2025四川省达州市中考真题数学试题(解析版)

达州市2025年高中阶段学校招生统一考试暨初中学业水平卷数学本次考试采取闭卷形式，总时长为120分钟，总分150分。试卷由两部分组成：第I卷（选择题）涵盖第1至2页，第II卷（非选择题）涵盖第3至8页，全卷共计8页。请提供需要重写的试题内容。1．在开始答题之前，请考生使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡指定区域准确填写姓名、准考证号及座位号。待监考人员完成条形码粘贴后，请仔细核对条形码上的各项信息是否与本人准考证信息相符。2．对于选择题，请使用2B铅笔在答题卡的指定区域进行规范填涂。若需修改，请先用橡皮擦除干净，再涂写新的选项标号。非选择题请统一使用0.5毫米黑色签字笔书写，且答案必须填写在答题卡对应的方框内，超出区域的部分将不予计分。请注意，直接在试卷或草稿纸上作答均视为无效。3．请保持答题卡整洁，严禁折叠、撕破或弄皱，且禁止使用修正带、涂改液、刮纸刀等工具。4．在考试时间截止后，请将答题卡与试卷共同上交。第一卷（单项选择题，总分40分）一、单项选择题（每题4分，总计40分）1.如果收入100元记作元，那么支出40元应记作（）A.元B.元C.元D.元【答案】C【解析】【解析】本道题目旨在考察正数与负数在实际场景中的具体应用，解题的核心在于准确把握正负号的相对性。请利用正负数能够表征相反意义量这一特性进行求解。【详解】解：如果收入100元记作元，那么支出40元应记作元；正确选项为：C。2.观察下方大竹东汉醪糟包装盒所构成的立体几何图形，请推断其主视图是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【解析】本道题目旨在考察对几何体三视图的掌握情况，解题的关键在于准确理解主视图是指从物体正前方观察到的投影图形。请依据主视图是由物体的正视方向所观察到的图形这一原则进行解答。【详细解析】解答：大竹东汉醪糟包装盒所构成的空间几何图形，其主视图呈现为：因此，正确选项为：B。3.悟空号全海深是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器，具备在米深海自主作业的能力，数据用科学记数法表示为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：，正确选项为：B。4.如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【解析】本道题目主要考察对平行线性质的掌握程度。解题的核心在于准确把握题意，并灵活运用平行线的相关性质。根据题意可得，然后根据平行线的性质结合角的和差即可求解．【详解】解：如图，根据题意可得，，，；因此，正确选项为：A。5.下列各式运算结果为的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【解析】此题的核心考点在于同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及同类项的合并。通过运用上述计算法则，分别推导出各选项中代数式的最终结果，即可锁定正确答案。【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；正确选项为：B。6.小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（）A.众数为5

B.中位数为6

C.平均数为6

D.极差为3【答案】A【解析】【解析】本题旨在考察对众数、中位数、平均数以及极差等统计学概念的理解。解题的核心在于能够灵活且熟练地运用这些基础统计知识。只需依次运用众数、中位数、平均数以及极差的相关定义进行分析，即可得出结论。【解析】解：观察该组数据可以发现，数字5出现的次数最多（共出现2次），因此该组数据的众数为5。由此可见，选项A的描述是正确的；将上述数据按升序排列为：3，4，5，5，6，7。由于处于中间位置的第3个数值与第4个数值的平均值为5，因此该组数据的中位数为5。由此可见，选项B的表述是不正确的；这组数据的平均数，故选项C说法错误；这组数据的极差是，故选项D说法错误；因此，正确选项为：A。7.根据《九章算术》中的记载：5头牛与2只羊的总价为10金，而2头牛与5只羊的总价为8金。若设单头牛的价格为x金，单只羊的价格为y金，则可以建立的方程组是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【解析】本题旨在测试对二元一次方程组实际应用的掌握程度，解题的核心在于准确把握题意并构建正确的等量关系；假设每头牛的价格为x金，每只羊的价格为y金。已知：5头牛与2只羊的总价值为10金，而2头牛与5只羊的总价值为8金，据此可以建立相应的方程组。【详细解析】解答：假设每头牛的价格为x金，每只羊的价格为y金，可列方程组为：；正确选项为：D。8.下面哪个选项的表述是正确的（）A.连接两点之间，线段的长度是最短的B.平行四边形属于轴对称图形C.若有意义，则x的取值范围是全体实数D.三角形的中位线能够将该三角形分割成两个面积相等的区域【答案】A【解析】【解析】本题重点考察了线段最短性质（两点之间线段最短）、平行四边形的中心对称特性、二次根式成立的条件以及三角形中位线定理。解题的核心在于对上述基础知识点的熟练运用。通过依次运用两点之间线段最短、平行四边形具备中心对称性、二次根式成立的条件以及三角形中位线定理等相关知识进行分析，即可得出答案。【解析】解：A.根据两点之间线段最短的公理，该选项的描述是正确的；B.平行四边形具有中心对称的特性，但并不具备轴对称的性质，因此该选项的描述是不正确的；C.若有意义，则x的取值范围是，故本选项说法错误；D.三角形的三条中位线将原三角形划分为四个面积均等的区域，因此该选项的表述是不正确的；正确选项为：A。9.如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（）A.21

B.14

C.13

D.9【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可．【详解】解：线段的垂直平分线交于点E，交于点D，，的周长，因此，正确选项为：C。10.如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：；；；．正确的个数为（）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个【答案】D【解析】【解析】此题旨在考察二次函数的图像特征、相关性质，以及二次函数与一元二次方程之间的内在联系。解题的核心在于能否熟练运用二次函数的图像及其性质。根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得，根据抛物线与x轴交于点，点，当时，即可逐一判断，进而求解.【详细解析】解答：该抛物线的开口方向朝上，且其与y轴的交点位于正半轴上，，抛物线与x轴交于点，点，当时，抛物线的对称轴是直线，，，因此，该结论成立；，即，，因此，该结论成立；，因此，该结论成立；综上所述，正确的表述共有4项；正确选项为：D。第二卷（非选择题部分，总分110分）二、填空题（每题4分，总计20分）11.因式分解：_______．【答案】【解析】【解析】本道题目旨在测试对多项式因式分解的掌握程度，解题的核心在于灵活运用相关的分解因式技巧；该多项式可通过提取公因式的方法进行因式分解。【详解】解：；故答案为：．12.已知关于的方程的一个根是，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解．【详解】解：关于的方程的一个根是，解得：，故答案为：．13.如图所示，一个圆锥的侧面展开后呈现为扇形。若该圆锥底面的半径为2，则该扇形对应的弧长为_______．【答案】【解析】【解析】此题旨在考察圆锥的计算能力，解题的核心在于掌握扇形弧长与圆锥底面圆周长相等这一关键关系；通过利用扇形的弧长等于圆锥底面圆周长这一关系进行计算即可得出结果。【详解】解：扇形的弧长=圆锥底面圆的周长；故答案为：．14.化简：_______．【答案】【解析】【解析】本题旨在考察同分母分式的减法运算，正确运用相关的计算法则是个解题的核心。首先对分母的符号进行处理，将其转化为同分母的分式，随后进行减法运算即可。【详解】解：，故答案：．15.定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，，经变换得，则点的坐标是_______．【答案】【解析】【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，进而得到，，推出，根据，求出点的坐标即可．【详解】解：过点作轴，为斜边为1的等腰直角三角形，，，是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的，，同理：，，，，，，，，，即：；故答案为：．三、综合解答题：在作答时，请提供完整的文字描述、逻辑证明过程或详细的计算步骤（总分90分）16.（1）计算：；（2）解不等式：并把解集表示在数轴上．【答案】（1）2；（2），数轴见解析【解析】【解析】本题旨在考查实数运算、一元一次不等式的求解以及解集在数轴上的表示方法，涵盖了绝对值与零指数幂等相关知识。解题的核心在于熟练运用运算定律并掌握解一元一次不等式的标准步骤。（1）先分别求出零指数幂的值、有理数的平方值以及绝对值，随后再执行加减运算；（2）遵循去分母$\rightarrow$去括号$\rightarrow$移项$\rightarrow$合并同类项$\rightarrow$系数化为1的解题流程求出结果，随后将该解集在数轴上标出。【详解】（1）解：；（2），，，，，解得：，原不等式的解为：，数轴的表达方式为：17.开展项目调研项目主题阳光学校学生研学需求情况调查调查人员数学兴趣小组调查方法抽样调查调研内容阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔．数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地）统计数据请结合前文提供的材料，完成以下各项任务：（1）请完善该条形统计图：其中，计划前往B研学基地的人数所对应的扇形圆心角为_______度；（2）假设该校学生总数为2000人，请推算选择前往A研学基地的学生大概有多少人；（3）甲同学在B、C、D三个研学基地中随机挑选一个前往，乙同学则在C、D两个基地中随机挑选一个前往。请通过绘制树状图或列出所有可能结果的表格，计算两名同学最终选择同一研学基地的概率。【答案】（1）（2）（3）【解析】【解析】本题的核心在于考察如何将扇形统计图与条形统计图中的信息进行有效关联。解题的关键在于：能够准确计算扇形统计图的圆心角度数，利用样本量对总体规模进行估算，并运用列表法计算概率。（1）根据的人数除以占比得到总人数，根据的占比乘以总人数得到的人数，进而根据总人数减去其他组的人数求得的人数，进而补全统计图，根据的占比乘以即可得出意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数；（2）根据样本估计总体，用乘以样本中的占比，即可求解；（3）可以通过列举所有可能结果的方法来计算概率，从而得出答案。【第一小问详细解析】解：总人数为（人）参加研学基地人数为（人）参加研学基地人数为：（人）请完善如下所示的统计图表，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是故答案为：．【第二小问详细解析】解：（人）答：估计全校参加A研学基地的学生人数为人；【第三小问详细解析】请提供需要重写的具体试题内容。甲乙共有种等可能结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果数有种，两位同学选择相同研学基地概率为．18.探索角平分线的性质与应用问题：作的平分线作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线；分析：众人均认可甲同学与工人师傅的处理方式，认为判定角平分线的关键在于运用三角形全等，而其中判定全等所采用的具体方法是_______；对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：三角形全等，，或，_______________；陷入了对丙同学处理方式的深思之中。任务：（1）请根据前文的讨论结果，将相应的依据部分予以完善；（2）请对丙同学的操作步骤进行验证。已知，求证：平分．【答案】（1）；全等三角形的对应角相等（2）请参阅解析部分【解析】【解析】本题旨在考察全等三角形的判定方法及其相关性质。通过构造角平分线并利用等边对等角的原理，掌握角平分线的具体性质是顺利完成本题的核心。（1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：三角形全等，，或，全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解；（2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证．【第一小问详细解析】解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：三角形全等，，或，全等三角形的对应角相等证明如下：根据作图可得，，，，与中，，，，平分；故答案为：；全等三角形的对应角相等．【第二小问详细解析】证明：，，，，，，平分．19.如图，直线与双曲线交于点，点．（1）请写出该一次函数以及反比例函数的解析式；（2）点P在x轴上，，求点P的坐标．【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为（2）点的坐标为或【解析】【解析】本题旨在考察一次函数与反比例函数图象交点的相关问题，重点涉及利用待定系数法确定函数解析式。准确推导出函数的解析式是完成本题的核心环节。（1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据即可求解．【第一小问详细解析】解：双曲线经过点，，，，，反比例函数解析式为：，直线经过点，点，，解得：，一次函数解析式为：；【第二小问详细解析】解：点P在x轴上，，，，，点的坐标为或．20.为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）【答案】无人机离湖面的高度为米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；过点作于点，设，根据题意得出，，在中，根据，列出方程，解方程，即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，依题意设，在中，，，在中，解得：答：无人机离湖面的高度为米21.总结与实践运用归纳是学好数学敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：（1）总结归纳：请结合图2的内容，列举出直角三角形的3项性质。由于您没有提供具体的试题内容，请发送需要重写的题目，我将立即为您进行专业去重处理。由于您没有提供具体的试题内容，请发送需要去重的题目，我将立即为您进行专业重写。____________________________________________________________________________．（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，，点D是的中点，，，试帮他判断四边形的形状，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）四边形是菱形，见解析【解析】【解析】本题旨在考察对菱形判定定理及直角三角形相关性质的理解。解题的核心在于能够熟练地掌握并灵活运用上述知识点。（1）能够陈述直角三角形的相关性质，例如：勾股定理、两个锐角之和为90°（互余）、斜边长度大于任意一条直角边等；（2）先证明为平行四边形，再由直角三角形斜边中线的性质得到，即可证明为菱形．【第一小问详细解析】解答：直角三角形具备以下三项基本性质：；；；【第二小问详细解析】解：四边形是菱形，理由如下：，，四边形是平行四边形，，点D是的中点，，四边形是菱形．22.为了推广达州当地文化并向游客展示巴人故里的魅力，一家文旅公司设计并推出了系列文创产品。其中，一款名为“巴小虎”的吉祥物成本为30元。若将该产品定价为40元，则每日销量为60件；市场调研显示，每当售价降低1元，每日的销售量将增加10件。（1）假设这款巴小虎吉祥物的价格下调x元，那么每日的销售量则为_______件；（2）为了给游客提供更多优惠，若要使文旅公司每日获得的利润为630元，则该款巴小虎吉祥物应降低售价多少元？（3）若文旅公司每日销售该款“巴小虎”吉祥物所获利润为W元，请问在售价设定为多少元时，日利润能够达到最高值？此时的最大利润额是多少？【答案】（1）（2）3元（3）当单价定为38元时，每日可获得最高利润，其最大值为640元。【解析】【解析】本题旨在考察一元二次方程及二次函数的实际应用。解题的核心在于准确把握题目含义，并据此建立相应的方程与函数解析式。（1）可以通过在原先每日销售的60件基础上，加上额外增加的销售数量来计算出结果；（2）假设这款巴小虎吉祥物的单价降低x元。利用“单件利润乘以销售件数等于总销售利润”这一关系建立方程，通过求解该方程即可得出结果；（3）假设该巴小虎吉祥物的单价下调x元。通过“单件利润$\times$销售件数$=$总销售利润”这一逻辑，可以构建出相应的二次函数表达式，随后利用二次函数的相关特性进行求解。【第一小问详细解析】解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；故答案为：；【第二小问详细解析】解答：假设这款巴小虎吉祥物的价格下调了x元，根据题意可得：，整理可得：，解得：，由于要让利于游客，舍去，当这款巴小虎吉祥物的售价降低3元时，文旅公司每日所获利润为630元。【第三小问详细解析】解答：假设这款巴小虎吉祥物的价格下调了x元，则，，当时，取最大值为640元，此时销售价为38元，答：当商品的售价设定为38元时，每日所获利润达到最高，其最大利润值为640元。23.如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，试求与半径的数量关系．【答案】（1）是的切线，理由见解析（2）【解析】【解析】本题的核心考点在于切线的判定方法、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及垂径定理。能够灵活运用并熟练掌握上述知识点是顺利完成本题的关键。（1）连接，则，根据可得，根据是的切线，可得，进而得出，即可得证；（2）根据已知条件，根据一线三等角证明得出相似比为，进而得出，过点作于点，则，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可得证．【第一小问详细解析】解：是的切线，理由如下：如图，连接，，，，，是的切线，，，又是的半径，是的切线；【第二小问详细解析】解：，，是等边三角形，，，，，，，，，，，；如图，连接，过点作于点，则，是的切线，，，在中，，，，，．24.如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M．（1）请写出该抛物线的函数表达式；（2）连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F．连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值；连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积．【答案】（1）（2）；的面积为2或3或【解析】【解析】（1）可以通过待定系数法来求得结果；（2）先求出点A的坐标，进而可判断，是等腰直角三角形，然后根据的外接圆直径是，可得其外接圆的半径，再利用等积法求出r，即可解决问题；先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标，作轴于点P，可得，继而可得，于是可得当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，然后分点F在不同内角平分线上共三种情况，外加当点重合于点O时，此时点F在的平分线上这种特殊情况，讨论求解即可．【第一小问详细解析】解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式。得，解得：，抛物线的解析式是；【第二小问详细解析】解：令，解得：，，B，C，，是等腰直角三角形，，,，当时，是等腰直角三角形，且，，的外接圆直径是，则其外接圆的半径，，，即，解得：，；，抛物线的对称轴是直线，顶点M的坐标是，直线与x轴的交点T的坐标是，作轴于点P，则在直角三角形中，，，当M、P、Q三点共线且轴时，值最小，此时Q、T重合，当点F在的内角的平分线上即时，如图，，，，E点与T点重合，B，C，直线的解析式是，当时，，点P的坐标是，，；当点F在的