《电路基础》-104教学材料

10.1引言

在前面各章分析的直流电路和周期电流电路中，所有的响应或是稳定的，或是按周期规律变化的。电路的这种工作状态称为稳定状态。在含有储能元件L和C的电路中，当电路的结构或元件参数发生改变时，必然使电路由原来的稳定状态转变到一个新的稳定状态。这种转变，一般来说是不能即时完成的，需要经历一个过渡过程，或称为暂态过程。在暂态过程中，电路各处的电流、电压怎样变化，是本章所要讨论的问题。下一页返回10.1引言

在电路的稳态分析中，无论是直流电路或者是引入相量法的正弦交流电路，所有元件的VCR都是代数方程，因此，求解电路时，是根据KCL,KVL以及元件的VCR所得到的代数方程来进行计算。但在暂态分析时，储能元件L和C的VCR需用导数形式来表示，因此，这时根据KCL,KV和元件的VCR得到的方程是以电流或电压为变量的微分方程，对线性电路而言，描述电路暂态过程的方程是线性常系数微分方程。暂态过程中各处电流、电压的求解，需要求解这类微分方程。上一页下一页返回10.1引言

分析动态电路的过渡过程的方法之一是:根据KCL,KVL和支路的VCR建立描述电路的方程，这类方程是以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到电路所求变量(电压或电流)。此方法称为经典法，它是一种在时间域中进行的分析方法。还有另一种方法是采用积分变换的方法将微分方程求解问题转化为代数方程来求解，通常是将自变量转换为复频率变量，故称为复频域分析法，在这里不作讨论。上一页下一页返回10.1引言

研究电路的暂态过程有着重要的实际意义，过渡过程是一种自然现象，对它的研究很重要。当然过渡过程的存在有利有弊。有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种特定的波形或改善波形;不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或过流，致使电气设备损坏，必须采取相应的防范措施。上一页返回10.2知识结构和教学要求1.知识结构

(1)基本概念:①动态过程和动态响应。②换路定律。③动态响应的分类:零输入响应和零状态响应、稳态响应与暂态响应、强制响应与自由响应、阶跃响应与冲激响应。(2)一阶电路的分析方法:①经典法。②三要素法。下一页返回10.2知识结构和教学要求(3)二阶RLC电路动态过程的欠阻尼、过阻尼、临界阻尼。2.教学要求①理解动态元件、动态过程、动态响应的概念。②理解C元件和L元件的换路定律，掌握利用0、等效电路求取电压、电流初始值的方法。③理解动态电路方程的建立方法，了解经典法。④掌握一阶电路的定义及直观判别方法。⑤掌握求解一阶电路动态响应的三要素法。

上一页下一页返回10.2知识结构和教学要求⑥理解零输入相应、零状态响应的概念。⑦理解全响应、稳态响应、暂态响应、强迫响应、自由响应的概念。⑧理解阶跃函数的定义，阶跃响应的概念。⑨了解二阶RLG动态电路的过阻尼、欠阻尼、临界阻尼情况。上一页下一页返回10.3

教学内容10.3.1电路的动态过程学习目标:熟悉电路的稳定状态和动态过程。前面几章的内容，无论是直流电路还是正弦、非正弦交流电路，都是对电路的稳定状态进行分析。所谓稳定状态是指各处的响应或是稳定不变，或是随时间按周期规律变化。而动态过程是指当电路含有储能元件且电路的结构或元件参数发生变化时，电路的工作状态将由原来的稳定状态改变到另一个稳态，这种转变一般来说不是即时完成的，需要经过一个过程，这个过程被称作动态过程(瞬态过程、暂态)。上一页下一页返回10.3

教学内容

对于含有一个电容和一个电阻或一个电感和一个电阻的电路，当电路的无源元件都是线性时不变时，电路方程将是一阶线性常微分方程，相应的电路称为一阶电阻电容电路(简称为RC电路)或一阶电阻电感电路(简称为RL电路)。如果电路仅含一个动态元件，则可以把该动态元件以外的电阻电路用戴维南定理或诺顿定理置换为电压源和电阻的串联组合，或电流源和电阻的并联组合，从而把它变换为RC电路或RL电路。这种电路称为一阶动态电路。动态电路的一个特征是，当电路的结构或元件的参数发生变化时(例如电路中电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等)，可能使电路从原来的工作状态，转变到另一个工作状态，这种转变往往需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。上一页下一页返回10.3

教学内容下面通过例题来说明电路的动态过程。例10一1如图10一1所示电路，试分析开关闭合前后电路中的电流i0分析:(1)开关闭合前，开关闭合后，这是一个纯电阻性电路。开关一闭合电流迅速变化。(2)开关向上闭合前，i=o，为电路原来的稳态，UL(0)=0开关向上闭合后，由于电感元件对直流相当于短路，所以i=U/R，为新的稳态。是否开关一向上闭合，电流就立即由0变为U/R若假定i的变化是瞬间完成的，即，dt=0，本电路的KV方程为上一页下一页返回10.3

教学内容那么电感上的电压UL=Ldi/dt，由于R、和II均为有限值，显然UL=Ldi/dt=∞二不满足方程。也就是说假定是错误的，电流‘的变化不可能是瞬间完成的，必然经历一个电流渐变的过程。对于图10一1(a)电流的变化却是瞬间完成的，图(b)电流不能突变的原因在于，动态元件L上储存的能量WL=0.5Li2L;,，电流突变意味着L上储存的能量p发生突变，而储能元件上所储存的能量发生突变只能发生在突变瞬间存在无穷大功率的情况，而无穷大功率一般是不存在的。上一页下一页返回10.3

教学内容由此可得到一般性结论是:电路内部含有储能元件L,C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成，因此必然经历一个动态过程。含有动态元件的电路称为动态电路。本章要对动态电路的动态过程进行分析，不是采用前面几章介绍的相量法，而是利用数学知识:公式法求解线性常系数非齐次微分方程。综上所述，用时域的方法对电路的动态过程进行分析，其基本依据仍然是KCL,KVL和VCR。也就是说，首先要由时域形式的KCL,KVL和VCR来建立关于待求变量的微分方程，再来确定变量的初始条件，最后再求解带求变量，从而达到分析电路动态过程的目的。上一页下一页返回10.3

教学内容10.3.2动态电路初始条件学习目标:熟悉动态电路的换路定律，掌握电压和电流在t=0和t=0之间及t=0和t=0之间的跳变值以及电容的电压UC(0+)=UC(0-)和电感电流IL(0+)=IL(0-)用时域分析线性电路动态过程时，所得到的方程是常系数线性微分方程。此方程解答中的积分常数必须由初始条件来确定，本节主要介绍如何确定电路的初始条件。1.换路定律上一页下一页返回10.3

教学内容1.换路定律(1)换路:把电路中支路的接通、断开，电源或电路元件参数的突然改变及电路连接方式的改变统称为换路。(2)几个时间点:换路的瞬间作为计时起点，记作，=0，把换路前的最后瞬间，记为t=0，而将换路后的最初瞬间记作t=0}，在t=0_和t=0之间及t=0和t=0、之间的时间间隔均趋于零。(3)初始条件:指在换路后的t=0、时刻，电路中任一处的电流、电压值。电感电流和电容电压的初始值是在诸多初始条件中起着关键作用，所以常将独立的电感电流和电容电压的初始值，作为电路的初始状态。(4)电感电流和电容电压的初始值由下述两条换路定理来确定:上一页下一页返回10.3

教学内容①换路瞬间从t=0_到t=0+，电路中的电感电流一般不能跃变，它满足②换路瞬间从t=0_到，=0+电路中的电容电压一般不能跃变，它满足用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。设描述电路动态过程的微分方程为n阶，所谓初始条件就是指电路中所求变量(电压或电流)及其(n一1}阶导数在t=0、时的值，也称初始值。电容电压。，:和电感电流L.的初始值，即。U1(0+)和IL(0-)称为独立的初始条件，其余的称为非独立的初始条件。上一页下一页返回10.3

教学内容对于线性电容，在任意时刻t时，它的电荷、电压与电流的关系为式中V.，UC和心分别为电容的电荷、电压和电流。令t0=0_,t=0、则得:上一页下一页返回10.3

教学内容

从式(10一la)和式(10一1b)可以看出，如果在换路前后，即0到0、的瞬间电流IC(t)为有限值，则式(to一la)和式(10一1b)中右方的积分项将为零，此时电容上的电荷和电压就不发生跃变，即对于一个在t=0_储存电荷为V(0_)，电压为uC(0_)=U。的电容，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有uC(0+)=uC(0_)=U。，可见在换路的瞬间，电容可视为一个电压值为1l。的电压源。同理，对于一个在t=0_不带电荷的电容，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有。uC(0+)=uC(0_)=0，在换路瞬间电容相当于短路上一页下一页返回10.3

教学内容线性电感的磁通链与电流的关系为:令t0=0，t=0，有如果从0_到0+瞬间，电压UL(t)为有限值，式中右方的积分项将为零，此时电感中的磁通链和电流不发生跃变，即上一页下一页返回10.3

教学内容对于t=0_时电流为I,，的电感，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有iL(0)=iL(0)=I0，此电感在换路瞬间可视为一个电流值为I,，的电流源。同理，对于时电流为零的电感，在换路瞬间不发生跃变的情况下有i,(0iL(0)=iL(0)=0，此电感在换路瞬间相当于开路。式(10一3a}、(10一3b)和式(10一6a}、(10一6b)分别说明在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。)上一页下一页返回10.3

教学内容

一个动态电路的独立初始条件为电容电压UC(o+)和电感电流自IL(0+)，一般可以根据它们在t=n_时的值(即电路发生换路前的状态UC(o+)和IL(0+)确定。该电路的非独立初始条件，即电阻的电压或电流、电容电流、电感电压等则需要通过已知的独立初始条件求得。强调:换路定律给出的是在换路前后一般不能跃变的是电感电流和电容电压，但是电感电压和电容电流在换路时可以发生跃变。2.电路初始条件的计算求取电路中各处的电流、电压的初始值。通常采用0、等效电路法，具体步骤加下.上一页下一页返回10.3

教学内容(1}由换路前的稳态电路求得电容电压和电感电流(2)由换路定律:IL(0+)=IL(0-)，u，UC(o+)=UC(o-)求得电容电压和电感电流的初始值，并由时间t=0+，确定激励电源在t=0、时的具体值。(3)以电压值等于。UC(o+)的理想电压源替代原电路的电容元件，以电流值等于IL(0+)的理想电流源替代原电路的电感元件，画出换路后电路的0、等效电路。注意:此电路与原动态电路只在0+瞬间等效;0、时的等效电路是电阻电路。(4)求解得到的0、等效电路，得到0、时刻各处电流、电压的值，即初始条件)上一页下一页返回10.3

教学内容

下面举例说明用0、等效电路法确定电路初始条件的过程。从中可以看到，除了电感电流和电容电压外，电路中其他电压、电流在换路瞬间都是可以跃变的。例10-2图10-2所示电路中直流电压源的电压为ll}。当电路中的电压和电流恒定不变时打开开关So试求UC(o+)、IC(0+)、IL(0+)、UL(o+)和

UR2(o+)。解:可以根据，-n_时刻的电路状态计算UC(o+)和UL(o+)。由于开关打开前，电路中的电压和电流已恒定不变，故有上一页下一页返回10.3

教学内容所以电容电流和电感电压均为零，即此时刻的电容量相当于开路，电感相当于短路。所以上一页下一页返回10.3

教学内容

该电路在换路时，UC和IL:都不会跃变，所以有UC(o+)=UC(o-),IL(0+)=IL(0-)。为了求得t=0、时刻的其他初始值，可以把已知的UC(o+)+IL(0+)分别以电压源和电流源替代，得到t=0、时的等效电路如图10-2(b)以求出上一页下一页返回10.3

教学内容10.3.3求解一阶动态电路的方法学习目标:熟悉一阶电路的三要素求取方法1.一阶电路(y一阶电路:若描述该电路动态的数学模型是一阶微分方程，则该电路称为一阶电路。(2)一阶电路的判断:①若电路中只含有一个动态元件，则该电路必为一阶电路。②若电路中既含电感元件又含电容元件，则该电路一般不是一阶电路。③若电路中含有两个及两个以上同一类型的动态元件，则需要判断。上一页下一页返回10.3

教学内容(3)直观判断法:将电路中的独立电源去掉，然后将电路逐步化简，若最终可以简化为一个RC回路或RL回路，则原电路一定是一阶电路。2.一阶电路的三要素法(1)以四种RC,RL电路为例列写微分方程。(2)整理成一般形式:其中:f(t)为待求电流或电压;a为常数，由电路的结构和参数决定;g(t)为非齐次项，具有与激励源相同的函数形式。分析此函数的解得出三要素公式:上一页下一页返回10.3

教学内容式中的三要素为:①.f.(t)为非齐次特解，当电路达到新的稳态时，又可称为稳态解。其中.f.(t)t=0+是f.(t)在t=n+时的值。②.f(0+)是待求函数的初始值。③T为一阶电路的时间常数，取决于电路的结构和元件参数。对于任何一个一阶电路，只要求出三个要素，均可代入上式得到该电路的动态响应。3.一阶电路三要素的求取初始值的求取:(1)对于简单电路可以由动作前的稳态电路和换路定律求得。上一页下一页返回10.3

教学内容(2)对于复杂电路可以由等效电路，求得非齐次特解。以f.(t)的求取来分析:①换路后的电路无独立激励源时，.f1(t)=0②换路后的电路为直流电源时，换路后可以达到新的稳态。f1(t)是稳态解，可以由电感短接、电容开路得到的电路求得，这时f1(t)为一常数。③换路后的电路为正弦交流电源时，换路后可以达到新的稳态。f1(t)是稳态解，是与电源同频率的正弦量，可由相量法求得。④非上述激励源情况时，电路不一定能达到新的稳态，这时f1(t)不是稳态解，可以由对照表10一1设定。上一页下一页返回10.3

教学内容表10一1中的小写a指一阶微分方程中函数项的系数。(3)时间常数:的求取:任何一个一阶电路去掉激励源之后，总可以简化为RC回路或RL回路对于RC电路:对于RL电路:4.用三要素法求解一阶电路动态响应分析步骤:(1)判断为一阶电路;(2)由闭合前的稳定状态和换路定律求初始值;上一页下一页返回10.3

教学内容3)求换路后的稳态解;4)求时间常数:;5)由三要素公式得出电容电压的动态响应。例10-3试在图10一3所示的电路中，确定在开关S断开后的电压Uc和电流Ic，I1、I2之值。C=1,F,S断开前电路已处于稳态。解:(i)求初值和终值。开关S断开前:电路已处于稳态，电容相当于开路上一页下一页返回10.3

教学内容开关S断开后的瞬间:上一页下一页返回10.3

教学内容在t=∞时:(2)求取τ值。断开C，短接电压源求出其戴维南等效电路的等效电阻为:Ro=2S2o所以:τ=R0C=2x1x10-6=2us(3)代入公式。上一页下一页返回10.3

教学内容(4)根据所求公式，画出波形，如图10一4所示。10.3.4一阶电路响应的分类学习目标:掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应以及全响应的求取方法。1.零输入响应上一页下一页返回10.3

教学内容

电路中的储能元件将其存储的能量以热能等形式通过耗能元件释放时的响应。由于电路为一阶电路，因此总可以将电路简化为仅含激励、电阻与储能元件(电容或电感)的形式，在分析电路的零输入响应时，电路则仅含电阻与储能元件(电容或电感)。下面我们就以电容电路为例，来分析一阶电路的暂态过程中的零输入响应(含电感的一阶电路的情况可以对偶地讨论)。所谓“零输入响应”，即为电路在无激励的情况下，由储能元件本身释放能量的一个放电过程，也就是说动态电路在没有独立源作用的情况下，由初始储能引起的响应。上一页下一页返回10.3

教学内容例10-4如图10一5所示电路中，在t<0,开关一直打在Il}，在t=0时刻换路，开关打向电阻R。问在t>0时，UC，UB如何变化‘了解:t<o时，UC(t)=U0;在t=0时，在换路过程中，电容极板上没有电荷损失，U0不变，即

t>0，即开关打向R后，电容C通过R放电，形成放电电流i，并在R上产生电压降。1;，随着(}上电荷的减少，UC,UBi都在不断减小，直至为0。只要求得。UC

，其他参量可通过下式求得上一页下一页返回10.3

教学内容①写出电路的输入输出方程上一页下一页返回10.3

教学内容式中，τ=RC，称为时间常数，放电常数。结论:电容放电随时间变化呈指数形式衰减。其衰减的快慢取决于时间常数τ=RCτ越大，衰减越慢，:越小，衰减越快。

2.零状态响应在动态元件初始储能为0的前提下，电路对初始激励产生的响应，称为零状态响应。显然，这一响应与输入形式有关。上一页下一页返回10.3

教学内容

最简单最基本的输入形式是直流电压源和恒流源。例10-5如图10一6，在t=0时刻，开关闭合，问i,UB,Uc:如何变化?解:根据换路定理得到，UC(o+)=UC(o+)。这就是说，在t=o时刻，电容相当于短路，直流电压全部降落在R上，那么电流i(0+)=UB/R。但是，电流一经流动，必然在电容极板上产生电荷堆积，a=Cuc,>0。然而，总电压II。不变，R上压降必然减小，从而电流i=UR/R减小……。最终，Uc,->U0,i->0，充电停止，电路达到另外一个稳态，此时，电容相当于开路。上一页下一页返回10.3

教学内容当t>0时这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。作如下代换后，求解上一页下一页返回10.3

教学内容令可得这样当t=0时，UC(o)=0，从而可得到UC(o)=U0上一页下一页返回10.3

教学内容使人惊奇的是:不论G和R的取值有多大，充电过程中，电源提供的能量中，正好一半转变成电场能存储于电容中，另一半则被R消耗掉了，即充电效率仅有50%。)3.全响应在非零状态的电路中，由外施激励和初始储能共同作用产生的响应为全响应。零输入响应和零状态响应都是全响应的特殊情况。例10-6图10一7所示电路，换路前，开关打在左边U0。一方已很长时间。t=0时，开关打向右边电源。求i,iL.随时间的变化规律。上一页下一页返回10.3

教学内容解:分两步:先求初始值，再计算，,0时z,的值。(1)计算初始值i(0+)、IL(O+)。在t=0_以前，电路处于稳态，L相当于短路，根据此时的等效电路如图10一8(a)所示，可计算出支路电流的初始值上一页下一页返回10.3

教学内容

在t=0、时刻，L相当于一个大小为IL(o+)的电流源。如图10一8(b)所示。根据此时刻的等效电路，可计算得(2)计算t>o时的i(t)、iL(t)。如图10一8(c)所示。根据此时的等效电路，写出如下方程上一页下一页返回10.3

教学内容用:Ldi/dtt代换掉上式中的UL，再求解得到其中上一页下一页返回10.3

教学内容可见，时间常数中R是从L两端看进去的等效电阻，LlR即为时间常数。如果令初始输入为0，即可见，只有动态元件L的初始储能产生的响应。如果L的初始储能为零，有上一页下一页返回10.3

教学内容

可见，只有初始输入产生的响应。重要结论:电路的全响应是电路的零输入响应和零状态响应的线性叠加!其形式为一阶电路的全响应=零输入响应+零状态响应综上所述，可以看到任何线性动态一阶电路的全响应均有以下两种分解方式:(1)线性动态电路的全响应总可以分解为强制分量与自由分量之和，或稳态响应与暂态响应之和。即上一页下一页返回10.3

教学内容

说明强制分量的形式决定于外施激励，自由分量的形式与外施激励无关。当外施激励是直流量、正弦量或周期量时，电路能够进入新的稳态，故强制分量又称为稳态响应。自由分量最终衰减为零，故自由分量又称为暂态响应;当外施激励不是周期量时，电路不能达到新的稳态，故强制分量不能叫稳态响应。(2)线性动态电路的全响应总可以分解为零输入响应和零状态响应之和。即全响应=零输入响应+零状态响应上一页下一页返回10.3

教学内容说明:零输入响应与初始条件成正比，具有线性性质，零状态响应与外施激励成正比，也具有线性性质。即全响应为初始条件和外施激励的线性组合。这种分解便于分析动态过程的特点，反映了激励和响应在能量方面的因果关系。可见零状态响应包含稳态响应和部分暂态响应。零输入响应只与初始值有关，与输入无关。暂态响应与初始值有关，也和输入有关。10.3.5一阶电路的阶跃响应学习目标:熟悉阶跃函数的表示方法，并学会用三要素法求取阶跃响应。1.阶跃函数单位阶跃函数用酬约表示，其数学定义式为上一页下一页返回10.3

教学内容

其波形图如图10-9(a)所示，它在t=0_和t=0、间发生了单位阶跃。若单位阶跃函数发生在t=t。时，则称为延迟的单位阶跃函数，用到，ε（t--to）表示，其数学式为其波形图如图10-9(b)所示，它在t=t。和t=t。、间发生了单位阶跃。上一页下一页返回10.3

教学内容

单位阶跃函数乘以常数K，便为一般阶跃函数，用Ks(t)表示，它在t=0和t=0、间发生了幅度为K的阶跃，其数学式为单位阶跃电流、单位阶跃电压分别在t=0_和t=0、间发生了1A,1V的阶跃。2.阶跃函数的作用(1)开关作用:用阶跃函数代替开关来表示在t=0时开关的作用，用延迟阶跃函数表示在t=t。时的开关作用。(2)单位阶跃函数可表示某些分段函数，起到截取波形的作用。如图10一10所示，从t=0起始的波形可以用阶跃函数表示为上一页下一页返回10.3

教学内容从t=t0，起始的波形可以用阶跃函数表示为:(3)可用来分解波形如图10一11所示的矩形脉冲可以用两个阶跃函数之和表示上一页下一页返回10.3

教学内容3.阶跃响应电路在阶跃电压或电流激励下的零状态响应，称为阶跃响应，记为s(t)。把电路在直流激励下的零状态响应中的激励量改为阶跃量，即为阶跃响应。例10-7图10一12所示电路，开关S合在位置1时电路已达稳定状态。t=0时，开关由位置1合向位置2，求，,n时的电容的电压Uc(t)o解:当t,0时，开关在位置1，此时UC(o+)=0当t>=0时，开关由位置1合向位置2时，根据换路定律得上一页下一页返回10.3

教学内容时间常数τ=RC.激励信号可以写成1·Σ(t)，它作用是从而可以写成上一页下一页返回10.3

教学内容

例10一8图10一12所示电路，开关S合在位置1时电路已达稳定状态。t=0时，开关由位置1合向位置2，在t=τ=RC时又由位置2合向位置1，求t>=0时的电容的电压UC(t)。解:根据开关的动作，电路的激励Us(t)可以用图10一11(a)的矩形脉冲表示，按图10一11(b)、(c)可写为RC电路的单位阶跃响应为上一页下一页返回10.3

教学内容故其中第一项为阶跃响应，第二项为延迟的阶跃响应。10.3.6一阶电路的冲激响应学习目标:熟悉冲激函数的表示方法，并学会用三要素法求取冲激响应。1.冲激函数单位冲激函数也是一种奇异函数，可定义为上一页下一页返回10.3

教学内容单位冲激函数又称为δ函数。它在，笋。处为零，但在t=0处为奇异的。单位冲激函数δ（t）可以看做是单位脉冲函数的极限情况。图10一13

(a为一个单位矩形脉冲函数。(t)的波形。它的高为1/10，宽为△，以保持矩形面积为‘。脉冲宽度1/△，脉冲宽度会越大，女口图10一13(b)所示。上一页下一页返回10.3

教学内容

单位冲激函数是单位脉冲函数的脉冲宽度趋于0时的极限。它的脉冲高度趋于无穷大，而其强度，即它与t轴围成的面积仍为1.如果单位冲激发生在t=t0时，则称为延迟的单位冲激函数，用8(t-to)表示。单位冲激函数乘以常数K所得的函数Kδ(t)是一般的冲激函数，它与t轴围成的面积不是1，而是K。冲激函数用图10一14所示箭头符号表示。图中各箭头序表示的是δ(t)、δ(t--t1)、Kδ(t，t2)。单位冲激函数的性质如下:上一页下一页返回10.3

教学内容即单位阶跃函数等于单位冲激函数的积分。并有即单位冲激函数等于单位阶跃函数的导数。如果函数f(t)在t=n处连续，由于t≠0时δ(t)都为n，故有上一页下一页返回10.3

教学内容因此同理，对于任何在t-t0，时的连续函数f(t)，也有这些都表明，8(c)函数具有把一个连续函数在某一时刻的值“筛”出来的本领，这一性质称为8(c)函数的“筛分”性质。2.冲激响应电路对于单位冲激函数输入的零状态响应称为单位冲激响应。例10-9如图10一15所示电路，计算UC(t)。上一页下一页返回10.3

教学内容解:当t<=0_时，8(t)还没有作用，故电路等效为图10一16当0一<t<o+时，δi(c)正起作用，有上一页下一页返回10.3

教学内容0<=t时，δ(t)作用完毕，但有初始储能，如图10一17所示，故有:10.3.7一般的二阶RLC电路的分析学习目标:了解二阶RLC电路的零输入相应、零状态响应以及全响应的求取方法上一页下一页返回10.3

教学内容

二阶电路:当电路中含有两个独立的动态元件时，描述电路响应的方程是二阶线性常微分方程。1.二阶电路方程及固有频率RLC串联电路如图10一18所示，以电容电压为响应，列写该电路响应的方程。由KVL得把元件的VCR代入上式上一页下一页返回10.3

教学内容由电路的两个初始条件可得上一页下一页返回10.3

教学内容特征根(电路的固有频率)为式中，称为衰减常数;称为固有振荡频率。它们都是由电路结构和元件参数决定的常数，电路的响应形式由特征根决定。2.RLC串联电路的零输入响应假设U1=0，电路的响应是由初始状态产生的，即为电路的零输入响应。设UC(o+)=UC(o),IL(0+)=IL(0)，其电路响应参照表10一2上一页下一页返回10.3

教学内容

例10一10如图10一19所示电路，已知R=3Ω,L=1H,C=0.5F。初始值IL(0+)=1V,t>=0的，求Uc、Il和ul的零输入响应。解:列出;“的微分方程代入数据得Uc的零输入响应形式为上一页下一页返回10.3

教学内容代入初始条件，得解以上两式，得上一页下一页返回10.3

教学内容3.RLC串联电路的阶跃响应阶跃响应是在单位阶跃信号δ(t)的作用下，电路的零状态响应。由图10-20阶跃响应所得到的方程为初始值为:上一页下一页返回10.3

教学内容方程的解由齐次解。Uch与特解Ucn组成。其特征方程与零输入响应相同。如:在过阻尼情况下，齐次解可写为由于阶跃信号到，)在t>0时等于常数1，故其特解也是常数，显然。Ucb=1。所以阶跃响应K1,K2由初始条件确定。同样对于直流二阶RL(}串联电路的完全响应，可以先求出它的零输入响应和零状态响应，然后由叠加原理进行叠加。下一页返回本章小结1.储能元件电容和电感又称为动态元件，含有动态元件的电路称为动态电路。动态电路发生换路，从一种稳态转变到另一种稳态，通常要经历过渡过程，又称为暂态过程，此过程中的响应，称为动态响应。2.电路动态过程的数学模型为微分方程与初始条件构成的初值问题。就一阶电路而言，可利用经典法或三要素法在时域范围内，求取电路的动态响应。3.三要素法求解一阶电路的动态响应，需要求得待求响应f(t)的初值f(0+),f(t)的稳态解f1(t)和该一阶电路的时间常数:，代入三要素公式即可。)上一页下一页返回本章小结4.一阶电路的动态响应可按产生动态响应的原因分为零输入响应和零状态响应;也可按照动态过程的进程分解为响应的强迫分量和自由分量，若电路存在新的稳态，强迫分量就是稳态响应，而自由分量就是暂态响应。5.按照施加于动态电路的激励来分，动态响应又可分为直流响应、正弦响应、阶跃响应、冲激响应等，其中阶跃函数及阶跃响应、冲激函数和冲激响应是新概念。6.二阶RLC电路，由于存在两类不同性质的储能元件，根据动态过程中，电场能量与磁场能量传递形式的不同，区分为过阻尼、欠阻尼以及临界阻尼三种不同情况。上一页返回习题10一1填空题1.态是指从一种态过渡到另一种态所经历的过程。2.换路定律指出:在电路发生换路后的一瞬间，元件上通过的电流和元件上的端电压，都应保持换路前一瞬间的原有值不变。3.换路前，动态元件中已经储有原始能量。换路时，若外激励等于，仅在动态元件作用下所引起的电路响应，称为响应。4.只含有一个元件的电路可以用方程进行描述，因而称作一阶电路。仅由外激励引起的电路响应称为一阶电路的响应;只由元件本身的原始能量引起的响应称为一阶电路的_元件原始能量的作用所引起的电路响应叫做一阶电路的应;既有外激励、又有响应。下一页返回习题一阶RC电路的时间常数τ=;一阶RL电路的时间常数τ=。时间常数τ的取值决定于电路的6.一阶电路全响应的三要素是指待求响应的值值和7.二阶电路过渡过程的性质取决于电路元件的参数。当电路发生非振荡过程的“过阻尼状态时R__当电路出现振荡过程的“欠阻尼”状态时，R当电路为临界非振荡过程的“临界阻尼”状态时，RR=0时，电路出现振荡。8.在电路中，电源的突然接通或断开，电源瞬时值的突然跳变，某一元件的突然接入或被移去等，统称为上一页下一页返回习题9.换路定律指出:用公式可表示为一阶电路发生换路时，状态变量不能发生跳变。该定律和10.由时间常数公式可知，RC一阶电路中，c一定时，R值越大过渡过程进行的时间就越间就越;RL一阶电路中，L一定时，R值越大过渡过程进行的时10一2判断下列说法的正确与错误1.换路定律指出:电感两端的电压是不能发生跃变的，只能连续变化.2.换路定律指出:电容两端的电压是不能发生跃变的，只能连续变化。上一页下一页返回习题3.单位阶跃函数除了在t=0处不连续，其余都是连续的。4.一阶电路的全响应，等于其稳态分量和暂态分量之和。5.一阶电路中所有的初始值，都要根据换路定律进行求解。6.RL一阶电路的零状态响应，UL按指数规律上升，IL按指数规律衰减。7.RC一阶电路的零状态响应，UC按指数规律上升，IC按指数规律衰减。8.RL一阶电路的零输入响应，UL按指数规律衰减，IL按指数规律衰减。9.RC一阶电路的零输入响应，UC按指数规律上升，IC按指数规律衰减。10.二阶电路出现等幅振荡时必有XL=XC:，电路总电流只消耗在电阻上。上一页下一页返回习题10一3单项选择题1.动态元件的初始储能在电路中产生的零输入响应中()A.仅有稳态分量B.仅有暂态分量

C.既有稳态分量，又有暂态分量2.在换路瞬间，下列说法中正确的是()A.电感电流不能跃变B.电感电压必然跃变

C.电容电流必然跃变3.工程上认为R=25Ω、L=50mH的串联电路中发生暂态过程时将持续()A.30一50msB.37.5一h2.5msD.h一10ms上一页下一页返回习题4.图10一21电路换路前已达稳态，在t=0时断开开关S，则该电路()A.电路有储能元件L，要产生过渡过程

B.电路有储能元件且发生换路，要产生过渡过程

C.因为换路时元件L的电流储能不发生变化，所以该电路不产生过渡过程。5.图10一22所示电路已达稳态，现增大R值，则该电路()A.因为发生换路，要产生过