《简单复合函数的导数》课件

5.2导数的运算5.2.3

简单复合函数的导数

学习目标新课程标准解读核心素养1.了解复合函数的概念(重点)2.掌握复合函数的求导法则（难点）数学抽象3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数．(重点、难点)数学运算逻辑推理温故知新f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)探究一：如何求函数y＝ln(2x-1)的导数？探究新知现有方法无法求出它的导数：（1）用定义不能求出极限；（2）不是基本初等函数，没有求导公式；（3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题.探究新知问题1：函数y＝ln(2x-1)可以用基本初等函数表示吗？

定义形成

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).复合函数的概念：例1

指出下列函数的复合关系：

（1）（2）（3）（4）

由复合而成．

解：（1）（2）由复合而成．

（3）由复合而成．

（4）由复合而成．

例题精讲例2

写出由下列函数复合而成的函数：（1）（2）解：（1）（2）例题精讲探究新知

以函数y=sin2x为例，研究其导数.(1)猜想y=sin2x的导数与函数y=sinu，u=2x的导数有关.

以y′x

表示y对x的导数,以y′u

表示y对u的导数,以u′x

表示u对x的导数可以先得到函数y=sinu，u=2x的导数y′u=cosu,u′x

=2

(2)可以换个角度来求y′x

：y′x

=(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x可以发现，y′x

=2cos2x=cosu·2=y′u

·u′x探究新知

复合函数的求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.y′x＝y'u·u′x

[f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x)问题解决问题3：用新学的知识求函数y＝ln(2x-1)的导数函数y＝ln(2x-1)可以看成是由y＝lnu和u＝2x-1复合而成以y′u

表示对u求导,以u′x表示对x求导因为y'u＝(lnu)'＝,u'x＝2,所以y'x＝y'u·u'x＝

·2=

反馈练习例1：求的导数分析：解1：解2：可由y=sinu,u=2x复合而成xxxx2cos)2(sincos)(sin=¢Þ=¢?=2cos2x反馈练习例2设y=sin2x，求

y

.

解这个函数可以看成是y=sinx·sinx,可利用乘法的导数公式，将y=sin2x看成是由y=u2，u=sin

x复合而成.而所以这里，我们用复合函数求导法.反馈练习求

y

.解将中间变量u=1-

x2

记在脑子中.这样可以直接写出下式例

3方法归纳(1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；(2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算；

(3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数.分解求导回代探究三：通过以上练习，请你总结复合函数求导的一般步骤。反馈练习反馈练习反馈练习反馈练习小结反思小结123456789101112131415A级必备知识基础练1.[探究点一](多选题)下列函数是复合函数的是(

)BCD解析

A不是复合函数,B,C,D均是复合函数,其中B由y=cos

u,1234567891011121314152.[探究点二]函数f(x)=x(1-ax)2(a>0),且f'(2)=5,则a等于(

)A.1 B.-1 C.2

D.-2A解析

f'(x)=(1-ax)2-2ax(1-ax),则f'(2)=12a2-8a+1=5,解得a=1或a=-,又a>0,∴a=1.1234567891011121314153.[探究点二]函数y=xln(2x+5)的导数为(

)B123456789101112131415C1234567891011121314155.[探究点三]已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为(

)A.1 B.2

C.-1 D.-2B1234567891011121314156.[探究点三]函数f(x)=x(2x+1)3的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为

.

81解析

函数f(x)=x(2x+1)3,所以f'(x)=(2x+1)3+3x(2x+1)2×2,故f'(1)=27+54=81.1234567891011121314157.[探究点一、二]求下列函数的导数:(1)y=ln(ex+x2);(2)y=102x+3;解

令u=2x+3,则y=10u,∴yx'=yu'·ux'=10u·ln

10·(2x+3)'=2ln

10·102x+3.123456789101112131415(4)y=sin2xcos3x.解

∵y=sin

2xcos

3x,∴y'=(sin

2x)'cos

3x+sin

2x(cos

3x)'=2cos

2xcos

3x-3sin

2xsin

3x.B级关键能力提升练1234567891011121314158.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(

)A123456789101112131415解析

依题意得y'=e-2x·(-2)=-2e-2x,y

'|x=0=-2e-2×0=-2.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y=x1234567891011121314159.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(

)A123456789101112131415CD12345678910111213141511.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x),且f(lnx)=2x-lnx,则f'(1)=

.

2e-1解析

因为f(ln

x)=2x-ln

x,令t=ln

x,则x=et,所以f(t)=2et-t,所以f'(t)=2et-1,因此f'(1)=2e-1.12345678910111213141512.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若函数g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=

.

12345678910111213141513.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是

.

2x-y=0解析

设x>0,则-x<0,f(-x)=ex-1+x.又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.所以当x>0时,f(x)=ex-1+x.因此,当x>0时,f'(x)=ex-1+1,f'(1)=e0+1=2.则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f'(1)=2,所以切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.C级学科素养创新练12345678910111213141514.(多选题)若直线l与曲线f(x)=e2xcos3x在点(0,1)处的切线平行,且两直线间的距离为,则直线l的方程可能为(

)A.y=2x+6 B.y=2x-4C.y=3x+1 D.y=3x-4AB解析

∵f'(x)=e2x(2cos

3x-3sin

3x),∴f'(0)=2,则所求的切线方程为y=2x+1.设直线l的方程为y=2x+b,则

,解得b=6或b=-4.∴直线