孟华自动控制原理ch7

第七章线性离散控制系统内容提要：引言

采样过程的数学描述Z变换与Z反变换采样系统的数学模型离散控制系统的分析§7.1引言

离散控制系统，又称为采样控制系统。离散系统方块图在离散系统中，有一处或几处的信号是时间的离散函数。X(t)e*(t)X*(t)G(s)H(s)-b*(t)Tb(t)y(t)T离散系统举例：1.直接数字控制系统(DDC-DirectDigitalControl）数字计算机执行器过程模/数转换器测量传感器数/模转换器输入模拟量输出模拟量数字量数字量2.计算机监督控制系统(SCC—SurveillanceComputerControlSystem)计算机模－数转换数－模转换输入输出模拟控制器传感器被控过程执行器………………3.集散控制系统(TDC—TotalandDistributedControl)

MISSCCSCCSCCDDCDDCDDCDDC被控过程被控过程MISMISSCC集中调度控制中心

子调度控制中心………….………………………………离散系统方块图简化简化后

X(t)e*(t)G(s)H(s)-b(t)Ty(t)e(t)X(t)e*(t)X*(t)G(s)H(s)-b*(t)Tb(t)y(t)TDDC系统

x(t)e*(t)m*(t)y(t)b(t)DG0(s)H(s)TT—简化后数字计算机x(t)数模A/DDD/AG0(s)x*(t)e*(t)m*(t)m(t)y(t)H(s)A/D数模b*(t)数字部分连续部分—§7.2采样过程的数学描述一、采样过程

将连续信号通过采样开关(或采样器)变换成离散信号的过程。采样器：完成采样功能的装置。采样宽度τ：开关接通很短的一段时间。采样周期T：相邻两次采样的时间间隔。及w=2pf

分别称为采样频率及采样角频率。

采样开关经一定时间T重复闭合，每次闭合时间为

，且

T

。τ<<τb*(t)0Ttτ采样过程图

τ→00T2T3T4Tt理想采样器x(t)x*(t)T经过采样开关（2）用表示脉冲发生的时间理想采样器的输出x*(t)可以借用单位脉冲函数来表示：这里：（1）用x(t)

在t=kT

时刻的幅值共同描写x*(t)单位脉冲串的表示规定一个脉冲函数0t若δ(t)是一个周期函数：二、采样定理（1）采样信号的频率特性单位脉冲函数：展成富氏级数：因此其拉氏变换为采样信号的频率特性假设连续信号x(t)的频谱

k=-1ωsk=1-ωs|X*(jw)|

ωk=00-ωs2ωs2基谱需要：滤掉高频谱线，防止谱线互相搭接。+ω

max02ω

maxωX(jω)1ω

max谱线搭接的情况：

k=-1ωsk=1-ωs|X*(jw)|

ωk=00|X*(jw)|

k=0k=-1k=102ωmaxωs-ωsωsω-ωs2ωs22ωmaxωs谱线不搭接时：

（2）采样定理（Shannon定理）

也即如果，若想使原始信号完满地从采样信号中恢复过来，必须使。——采样角频率——原始信号中最高频率分量三、信号恢复

零阶保持器的时域特性数学模型

gh(t)=1(t)-1(t-T)sesGsTh--=1)(传递函数为x(t)x*(t)保持器x(t)h保持器方块图

10-1Ttg(t)h10Ttg(t)h零阶保持器的频率特性wwwjejGTjh--=1)(=|

Gh(jw)|∠Gh(jw)幅频特性或频谱相频特性0|Gh(jw)|

T∠Gh(jw)-π∠Gh(jw)|Gh(jw)|2ωsωs3ωsω结论：零阶保持器的幅值随ω增大而减小，具有低通滤波特性。截止频率有无穷多个，不是理想滤波器。有相位滞后，增加了系统的不稳定因素。零阶保持器在ω=0时的幅值为T。零阶保持器的作用：将离散信号变成连续信号基本滤掉高频信号，起到低通滤波器作用补偿了采样后幅值的衰减ezTs=令§7.3Z变换理论一、Z变换定义进行拉氏变换:理想采样器的输出)(zX=)(*sX则说明：（1）将Z变换按定义式展开（2）Z变换只考虑采样瞬时的信号值

（3）X(z)的反变换只能给出x(t)在采样瞬时的信息)()(21zXzX=则)()(*2*1txtx=若而一般二、Z变换方法1.级数求和法X(z)=x(0)+x(T)z-1+x(2T)z-2+…+x(kT)z-k+…

例1试求x(t)=A的Z变换例2试求x(t)=

e-at(a＞0)的Z变换

例3试求x(t)=t的Z变换例4试求x(t)=sinw

t的Z变换解1：返回用公式：q<1解2:=1+e-aTz-1+e-2aTz-2+…+e-kaTz-k

+…若|eaTz|＞1，则可写成闭式:z1aTaTatezzee-----=-=11][Z返回=1+(eaTz)-1+(eaTz)-2+…+(eaTz)-k

+…t=kT解3:返回对（1）求导整理：（1）+（2）得：21)(---=-ezzezzjTjTjww12zcossin+-=TzTzww2)z()(21+1+--=--eezeezjTjTjTjTjwwww2返回解4：2.部分分式法设X(s)为有理函数，并具有如下形式nnnmmmasasabsbsbsNsMsX++++++==--LL1111)()()(00将X(s)展开成部分分式和=sX)(+issiAn∑i=1项对应的Z变换为+issiAiTisezzA--n∑i=1=--TiisezzAzX)(例5

例6利用部分分式法求取正弦函数sinwt

的Z变换1cos2sin+-=TzzTzww22121][sin-+--=-ezzjezzjtTjTjwwwZwwwjsjjsjt-++=121121][sinL解已知L[sinwt]=，分解成部分分式和的形式，即22ww+s返回1S±jω由于拉氏变换的原函数为e-(±jw)t；可求得上式的Z变换解:assassasX+-=+=11)()(逐项求拉氏反变换，得x(t)=1(t)-e-at

写出相应的Z变换:返回求X(s)=

的Z变换assa+)(3.留数计算法（1）无重根时已知全部极点条件：X(s)为s多项式之比；当s→∞时，X(∞)→0；X(s)的极点位于s平面之左。

例7.7例7.8例7.9（2）有重根时求x(t)=t的Z变换解：

由于L[t]=1s21dd1)!(21)(220]-[-==ezzssszXssT返回所以s1=0，λ=21)(2-=zTz求x(t)=te-at的Z变换解：由于L[te-at]=1(s+a)22)(aTaTezzTe---=22)(1)(dd1)!(21)(sTezzasasszXas][-++-=-=返回所以s1=-a，λ=2

已知X(s)=，求X(z)s+3(s+1)(s+2)解：s1=-1，s2=-2均为单极点TTTTTezeezeezz3222)()]2-([-----++-+=Tezz2---Tezz2--=sTezszss)1)((3)(2][-+++-=sTezszss)2)((3)(1][-++=-=zX)(sTezszXss)(2)(2][-++-=sTezszXss)(1)(1][-+=-=sTezszXs)(res2][-+-=sTezszXs)(res1][-=-=返回三、Z变换性质

1.线性定理

Z[ax1(t)±bx2(t)]=aX1(z)±bX2(z)2.时移定理（实数位移定理）

迟后定理证明：令

k-n=r,当r<0时x(rT)=0超前定理令r=

k+n,3.复平移定理证：令：则：例7-11已知,求X(z)。解：4.复域微分定理证：例7-12已知x(t)=t3,求X(z)。解:5.初值定理证明：由z变换的定义有6.终值定理证明:上二式相减:例7-13已知，求的z变换。

解因为由实位移定理有由微分定理有四、Z反变换1>长除法 例2>部分分式法 例

3>留数计算法 例X(z)的一般形式为

)()(nmzX≤

=110110azazabzbzbnnnmmm++++++--LL用长除法求出z-1的升幂形式

X(z)=

c0+c1

z-1+c2

z-2+…+

ckz-k+…Az+p11X(z)z=Az+p22++…（3）逐项求Z反变换展开成部分分式和的形式X(z)z（1）将（2）将等号两边各项同时乘以复变量z单极点：重极点：求X(z)=的反变换，其中e-aT

=0.511-ez-aT-1解用长除法将X(z)展开为无穷级数形式)LL0.1251250.-250.0.250.250.5

0.1250.25

332221321----------++++zzzzzz10.5

--z0.5111-z1

0.5-0.511-zzzz返回0.5L0.1250.25321---++++zzzX(z)=1所以例求的Z反变换2)1)((10)(--=zzzzX解首先将展开zzX)(210110-2)1)((10)(-+-=--=zzzzzzX得210110-)(-+-=zzzzzX因为k--zzzz22

1,111=][-=][-ZZ所以x(kT

)=10(-1+2k)k=0，1，2，…

∑-+=)()2(-110)(=0kkkTttxd*∞返回例求的Z反变换21)2)(()(--=zzzzXL0,1,2,

122)(11211)(221)(1)2)((dd1)!-(212)(1)2)((1)2)((res)(解221222212=--=---+-=][---+---=][--===-∑kkkzzzzzzzzzzzzzkTxkkzkzkk∑∞=---=0)(1)(2)(kkkTtktxd*或返回例作业(22/11)7-2（3）7-3（3）7-4(4)7-5(2)§7.4离散系统的数学描述

一、差分方程反映离散系统输入-输出序列之间的运算关系一阶惯性环节x(t)

K

Ts+11y(t)其微分方程为：ab一阶线性常系数差分方程x(t)

K

Ts+11TTy(t)递推法：差分方程的求解令k=0，求令k=1，求……用Z变换解差分方程例7-13设系统有如下差分方程已知：输入：求系统响应解：根据超前定理和求z反变换（k=2，3，…）设离散系统的差分方程为

y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=x(k-2)式中≠====0

00

1)(

0,(0)(-1)kkkxyy{求系统的响应y(k)解对差分方程取Z变换(1+3z-1+2z-2)Y(z)=X(z)z-2)(+-+=++=21231)(-12zzzzZzzzY查表，并应用延迟定理，得y(k)=(-1)k-1-(-2)k-1

k=1，2，3，…Y(z)=

X(z)1z+3z+22整理，得X(z)=1，因此7-14二、脉冲传递函数（z传递函数）设一串脉冲依次加到线性环节上x(t)

G(s)y(t)x*(t)y(t)0tx*(t)t0y(t)=x(0)g(t)+x(T)g(t-T)+…+x(kT)g(t-kT)所以在采样时刻由z变换定义设

k-i=n脉冲传递函数X(z)

G(z)Y(z)在z域：说明：所求的z传递函数，是取系统输出的脉冲序列作为输出量。x*(t)x(t)Y(t)Y(z)G(s)TTY*(t)X(s)Y(s)G(s)表示的是线性环节本身的传递函数，而G(z)表示的是线性环节与采样开关组合体的传递函数。已知，求z传递函数G(z)10)(10)(+=sssG解：将G(s)分解成部分分式1011)(+-=sssG逐项求z变换，得-)1)(()(11)(101010TTTezzezezzzzzG-----=---=例7-15系统如图：T=1s,a=0.693,Xr(t)=1(t)，求脉冲传函和输出响应解:(1)(2)Xr(t)的z变换为例7-16输出函数的z变换为：求z反变换：阶跃响应序列：三、开环系统的z传递函数(1)

串联环节之间无采样器Y(z)X(z)=Z[G(s)G(s)]=GG(z)1212x(t)x*(t)TG(s)1G(s)2y(t)1y(t)y*(t)x(t)x*(t)TG(s)G(s)1y(t)y*(t)2

串联环节之间无采样开关时，总开环脉冲传函等于各环节传递函数之积的z变换。(2)

串联环节之间有采样器总的z传递函数等于各串联环节z传递函数的乘积Y(z)X(z)=G(z)G(z)12通常G1G2(z)≠G1(z)G2(z)G(s)1G(s)2x(t)x*(t)y(t)1y*(t)1y(t)y*(t)TT四、闭环系统z传递函数x(s)e(s)e*(s)y(s)TG(s)H(s)+-b(s)y*(s)Y(z)X(z)=

G(z)1+GH(z)Y(z)=

NG(z)1+GG(z)212例7.17x(t)=0y*(t)y(t)n(t)e(t)e*(t)G(s)2G(s)1T-例7-17

设闭环系统结构图如图所示。求系统输出的z变换

解因为Y(z)=XG(z)-GH(z)Y(z)整理，得

Y(z)=

XG(z)1+GH(z)返回x(t)e(t)G(s)H(s)y*(t)y(t)y*(t)例7-18.求离散系统的脉冲传递函数

-G1(s)G2(s)H(s)r(t)

e(t)e*(t)

d(t)

b(t)

Y*(t)Y(t)++假定d(t)=0,得结构图如下：解：G1(s)G2(s)H(s)r(t)

e*(t)

Y*(t)Y(t)列方程：联立求解：G1(s)G2(s)H(s)r(t)

e*(t)

Y*(t)Y(t)-TTb(t)得到输出Z传递函数：假定输入r(t)=0,得离散控制系统的结构图：-G2(s)G1(s)H(s)r(t)=0

e*(t)

Y*(t)Y(t)

d(t)++所以，有

因为：例7-19采样系统如图，求闭环脉冲传递函数，并求系统在单位阶跃下的输出脉冲序列，设采样周期T＝0.1秒。

r

－

T

e*(t)

Y*(t)

Y(t)

解：而

所以

输出z变换表达式Y(z)由上式可求输出脉冲序列输出脉冲序列波形：Y*(t)

t0.10.20.30.40.50.6例题已知离散控制系统结构，分析离散系统稳定性与采样周期的关系。解开环脉冲传递函数G(z)令e–T=a则闭环特征方程1+G(z)=0经整理为z2+(T-2)z+1-Ta=0r

(t)

y(t)

y*(t)

T

-T

代入上式，经整理得到(T-Ta)W2+2aTW+4–T–Ta=0从而求得使系统稳定的T的取值范围由于T总是取大于零的数，因此，若使采样系统稳定，采样周期不能大于等于4秒。当T=1秒时，离散系统单位阶跃响应可求得如下y*(t)=0.368δ(t-1)+1δ(t-2)+1.399δ(t-3)+1.399δ(t-4)+1.147δ(t-5)+0.894δ(t-6)…其输出响应见图7-38a当T=4秒时，离散控制系统的单位阶跃响应求得如下y*(t)=3.02δ(t-T)-2.12δ(t-2T)+5.38δ(t-3T)-4.89δ(t-4T)+8.74δ(t-5T)-9.07δ(t-6T)+…其输出响应与采样周期关系如下:

T2T3T4T5T6T

T2T3T4T5T6T

(a)T=1(b)T=4

五、z变换法的局限性1z变换是建立在理想采样开关的基础上的。2离散系统的输出大多是连续信号y(t)而不是采样信号y(kT)。用一般的z

变换只能求出采样输出y(kT)，这样就不能反映采样间隔内的y(t)值。3用z

变换分析采样系统时，系统传递函数G(s)的极点数目必须比零点数目多两个以上，或者满足

→=sssG0)(

lim∞这样在t=0时，系统的脉冲响应没有跃变。作业（25/11）7-67-7（1）7-9§7.5离散控制系统的分析一、离散系统的稳定条件1.z平面和s平面之间的关系稳定条件的对应关系 jωσ

s平面1-1Re0Im

z平面S＝0虚轴上(临界稳定)|z|＝1单位圆的圆周

s＞0右半平面(不稳定域)|z|＞1单位圆的外部不稳定域不稳定域s＜0左半平面(稳定域)|z|＜1单位圆的内部稳定域稳定域例7-20Tu=100ms,T=100ms,k=10,

判断稳定性解：0)1())(1(=-+----ezkezzuTTuTT876.4076.00368.0952.4212-===++zzzz代入已知量，得：特征根有一个在单位圆外，系统闭环不稳定。闭环系统的特征方程：1+Wk(z)=02.代数判据 在离散系统中，引进w变换令

或

其中Z和W可写为

z=x+jy

w=u+jv

当x2+y2=1对应z平面单位圆

u=0即w平面上的虚轴当x2+y2<1z平面上单位圆内部

u<0即左半w平面当x2+y2>1z平面上单位圆外部

u>0

即右半w平面ReReIm

Im

z平面到w平面的映射z平面w平面注意：进行w变换是应用劳斯判据分析线性离散系统稳定性必不可少的一步。方法为：求出开环脉冲传递函数A(z)将代入，得到1+D(w)=0应用Routh判据写出闭环特征方程1+A(z)=0例7-21离散系统如图所示，采样周期T=1秒，分析离散控制系统的稳定性解：r(t)

y(t)

由1+A(z)=0得将代入，列劳斯表系统不稳定例7-22系统结构如图。T=0.1，求使离散系统稳定的K值范围。

r(t)

y*(t)y(t)T解:开环脉冲传递函数为闭环特征方程1+A(z)=0即Z2+(0.632k-1.368)Z+0.368=0

代入，整理0.632Kw2+1.264w+2.736-0.632K=0利用劳斯判据，可得使系统稳定的K值范围0<K<4.32二、离散系统的瞬态响应闭环脉冲传递函数当输入为单位阶跃时展开，取z反变换得y(k)1、极点位于Z平面单位圆内和圆外实轴上时2、极点位于Z平面单位圆内和圆外复平面上时闭环极点分布对瞬态响应的影响0ImRe闭环极点的瞬态分量-11×0t×0t××0t×0t×0t三、z平面上的根轨迹离散系统闭环特征方程1+A(z)=0其中A(z)为开环z传递函数

z平面上的根轨迹作图方法与s平面上的作图规则完全一致。需要注意的是：在连续系统中，稳定的边界是虚轴，而在离散系统中，稳定的边界是单位圆。例7-23采样周期T=1s,作以k为变量的根轨迹。解：ReIm在z=1和z=0.368处有两个极点,z=0处有一个零点(3)