4.1数列的概念（1）B提高练（解析版）

4.1数列的概念（1）-B提高练一、选择题1．数列2，0，2，0…的通项公式可以是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】选项A中，取不到1，其通项公式中不含，A错误；选项B中，当是奇数时，，当是偶数时，，B正确；选项C中，，C错误；选项D中，，D错误．故选：B．2．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项【答案】C【详解】令，解得.故选：C3．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（）．A．648 B．722 C．800 D．882【答案】C【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：．则此数列第40项为．故选：C4．已知数列的通项公式为（），且数列从第项起单调递减，则的最小值为（）A．11 B．12 C．13 D．不存在【答案】A【详解】，，，由数列从第项起单调递减可得，即，，解得或（舍去），，，，，即从第11项起，单调递减，的最小值为11.故选：A．5．（多选题）已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A． B．C． D．【答案】BD【详解】因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A：不符合题设；选项B：，符合题设；选项C：，不符合题设；选项D：，符合题设.故选：BD.6.（多选题）若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（）A． B． C． D．【答案】CD【详解】对，若，则，所以不为递减数列，故错误；对，若，则，所以为递增数列，故错误；对，若，则，所以为递减数列，故正确；对，若，则，由函数在递减，所以数为递减数列，故正确.故选：.二、填空题7．__________.【答案】【详解】数列的各项可以顺次整理为：分母是项数加1，分子都是2，前面的正负号可用调节，得到,8．已知，若数列中最小项为第3项，则________．【答案】【详解】因为开口向上，对称轴为，则由题意知，所以．9．若数列{an}为单调递增数列，且，则a3的取值范围为__________.【答案】(-∞，6)【详解】当n≥2时，，因为数列{an}为单调递增数列，所以对n≥2(n∈N)恒成立，即λ＜2n+1对n≥2(n∈N)恒成立，所以λ＜8，所以，故a3的取值范围为(-∞，6).10.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是__________．【答案】144【详解】由题意及图形知，不妨构造数列表示第行实心圆点的个数的变换规律，其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点．故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和．即，且时，，故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144．三、解答题11.在数列中，.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？（2）求数列中的最大项.【详解】（1）令，解得或（舍去）.所以（2），由于，所以最大项为12.在数列中，已知，且.（1）求通项公式；（2）求证：是递增数列；（3）求证：.【详解】（1）∵，∴解得因此.证明（2）∵，∴，故是递增数列.（3）∵，而，∴.故.A级必备知识基础练1.[探究点三]数列{an}中,若an=n16-2n,则a4A.12 B.2 C.22 D.2.[探究点三]已知数列-1,14,-19,…,(-1)n1nA.15 B.-15 C.125 D3.[探究点三]已知数列的通项公式an=3n+1,n为奇数,2n-A.70 B.28 C.20 D.84.[探究点三]数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),…的第2n项为()A.6n-1 B.-6n+1 C.6n+2 D.-6n-25.[探究点二·2023陕西西安检测]数列-2,4,-6,8,…的通项公式可能为()A.an=(-1)n+12n B.an=(-1)n2nC.an=(-1)n+12n D.an=(-1)n2n6.[探究点二、三](多选题)已知数列2,2,6,22,…,则下列说法正确的是()A.此数列的通项公式是2B.8是它的第32项C.此数列的通项公式是nD.8是它的第4项7.[探究点一](多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,12,1B.sinπ7,sin2π7,sin3C.-1,-12,-14,-18,…,D.1,2,3,…,8.[探究点四(角度2)]已知数列{an}的通项公式为an=2021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为.

9.[探究点三]已知数列{an}的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象:(1)an=2;(2)bn=n10.[探究点二]写出以下各数列的一个通项公式.(1)1,-12,14,(2)10,9,8,7,6,….(3)2,5,10,17,26,….(4)12,(5)3,33,333,3333,….11.[探究点三]已知数列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.(1)求a5.(2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项?B级关键能力提升练12.设an=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…A.14 B.C.12+1313.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是()A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项14.(多选题)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以是()A.an=2,n为奇数,0,n为偶数 B.an=C.an=2sinnπ2 D.a15.[2023湖南长沙月考]数列{an}的通项公式an=(7-t)n+4,nA.[4,7) B.325,7 C.[325,7) 16.已知数列{an}的通项公式为an=3n+k2n,若数列{an}为递减数列,则实数17.函数f(x)=x2-2x+n(n∈N*)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列{an},{bn}的通项公式分别是an=,bn=.

18.已知数列{an}的通项公式为an=n2-21n2(n(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?C级学科素养创新练19.1766年,德国有一位名叫提丢斯的数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96,…,经过一定的规律变化,得到新数列:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…,科学家发现,新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离,并据此发现了“天王星”“谷神星”等天体,这个新数列就是著名的“提丢斯—波得定则”.根据规律,新数列的第8项为()A.14.8 B.19.2 C.19.6 D.20.420.若数列{an}的通项公式为an=nn2+2020(n∈A.第43项 B.第44项C.第45项 D.第46项21.在数列{an}中,an=n2(1)求数列的第7项.(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内.(3)区间131.B由an=n16-2n可知16-2n>0,即n<8,所以a2.D第5项为(-1)5×152=-3.C由an=3n+1,n为奇数,2n-2,n为偶数,4.B由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为an=(-1)n-1(3n-1),所以第2n项为a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.5.B数列-2,4,-6,8,…的奇数项为负,偶数项为正,且均为2的倍数,故an=(-1)n2n.故选B.6.AB数列2,2,6,22,…,即2,4,6,8,…,则此数列的通项公式为2n,故A正确,C错误;令2n=8,解得n=32,故8是它的第32项,故7.CD选项C,D既是无穷数列又是递增数列.8.673由an=2021-3n>0,得n<20213=又因为n∈N*,所以正整数n的最大值为673.9.解列表法给出这两个数列的前5项:n12345an22222bn1-43-165它们的图象分别为10.解(1)an=(-1)n+112(2)an=11-n;(3)an=n2+1;(4)an=1n(5)an=13(10n-1)11.解(1)由已知,得1-p+q=0,4-2p+q=-4,解得p=7,q=6,所以an(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.12.C∵an=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+13.C因为an=-2n2+25n=-2·(n-254)2+6258,且n∈N*,所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第614.ABC∵an=2∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确;∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;∵an=2innπ2s,∴a1=2sinπ2=2,a2=2sin2π2=0,a3=2sin3∵an=21-(-1)n2,∴a1=21-(-1)12=2,a2=21-(-1)2215.A因为数列{an}的通项公式an=(7-t)n+4,n≤4,tn-2,故选A.16.(0,+∞)由数列{an}为递减数列可知an+1<an对n∈N*恒成立,即3(因此3(n+1)+k2n+1−3n+k2n=3(n+1)+k-6n-2k2n+1=3-k17.n-1n2-3n+3当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,即an=n-1;将x=n-1代入f(x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.18.解(1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项.令an=1,得n2-21n2=1,而该方程无正整数解,∴1不是数列{(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,则有an=an+1,即n2解得n=10,∴存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.19.C0,3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起,每一项是前一项的两倍,故该数列的第8项是192.新数列0.4