北师版高考理科数学一轮总复习课后习题 解答题专项6 概率与统计

解答题专项六概率与统计

解答题专项练

1.(全国甲，理17)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品

和二级品，为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200

件产品,产品的质量情况统计如下表：

机床•级品二级品总计•

甲机床15050200

乙机床12080200

总计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差

异？

2

•x2*—_____n_(_a_d_-b_c_)_____

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(x2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：(1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为黑=7；

2004

乙机床生产的产品中一级品的频率为黑=|.

(2)由题意

22

2n(ad-bc)400x(150x80-120x50)_1八ci-八「

x二二—------――^二-----------------------------------------------^10.256>6.635.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)200x200x270x130

所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

2.（全国HI,理18）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质

量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表（单位:天）:

空气质量等锻炼人次

级[0,200](200,400](400,600]

1（优）21625

2(良)51012

3（轻度污

678

染）

4（中度污

720

染）

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组

区间的中点值为代表）;

⑶若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的

空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成

下面的2X2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到

该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?

空气质量情况人次W400人次＞400

好

不好

2

•x-_____n_(_a_d_-b_c_)_____

(a+b)(c+d)(a+ci(b+d)'

P(x2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值

如下表：

空气质量等

1234

级

概率的估计

0.430.270.210.09

值

⑵一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

—X(100X20+300X35+500X45)=350.

(3)根据所给数据,可得2X2列联表:

空气质量情况人次《400人次>400

好3337

不好228

根据列联表得X2=10C，x(33x8-22x37)2^5.820.

由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该

市当天的空气质量有关.

3•第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的

络基础设施.某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度，随机抽取

100名学生参与测试,并将得分绘制成如下频数分布表.

[30,[40,[50,[60,[70,E80,[90,

得分

40)50)60)70)80)90)100]

男性

4912131163

人数

女性

122211042

人数

（1）将学生对“5G”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和

“不太了解”（得分低于60分）两类,完成2X2列联表,并判断是否有99%

的把握认为学生对“5G”的了解程度与性别有关?

性别不太了解比较了解总计

男

女

总计

(2)以这100名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的

概率,现从该校学生中，有放回地抽取3次,每次抽取1名学生，设抽到“比

较了解”的学生的人数为X,求X的分布列和数学期望.

附：X三墨(n=a+b+c+d).

(a+b)(c+d)(ba?+c.i(b+d)

临界值表:

P(x2>k)0.100.050.01

k2.7063.8416.635

解：(1)由题意可得列联表如下

性别不太了解比较了解总计

男253358

女53742

总计3070100

x、，2二-1-00-x-(-2-5-x3-7---3-3-x5-)-^4111.291>6.6”35匚,

30X70X42X58

所以有99%的把握认为学生对“5G”的了解程度与性别有关.

(2)由题意可得抽取的100名学生中“比较了解”的频率为喘=看故抽

取该校1名学生对“5G”“比较了解”的概率为高，

所以)CB(3，V),

k

P(X=k)=C^(^)(^p,k=0,1,2,3,

即X的分布列如下

X0123

27189441343

P

1000100010001000

所以EX=np=3X—=—.

1010

4.(湖南衡阳三模)某部门为了了解全市中学生的视力情况,采用分层抽样

方法随机抽取了该市120名中学生，已知该市中学生男女人数比例为7：

5,统计了他们的视力情况,结果如表：

性别近视不近视总计

男30

女40

总计120

⑴请把表格补充完整,并判断是否有99%的把握认为近视与性别有关?

⑵如果用这120名中学生男生和女生近视的频率分别代替该市中学生男

生和女生近视的概率,且每名同学是否近视相互独立.现从该市中学生中

任选4人,设随机变量X表示4人中近视的人数,试求X的分布列及其数学

期望EX.

附.2二_____。(ad-be)2_______

x其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(x2>k)0.100.050.01

k2.7063.8416.635

解：(1)由题意可知，因为从该市随机抽取了120名中学生并且该市中学生

男女人数比例为7：5,所以该市抽取男生人数为70,抽取女生人数为50.

所以2X2的列联表如下

性别近视不近视总计

男304070

女104050

总计4080120

2

因为X2^2UX(3OX4OWX40)=竺七857>6.635,所以有99%的把握认为近

40x80x70x507

视与性别有关.

(2)由图表可知，男生近视的概率为景女生近视的概率为:

由该市中学生男女人数比例为7：5,设该市共有中学生人数12n,可得,其

中男生人数约7n,近视男生人数约3n,女生人数约5n,近视女生人数约n,

所以任取一名中学生其近视的概率

12n3

由题意可知，随机变量X〜B(4,《)，且X的所有可能取值为0,1,2,3,1,

P(X=k)=C/X《『X(l-p4-k,P(X=0)=(l-1)4=^,

P(X=l)=C|x|x(l-1)3=||,

P(X