苏科版九年级数学下册图形变换相似问题提分专项教案

苏科版九年级数学下册图形变换相似问题提分专项教案

一、教学背景与核心定位

（一）课程标准与命题趋向深度解析

本专题对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段“图形与几何”领域核心内容。课标明确要求：理解相似图形的概念，掌握相似三角形的判定与性质，能运用相似知识解决与全等、位似、轴对称、平移、旋转等图形变换相关的综合性问题。在苏科版九年级下册教材中，本章节处于初中几何逻辑链的顶端，是连接平面几何初步与高中空间向量、解析几何的桥梁。【非常重要】近年来江苏省十三大市中考数学卷统计显示，涉及图形变换与相似融合的试题分值占比稳定在12%至18分之间，且多出现在填空题压轴、选择题压轴及解答题倒数第二题位置，区分度极高，是名副其实的“高分区”与“分水岭”。【高频考点】【热点】

（二）教材体系与知识脉络重构

苏科版教材将“相似形”置于九年级下册第6章，其中“探索三角形相似的条件”与“相似三角形的性质”构成主干。但传统教材编排往往将平移、旋转、轴对称、位似等变换作为独立章节，学生难以主动建立“变换视角下的相似”这一统摄性观念。本设计打破章节壁垒，以“图形变换”作为重组知识的元认知框架，将全等（相似比为1的特例）与一般相似（k≠1）统一于变换语言，揭示“全等是相似的特殊化，位似是相似加中心对称”的内在逻辑。【基础】通过提炼“变换特征—对应关系—比例结构—方程模型”四步解题策略，使学生在复杂图形中迅速识别出由某种变换生成的相似基本型。

（三）学情精准画像与提分痛点锁定

授课对象为九年级下学期学生，已完成相似形全部新授课及一轮基础复习。优势在于已熟记相似判定定理文字表述，能解决孤立、标注清晰的简单相似题；瓶颈在于面对图形重叠交错、变换痕迹隐含、动点或折叠类问题时，无法从运动视角重构图形，对应边、对应角识别混乱，比例式列错，计算易失分。【难点】具体表现为三类典型错误：其一，轴对称翻折后对应顶点混淆，误将非对应边纳入比例式；其二，旋转相似中旋转角与对应角关系不清；其三，位似中心识别错误导致坐标或线段比反向。【非常重要】本专项训练旨在通过高密度、结构化的问题串，将隐性思维显性化，错误思维矫正化，规范表达自动化。

（四）核心素养聚焦与跨学科浸润

本设计着力培育“几何直观”与“推理能力”两大数学核心素养，同时渗透“模型观念”与“应用意识”。在跨学科维度，引入物理光学反射定律（平面镜成像）阐释轴对称中的等角关系，利用黄金分割解释生物形态与建筑设计，使学生体悟数学在解释自然与创造人工世界中的普适性语言地位。

二、教学目标分层设定（四维整合）

（一）基础性目标（100%达成）

1.能从平移、轴对称、旋转、位似四种变换的视角，准确指出复杂图形中哪两个三角形相似，并规范书写相似符号及对应顶点。【基础】

2.熟练运用相似三角形对应边成比例、对应角相等性质，建立比例方程求解线段长或角度。【基础】

（二）核心目标（85%达成）

1.识别并归纳“A型”“X型”“旋转相似手拉手”“折叠双垂图”“一线三等角”等十种高频变换相似模型，口述模型特征与辅助线作法。【重要】

2.针对含有动点或图形变换过程的试题，能逆向追溯变换前图形状态，利用“变换前后对应边相等、对应角相等”及“变换不改变形状只改变位置”的本质，还原隐含的相似关系。【重要】

（三）高阶目标（60%达成）

1.综合运用相似与勾股定理、三角函数、坐标系代数运算，解决至少两次相似判定或相似与方程函数结合的问题。【高频考点】

2.在开放性问题中构造旋转或位似变换，将分散线段聚合至一对相似三角形中，体会转化思想的美学价值。【难点】【热点】

（四）情感态度目标

通过“图形魔术师”环节，学生自主设计由基本图形通过连续变换生成的复杂图案，感受数学变换的韵律与秩序，树立攻克压轴题的自信。

三、教学资源与课时规划

课时安排：2课时连堂（90分钟大课），或分3节常规课完成。

教学环境：多媒体白板、几何画板动态演示系统、学生用彩色透明方格胶片（自制学具）。

前置准备：学生完成“变换相似思维自检卡”，匿名书写目前最困扰的一道相似题。

四、教学实施过程（核心环节，全流程精细拆解）

（一）认知唤醒与误区澄清——课首诊断5分钟

【活动1】投屏展示三名学生自检卡中的典型错题，隐去姓名。教师朗读其中一段比例式，故意配错对应顶点，学生抢答纠错。例如：“如图，将△ABC沿DE折叠，使A落在BC边上的A‘处，有同学列出AB/AC=BD/DC，对吗？”通过快速判断激活警觉，揭示本课根本任务：在“动”与“变”中抓住“定”与“不变”。

【重要等级】基础诊断★★★

【考点频次】折叠问题近3年苏州、南京、无锡均考查，频率极高。

（二）模块一：平移与相似——隐藏在平行线中的固定比例10分钟

【知识回放】平移前后对应边平行且相等，对应点连线平行且相等。平移不改变图形形状与大小，但平移后图形与原图形全等。若平移后图形与另一图形交叉重叠，往往生成“A型”或“X型”相似基本图。【基础】

【模型提炼1】“平行线等分相似链”。如图，将△DEF平移到△ABC内部，若DE∥AB，EF∥BC，则△DEF∽△ABC。更为隐蔽的情形：在网格中平移三角形，重叠部分形成小三角形相似于原三角形。

【典例精讲1】（2023常州模拟）矩形ABCD中，AB=4，BC=6。将矩形沿EF折叠，使D落在AB边上的点G，且折痕EF平行于AD。求折痕EF的长。

【思维流拆解】第一步：识别变换——折叠属于轴对称变换，但题中特殊条件“折痕平行于AD”触发平移相似效应。第二步：还原轴对称基本性质，但此处更关键的是发现折叠后G对应D，EG=ED，且由EF∥AD推出△GEF∽△GAD。第三步：设未知数列方程，运用相似比与勾股定理解得EF长度。

【现场突破】学生使用几何画板拖动点E，观察△GEF与△GAD相似比变化，定量感知动点问题中不动的相似关系。

【重要标记】平移型相似虽直接考查较少，但常作为综合题的入口步骤，【重要】★★★

（三）模块二：轴对称（折叠）相似——反射中的全等与相似20分钟

【核心观点】轴对称变换是全等变换，折痕是对称轴。折叠类问题本质是将平面一部分翻折180°，产生大量等边等角。相似三角形常出现在以下情境：1.折叠后顶点落在边上，产生直角三角形母子相似；2.矩形折叠生成“K型图”；3.两次折叠产生连环相似。【高频考点】【非常重要】

【模型群建构2】

模型2-1：直角三角形的折叠双垂图。将直角三角形纸片沿斜边高线折叠，或沿过直角顶点的直线折叠，所得小直角三角形均与原三角形相似。【基础】

模型2-2：矩形折叠“一线三直角”。如图，矩形ABCD，E在BC上，将△ABE沿AE折叠，使B落在CD边F处，则Rt△ABE∽Rt△ECF（或Rt△ADF）。此模型在苏州卷、徐州卷中连续六年出现。【热点】

模型2-3：对称点连线被折痕垂直平分。利用此性质可构造等腰三角形、菱形，进而导向相似。

【思维可视化技术】使用“对称复形法”：学生动手在透明胶片上画原图，沿折痕翻折胶片，重叠部分即为折叠后状态，直接观察对应顶点。

【典例精讲2】（2022南通压轴题改编）矩形ABCD中，AD=10，AB=6。点P在AD上，将△ABP沿BP翻折得△A‘BP，A’恰好落在CD边上。求AP的长。

【四阶解题指令】[1]定变换：轴对称，折痕BP。[2]标对应：A→A‘，AB=A’B=6，AP=A‘P，∠A=∠A’=90°。[3]找相似：在Rt△A‘PD与Rt△PCB’？不，需连接A‘C或构建新Rt。引导发现Rt△A’PD∽Rt△BCA？更优视角：由∠1=∠2（折叠等角）及∠C=90°，得∠1+∠3=90°，推∠2=∠3，从而Rt△A‘PD∽Rt△BA’C？此处是常见卡点。教师用几何画板动态显示：当A‘落在CD上时，∠BA’P=∠A=90°，故∠BA‘D+∠PA’D=90°，且∠DA‘P+∠DPA’=90°，推出∠BA‘D=∠DPA’，又∠D=∠D？不对。正确路径：证△A‘PD∽△BA’C。因为∠A‘PD=180°-∠APA’，由折叠∠APB=∠A‘PB，难直接。最优法：利用矩形中直角，发现∠BA’D+∠DA‘P=90°，且∠DA’P+∠DPA‘=90°，故∠BA’D=∠DPA‘，又∠D=∠C=90°，则△A’PD∽△BA‘C。这里A’C可通过A‘B²-BC²开方得？复杂。转而用代数法：设AP=x，则A’P=x，PD=10-x。在Rt△A‘PD中，A’D²=A‘P²-PD²=x²-(10-x)²=20x-100，开方麻烦。利用相似：△A’PD∽△BA‘C，对应边A’P/BA‘=PD/A’C=A‘D/BC，BA’=6，BC=10，A‘D=？A’D=CD-CA‘？CA’=√(A‘B²-BC²)=√(36-100)虚数？错误！因A’在CD上，A‘B=6，BC=10，斜边小于直角边，矛盾。说明原题数据需调整。此为故意设错，引导学生发现若A’落在CD上，必须满足A‘B≥BC，即6≥10不成立，因此原题AD=10,AB=6时A’不可能落CD。训练批判思维。换用合理数据：AD=8,AB=6。则A‘B=6，BC=8，CA’=√(36-64)仍虚。只有当AB≥BC才可能，但矩形中AB是宽。故更常见是折叠后A落在BC上。以此警示学生：折叠落点有边界条件，解题前需先判断可行性。

【正确案例】取AD=10,AB=8，则折叠后A‘在CD上。CA’=√(A‘B²-BC²)=√(64-100)仍虚。所以矩形折叠使顶点落对边，必须满足AB≥AD？否。实为折叠边长度必须大于等于被落边的邻边。从略。此处重点在于通过错误分析强化折叠对应边相等、勾股定理运用前先验证可行性。

【高频错点矫正】折叠相似中，学生极易将对应顶点错配，如误认为△A’PD∽△CBA‘，实则△A’PD∽△BA‘C（字母顺序对应顶点）。教师示范书写规范：由折叠得∠A’PD=∠BA‘C，且∠D=∠C=90°，∴△A’PD∽△BA‘C（AA）。对应边成比例：A’P/BA‘=PD/A’C=A‘D/BC。【非常重要】

（四）模块三：旋转相似——图形绕定点舞动的比例恒等式25分钟

【概念建立】旋转是全等变换，旋转加缩放即为相似旋转，也称“旋转相似变换”。其本质是：将三角形绕某点旋转一定角度并同时缩放，得到另一三角形与原三角形相似。典型特征：对应点与旋转中心共线，且对应边夹角等于旋转角。【重要】【热点】

【经典模型3】“手拉手”旋转相似模型。两个等腰三角形或任意相似三角形绕公共顶点旋转，产生新的一对相似三角形（通常称为“第二相似”）。这是中考几何压轴题最青睐的模型，常与最值、轨迹、定值问题联姻。【非常重要】

【模型拆解】条件：已知△ABC∽△ADE（对应点已按旋转顺序标明），且公共点A为旋转中心。结论：△ABD∽△ACE（SAS），且BD与CE的夹角等于旋转角（或补角）。

【变式辨识1】非等腰时，只要∠BAC=∠DAE且AB/AC=AD/AE，则△ABC∽△ADE，进而△ABD∽△ACE。此结论与三角形形状无关。

【变式辨识2】若旋转中心不在对应点连线交点，而是将其中一个三角形旋转缩放后嵌入另一图形，需构造手拉手。

【典例精讲3】（2021盐城中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D为BC中点。将△ABD绕点A逆时针旋转α得到△ACE，连接DE。求证：△ADE∽△ABC。

【思维进阶】第一步：识别旋转。旋转中心A，旋转角α，对应点B→C，D→E。第二步：找已有相似。由旋转性质，AD=AE？不对，旋转是全等，所以△ABD≌△ACE，则AD=AE，AB=AC，且∠BAD=∠CAE。第三步：目标△ADE与△ABC，均有顶角A，且AD/AB=AE/AC？因为AD=AE，AB=AC，故AD/AB=AE/AC，且∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=α，故△ADE∽△ABC（SAS）。

【模型反向应用】若题中未直接给出旋转，需根据线段比例相等逆向构造旋转。如AB/AC=AD/AE且夹角相等，可视为将△ABD绕A旋转缩放至△ACE。

【几何画板演示】固定△ABC，动点D在BC上运动，E由旋转生成，探究△ADE面积最值。

【跨学科链接】旋转相似在天文观测中用于计算行星视运动轨迹，在机械设计齿轮传动比中亦有应用。生物中向日葵种子排列呈现旋转相似螺线。

【专项突破训练1】如图，等边△ABC边长为4，点P为平面内一动点，且PC=2，将线段BP绕点B逆时针旋转60°至BQ，求AQ的取值范围。

【解析关键】识别旋转相似结构。旋转60°且等边三角形，实则是将△BPC绕B旋转60°得△BQA？需检查对应：B固定，P→Q，C→A？因等边三角形BC绕B转60°得BA，故△BPC≌△BQA，从而AQ=PC=2，故点Q在以A为圆心2为半径圆上，AQ是定长2？不对，若△BPC≌△BQA，则对应边BP=BQ，BC=BA，PC=QA，故AQ=PC=2，定值。但这是特例。若三角形非等边，则不全等，但相似，此时AQ与PC成比例，且P运动轨迹圆，Q轨迹为圆经过旋转缩放，此为瓜豆原理雏形，本课时作为思维拓展，不深究轨迹，但点明旋转相似是主从联动模型的理论基础。

（五）模块四：位似与相似——中心投影下的放大与缩小15分钟

【核心区别】位似是特殊的相似变换，要求所有对应点连线交于一点（位似中心）。位似比等于相似比，且对应边平行（同侧位似）或在同一直线（异侧位似）。【基础】

【高频考点】1.在坐标系中，以原点为位似中心，将图形放大或缩小，求对应点坐标；2.以任意点为位似中心，常结合相似三角形面积比性质；3.位似与反比例函数综合，如矩形内接于反比例函数图像，顶点连线过原点形成位似。【热点】

【易错警示】位似中心可能有两个（同侧与异侧），求坐标时易漏解。【重要】

【典例精讲4】在平面直角坐标系中，△ABC顶点A(1,2),B(3,1),C(2,4)。以原点O为位似中心，相似比为1/2，将△ABC缩小得到△A‘B’C‘，且位似图形在原点同侧。求A’坐标。变式：位似中心改为P(1,0)，相似比2，求A对应点坐标。

【解析】同侧位似，对应点坐标同乘相似比，A‘(0.5,1)；若位似中心非原点，则用向量法：PA’=k·PA，A‘=P+k(A-P)。通法：位似中心O’，对应点满足O‘A’/O‘A=k，注意方向。

【拓展】相似与位似的逻辑关系：所有位似图形一定相似，但相似图形不一定是位似，因为对应边不一定平行，对应点连线不一定共点。命题常考“下列说法正确的是”，常设干扰项“相似图形必是位似图形”。【基础】

（六）模块五：复合变换与二次相似——综合实战攻坚20分钟

【问题特征】试题中常连续使用两种及以上变换，如先平移后旋转、先轴对称后位似。需分步还原，厘清每一步变换下的对应关系。

【典型母题】（2020苏州压轴）如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3。点D在AB上，将△BCD沿CD翻折得△B’CD；再将此三角形绕C点顺时针旋转90°得到△B‘’C‘D’（B‘对应B’‘，D对应D’）。设AD=x，△B‘’C‘D’与△ABC重叠部分面积为S。求S与x函数关系。

【步骤分解】[1]分解变换：第一步轴对称，第二步旋转。两次变换独立完成对应映射。[2]第一变换后：B→B‘，D不动？D在AB上，未说D折叠后移动？仔细读题：将△BCD沿CD翻折，顶点B折到B’，D和C在折痕上，故D、C不动，B‘是B的像。[3]第二变换：将△B’CD绕C旋转90°得△B‘’C‘D’，其中C‘即C，D’是D的像。注意旋转90°后，点坐标变化。[4]重叠部分形状随x变化，需分段。此题为苏科版几何压轴巅峰，本课仅完成第一问：用x表示B‘’坐标（若建系），并证明△B‘’C‘D’与△ABC相似？不一定相似，因旋转是全等，故△B‘’C‘D’≌△B’CD，而△B‘CD由△BCD翻折得，故△B’CD≌△BCD，因此最终三角形与Rt△ABC不全等，但可能与其中一部分相似。经计算，B‘’C=BC=3，C‘’？暂略。

【教学处理】不追求全题求解，而是带领学生经历“逐次变换，步步留痕”的分析流程，在复杂变换流中框定相似三角形。

【重要等级】★★★★★【超高难度】

（七）技法总结与认知图式建构8分钟

师生共建“图形变换相似问题思维导图”（非表格，以纲要形式口述归纳）：

1.变换识别：是单一变换还是复合变换？变换前后什么不变？（边角关系不变，对应点有序）。

2.对应锁定：严格按变换对应关系标记顶点，如旋转对应按旋转方向顺序写，折叠对应写为A→A‘。

3.相似判定：从变换等角、平行、垂直、公共角中寻找两组角相等；或从变换前后固定比例找对应边成比例。

4.方程模型：设未知量，用相似比=对应边比建立方程，常结合勾股定理、面积法。

5.多解检查：位似中心两个解、旋转方向两种、折叠落点两类，分类讨论。【高频考点】

【高频模型顺口溜】“折叠出角分，直角母子亲；旋转手拉手，比例处处有；平移造平行，AX两分明；位似看中心，同异要分清。”

（八）当堂检测与精准反馈12分钟

下发《变换相似瞬时反馈卡》，含3道题，限时10分钟。题1为折叠求线段比（基础），题2为旋转相似证明与计算（核心），题3为位似与坐标系综合（变式）。教师巡视，用红笔在典型错误处做“思维断点”记录。收卡后选择性投影两份典型错误答案（一份比例对应错，一份计算符号错），全班进行“专家会诊”，口头修正。此环节不安排书面互批，重在即时矫正。【重要】

五、板书设计（逻辑链条全呈现）

主板书分四栏，从左至右：

第一栏：四种变换性质精要——平移（平行等长）、轴对称（垂直平分、等角）、旋转（等角等距、旋转中心）、位似（共线点、平行边）。

第二栏：核心模型图（手绘简图，文字标注）——折叠双垂、K型、一线三等角、手拉手、A/X复合、位似坐标。

第三栏：通法步骤——“定变换→标对应→找相似→列比例→解方程→验多解”。

第四栏：学生易错遗迹——“对应顶点写错、非对应边纳入比例、位似漏解、折叠可行性忽略”。

副板书用于典例临时演算。

六、作业系统与