约为6.794×108m。变式4

(教材P3练习T2)2017年6月，我国自主研发的“神威•

太湖之光”超级计算机以1.25×1017次/s的峰值计算能力和

9.3×1016次/s的持续计算能力，第三次名列世界超级计算机排

名榜单TOP500第一名。该超级计算机按持续计算能力运算

2×102s可做多少次运算？解：9.3×1016×2×102＝18.6×1018＝1.86×1019(次)。答：该超级计算机按持续计算能力运算2×102s可做1.86×1019

次运算。解：9.3×1016×2×102＝18.6×1018＝1.86×1019(次)。答：该超级计算机按持续计算能力运算2×102s可做1.86×1019

次运算。

1.

计算a2•a＝(

D

)A.

aB.

3aC.

2a2D.

a3D2.

下列各项中，两个幂是同底数幂的是(

C

)A.

x2与a2B.

(－a)5与a3C.

－x2与x2D.

(x－y)2与(y－x)2C3.

若74×72＝7m，则m的值为(

B

)A.

8B.

6C.

5D.

2B4.

下列运算结果与c2•c3一致的是(

B

)A.

3个c2相乘B.

5个c相乘C.

6个c相乘D.

2个c2相乘B

解：(1)原式＝22＋4＝26。解：(2)原式＝(－3)10＋5＝(－3)15＝－315。

5.

计算：(4)－x2•x3；解：(4)原式＝－x2＋3＝－x5。(5)(－c)3•(－c)m；解：(5)原式＝(－c)m＋3。(6)x2•x5＋x•x4•x2。解：(6)原式＝x2＋5＋x1＋4＋2＝x7＋x7＝2x7。解：(4)原式＝－x2＋3＝－x5。解：(5)原式＝(－c)m＋3。解：(6)原式＝x2＋5＋x1＋4＋2＝x7＋x7＝2x7。

6.

若45＋45＋45＋45＝4n，则n的值为(

B

)A.

4B.

6C.

8D.

16B7.(1)若am＋1•a2m－1＝a9，则m＝

⁠；(2)若x＋y－3＝0，则2x×2y＝

⁠。388.(1)已知am＝2，an＝3，求am＋n的值；解：(1)因为am＝2，an＝3，所以am＋n＝am•an＝2×3＝6。(2)已知2a＝5，2b＝3，求2a＋b＋3的值。(2)因为2a＝5，2b＝3，所以2a＋b＋3＝2a×2b×23＝5×3×8＝120。解：(1)因为am＝2，an＝3，所以am＋n＝am•an＝2×3＝6。(2)因为2a＝5，2b＝3，所以2a＋b＋3＝2a×2b×23＝5×3×8＝120。

9.

【思想方法•归纳】已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，那么a，

b，c之间满足的等量关系是

⁠。a＋b＋1＝c

1 ｜ 幂的乘除第2课时幂的乘方第一章整式的乘除知识点1

幂的乘方法则若m，n都是正整数，则(am)n＝

(乘方的意义)＝

(同底数幂的乘法法则)＝am

n。法则：(am)n＝am

n(m，n都是正整数)。幂的乘方，底数不变，指数相乘。典例1

(教材P4例3•节选)计算：(1)(102)3；(2)(b5)5；解：(1)原式＝102×3＝106。(3)(an)3；(4)－(x2)m。解：(3)原式＝an•3＝a3n。(4)原式＝－x2•m＝－x2m。解：(1)原式＝102×3＝106。解：(2)原式＝b5×5＝b25。解：(3)原式＝an•3＝a3n。解：(4)原式＝－x2•m＝－x2m。变式1计算：(1)(75)4＝

⁠；(2)(74)5＝

⁠；(3)(a3)2＝

⁠；(4)－(a2)5＝

⁠；(5)(2m)5＝

⁠；

(7)［(x－y)3］2＝

⁠；(8)［(23)2］4＝

⁠。

720

720

a6

－a10

25m

(x－y)6

224

知识点2

幂的乘方与同底数幂的乘法混合运算幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：公式区别(文字描述)同底数幂的乘法am•an＝am＋n底数不变，指数相加幂的乘方

n＝am

n底数不变，指数相成典例2

(教材P4例3•节选)计算：(1)(y2)3•y；解：(1)原式＝y2×3•y＝y6•y＝y7。(2)2(a2)6－(a3)4。解：(2)原式＝2a2×6－a3×4＝2a12－a12＝a12。解：(1)原式＝y2×3•y＝y6•y＝y7。解：(2)原式＝2a2×6－a3×4＝2a12－a12＝a12。

解：(1)原式＝a2×2•a3＝a4•a3＝a7。解：(2)原式＝(a2＋35)5＝(a5)5＝a5×5＝a25。(3)(y3)3•y3－(y4)3。解：(3)原式＝y9•y3－y12＝y9＋3－y12＝y12－y12＝0。解：(3)原式＝y9•y3－y12＝y9＋3－y12＝y12－y12＝0。知识点3

幂的乘方法则的逆用逆用法则：am

n＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整数)。例：a10＝a2×5＝(a2)5＝(a5)2。典例3

若am＝5，求a3m的值。解：a3m＝(am)3＝53＝125。解：a3m＝(am)3＝53＝125。变式3

若xm•x2m＝2，求x9m的值。解：由xm•x2m＝2，得x3m＝2。所以x9m＝(x3m)3＝23＝8。解：由xm•x2m＝2，得x3m＝2。所以x9m＝(x3m)3＝23＝8。

320

a2n

－b4n

2.

x18不能写成(

A

)A.

(x2)16B.

(x2)9C.

(x3)6D.

x9•x9A3.

下列运算正确的是(

B

)A.

x3＋x3＝x6B.

2x3－x3＝x3C.

(x3)2＝x5D.

x3•x3＝x9B4.

计算：(1)(33)4×32；解：(1)原式＝33×4×32＝312×32＝314。(2)x4•x6•(x2)5；解：(2)原式＝x4＋6•x2×5＝x10•x10＝x20。(3)－(x5m)2＋2(xm)10。解：(3)原式＝－x10m＋2x10m＝x10m。解：(1)原式＝33×4×32＝312×32＝314。解：(2)原式＝x4＋6•x2×5＝x10•x10＝x20。解：(3)原式＝－x10m＋2x10m＝x10m。

5.

若(x2)m＝xm•x2，则m的值为(

B

)A.

1B.

2C.

3D.

4B6.

若［(x3)t］2＝x18，则t＝

⁠。7.

若an＝3，则a3n＝

⁠。8.(1)若x2n＝5，则(x2n)2－(x2)n＝

⁠；(2)若3m＋2n＝3，则(3m)3•(3n)2＝

⁠；(3)若2x＋3y－6＝0，则4x－1×8y＝

⁠。327202716

9.

【核心素养•运算能力】在比较215和312的大小时，我们可以

这样来处理：因为215＝(25)3＝323，312＝(34)3＝813，又因为32＜81，所以323＜813，即215＜312。请比较355，444与533的大小。解：因为355＝(35)11＝24311，444＝(44)11＝25611，533＝(53)11＝12511，又因为125＜243＜256，所以12511＜24311＜25611，即533＜355＜444。解：因为355＝(35)11＝24311，444＝(44)11＝25611，533＝(53)11＝12511，又因为125＜243＜256，所以12511＜24311＜25611，即533＜355＜444。1 ｜ 幂的乘除第3课时积的乘方第一章整式的乘除知识点

积的乘方法则

法则：(ab)n＝anbn(n是正整数)。积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。典例1

(教材P6例4)计算：(1)(3x)2；解：(1)原式＝32x2＝9x2。(2)(－2b)5；解：(2)原式＝(－2)5b5＝－32b5。(3)(－2xy)4；(4)(3a2)n。解：(3)原式＝(－2)4x4y4＝16x4y4。(4)原式＝3n(a2)n＝3na2n。解：(1)原式＝32x2＝9x2。解：(2)原式＝(－2)5b5＝－32b5。解：(3)原式＝(－2)4x4y4＝16x4y4。解：(4)原式＝3n(a2)n＝3na2n。变式1计算：(1)(－2x)3＝

⁠；(2)(3x)2＝

⁠；(3)(－xy2)3＝

⁠；

(5)(ab2c3)3＝

⁠。

(abc)n＝anbncn(n是正整数)。－8x3

9x2

－x3y6

a3b6c9

典例2计算：(1)m•m7－(2m4)2；解：(1)原式＝m1＋7－22•(m4)2＝

m8－4m8＝－3m8。(2)(－a2)3•(－2a3)2。解：(2)原式＝(－1)3•(a2)3•(－2)2•(a3)2＝－a6•4a6＝－4a12。解：(1)原式＝m1＋7－22•(m4)2＝

m8－4m8＝－3m8。解：(2)原式＝(－1)3•(a2)3•(－2)2•(a3)2＝－a6•4a6＝－4a12。

解：(1)原式＝a2＋4＋(－2)2•(a3)2＝a6＋4a6＝5a6。解：(2)原式＝x2•(y3n)2＋xn•(y6)n＝x2y6n＋xny6n。

变式3计算：0.510×211。

当底数互为倒数或者负倒数时，可以考虑逆用积的乘方

法则来简化运算。

知识点

积的乘方的实际应用

答：土星的体积约为9.04×1014km3。

1014(km3)。答：土星的体积约为9.04×1014km3。

1.

计算(2b)2的值为(

D

)A.

2bB.

2b2C.

b2D.

4b2D2.

下列计算正确的是(

D

)D

6解：(1)原式＝2nb2n。

4.

计算：(3)－a3＋(－4a)2a；解：(3)原式＝－a3＋(－4)2a2a＝－a3＋16a3＝15a3。(4)(－2x2)3＋(－3x3)2。解：(4)原式＝(－2)3(x2)3＋(－3)2(x3)2＝－8x6＋9x6＝x6。解：(3)原式＝－a3＋(－4)2a2a＝－a3＋16a3＝15a3。解：(4)原式＝(－2)3(x2)3＋(－3)2(x3)2＝－8x6＋9x6＝x6。5.

下面的计算是否正确？如有错误请改正。(1)(ab4)4＝ab8；解：(1)错误，改正为(ab4)4＝a4(b4)4＝a4b16。(2)(－3pq)2＝－6p2q2。解：(2)错误，改正为(－3pq)2＝(－3)2p2q2＝9p2q2。解：(1)错误，改正为(ab4)4＝a4(b4)4＝a4b16。解：(2)错误，改正为(－3pq)2＝(－3)2p2q2＝9p2q2。

－27912510

8.64×1011

10.

【核心素养•运算能力】已知24m＋8•9m＋2＝123m＋2，则m的

值为

⁠。21 ｜ 幂的乘除第4课时同底数幂的除法第一章整式的乘除知识点1

同底数幂的除法法则若a≠0，m，n都是正整数，且m＞n，则am÷an＝

＝am－n。法则：am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

注意：①底数a≠0，因为0不能作除数；②单独的一个数或字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂的除法法则时，底数a可以是单项式，也可以是多项式。典例1

(教材P7例5)计算：(1)a7÷a4；解：(1)原式＝a7－4＝a3。(2)(－x)6÷(－x)3；解：(2)原式＝(－x)6－3＝(－x)3＝－x3。(3)(xy)4÷(xy)；(4)b2m＋2÷b2。解：(3)原式＝(xy)4－1＝(xy)3＝x3y3。解：(4)原式＝b2m＋2－2＝b2m。解：(1)原式＝a7－4＝a3。解：(2)原式＝(－x)6－3＝(－x)3＝－x3。解：(3)原式＝(xy)4－1＝(xy)3＝x3y3。解：(4)原式＝b2m＋2－2＝b2m。变式1计算：(1)108÷105＝

⁠；(2)a7÷a2＝

⁠；(3)(－a)6÷(－a)3＝

⁠；(4)x3n＋1÷xn＋1＝

⁠；(5)(2a3)3÷(－2a3)＝

⁠；(6)y10÷y3÷y4＝

⁠。

am÷an÷ap＝am－n－p(a≠0，m，n，p都是正整数，且

m＞n＋p)。103

a5

－a3

x2n

－4a6

y3

1

49

27

64

1.

若24÷22＝2m，则m的值为(

B

)A.

1B.

2C.

3D.

4B2.

若(x－1)0＝1成立，则x的取值范围是(

D

)A.

x＞1B.

x＜1C.

x＝1D.

x≠1D3.

(教材P8练习T1)计算：(1)x12÷x4；解：(1)x12÷x4＝x12－4＝x8。(2)(－y)3÷(－y)2；解：(2)(－y)3÷(－y)2＝(－y)3－2＝－y。(3)－(k6÷k6)；(4)(－r)5÷r4；解：(3)－(k6÷k6)＝－k6－6＝－1。(4)(－r)5÷r4＝－r5－4＝－r。解：(1)x12÷x4＝x12－4＝x8。解：(2)(－y)3÷(－y)2＝(－y)3－2＝－y。解：(3)－(k6÷k6)＝－k6－6＝－1。解：(4)(－r)5÷r4＝－r5－4＝－r。3.

(教材P8练习T1)计算：(5)m÷m0；(6)(mn)5÷(mn)。(5)m÷m0＝m÷1＝m。(6)(mn)5÷(mn)＝(mn)4＝m4n4。解：(5)m÷m0＝m÷1＝m。解：(6)(mn)5÷(mn)＝(mn)4＝m4n4。

解：原式＝5－1＋(－2)3－5

1

1616

A.

a＜b＜cB.

a＜c＜bC.

b＜c＜aD.

c＜a＜bB

7.

【思想方法•整体思想】计算：(1)若am＝3，an＝6，则am－n＝

⁠；(2)若3a＝8，9b＝2，则3a－2b＝

⁠；(3)若m，n满足3m－n－4＝0，则8m÷2n＝

⁠。

4161 ｜ 幂的乘除第5课时科学记数法第一章整式的乘除知识储备七年级上册我们学过，用科学记数法表示大于10的

数，如赤道长约为40000000m，其中40000000可以表示成

4×107。一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n，其中1≤a＜10，n是正整数。『思考』某种病毒的直径约为0.000000103m；某种分子的质

量约为0.0000000000024kg。你能用负指数表示这些数吗？知识点1

用科学记数法表示绝对值较小的数一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a＜

10，n是负整数。典例1用科学记数法表示下列各数：(1)0.000026＝

⁠；(2)0.000703＝

⁠。2.6×10－5

7.03×10－4

变式1有一苔花的花粉直径约为0.0000084米，数据0.0000084用科学记数法表示是

⁠。

n的值为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个

数。

大于－1的负数也可以用类似的方法表示，如－0.000405

可以表示成－4.05×10－4。8.4×10－6

知识点2

将科学记数法表示绝对值较小的数还原典例2下列是用科学记数法表示的数，写出其原数：(1)3.35×10－5＝

⁠；(2)8.2×10－3＝

⁠；(3)－6.06×10－6＝

⁠。0.0000335

0.0082

－0.00000606

变式2有“新材料之王”称号的石墨烯在新能源、电子信

息、航天航空、生物医药等领域具有广阔的应用前景。石墨烯

中每两个相邻碳原子间的键长为1.42×10－10米。将1.42×10－10

写成小数是

⁠。0.000000000142

知识点3

科学记数法的相关计算典例3计算(结果用科学记数法表示)：(1)(2×10－3)×(3×10－3)；解：(1)原式＝(2×3)×(10－3×10－3)＝6×10－6。解：(1)原式＝(2×3)×(10－3×10－3)＝6×10－6。(2)(5.2×10－9)÷(－4×10－3)。解：(2)原式＝［5.2÷(－4)］×(10－9÷10－3)＝－1.3×10－6。解：(2)原式＝［5.2÷(－4)］×(10－9÷10－3)＝－1.3×10－6。变式3计算(结果用科学记数法表示)：(1)(－3.5×10－13)×(－4×10－7)；解：(1)原式＝［(－3.5)×(－4)］×(10－13×10－7)＝14×10－20＝1.4×10－19。(2)(3×10－11)÷(5×10－4)。(2)原式＝(3÷5)×(10－11÷10－4)＝0.6×10－7＝6×10－8。解：(1)原式＝［(－3.5)×(－4)］×(10－13×10－7)＝14×10－20＝1.4×10－19。解：(2)原式＝(3÷5)×(10－11÷10－4)＝0.6×10－7＝6×10－8。知识点4

科学记数法的实际应用典例4纳米(nm)是长度单位，1nm＝10－3μm，1μm＝10－3

mm，那么20nm等于多少毫米(结果用科学记数法表示)？解：因为1nm＝10－3μm，1μm＝10－3mm，所以20nm＝20×10－3×10－3＝2×10－5(mm)。解：因为1nm＝10－3μm，1μm＝10－3mm，所以20nm＝20×10－3×10－3＝2×10－5(mm)。变式4若5万粒芝麻的总质量是200克，则一粒芝麻的质量是

多少千克(结果用科学记数法表示)？解：200×10－3÷(5×104)＝4×10－6(千克)。答：一粒芝麻的质量是4×10－6千克。解：200×10－3÷(5×104)＝4×10－6(千克)。答：一粒芝麻的质量是4×10－6千克。

1.

用科学记数法表示下列各数：(1)0.0001＝

⁠；(2)0.013＝

⁠；(3)0.00000000000204＝

⁠；(4)－0.00007＝

⁠；(5)－0.004025＝

⁠。1×10－4

1.3×10－2

2.04×10－12

－7