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北京大学自主招生数学试题及答案

1求证：边长为1的正五边形对角线长为』狙

略解：二角形ARFs二角形DAF,则：二=匕二,某=且二1,对角线AC=1+x=亚」

1x22

2.已知六边形4G雨或中AC产ABi,BG=BA1,CA尸CBi,ZA+ZB+ZC=ZA1+ZBi+ZC1.

求证：AABC面积是六边形力G44②的一半。

略解：如图得证

3已知

q+a2+a3=b、+b2+b3

W2+a2a3+=b}b2+b2b3+她

1加【1(4，生，/)-min(a，d，A)

求证：max(4,a;,ay)<max(4,仇,4)

4排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军

是一支南方球队(胜得1分败得0分)

解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支

所有球队总得分为。晨9="「I'*=(2工+9)(口+4)

由十秒”占俎八九*3910(2X+9)(2X+8)9(X+9)(X+4)

南方球队总得分为------------------=--------------

10210

北方球队总得分为(2工+9)(工+4)

10

南方球队内部比赛总得分比+9

北方球队内部比赛总得分C；

(2x+9)(x+4)x(x-l)

102

解得：11^229^,1117229.11116^

333

因为(2x+9)(x+4)为整数

10

x=6或x=8

当x=6时

所有球队总得分为

=("9}+8)=(2X+9)(X+4)=210

南方球队总得分为2QX+9)(2X+8)=9(x+9)(x+4)^189

10210

北方球队总得分为Q"+9)(X+4)=21

10

南方球队内部比赛总得分比+9:105

北方球队内部比赛总得分=15

北方胜南方得分=21-15=6

北方球队最高得分=5+6=11

因为11X15=165<189

所以南方球队中至少有一支得分超过11分.

冠军在南方球队中

当x=8时

所有球队总得分为”=(2x+9)(x+4)=300

由十毋nM俎八九9(2%+9)(2X+8)9(X+9)(X+4)

南方球队总得分为------------------=--------------=270

10210

北方球队总得分为(21+9)(工+4)=30

10

南方球队内部比赛总得分。2=136

北方球队内部比赛总得分=28

北方胜南方得分=30-28=2

北方球队最高得分=7+2=9

囚为9X17-153070

所以南方球队中至少有一支得分超过9分.

冠军在南方球队中

综上所述，冠军是一支南方球队

5（理科）〃-切2坐标系内X。平面系内0＜），＜2-工2绕y

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