角平分线性质经典习题

角平分线性质经典习题在平面几何的学习中，角平分线的性质无疑是一个核心知识点。它不仅自身具有重要的几何意义，更是解决许多复杂几何问题的关键桥梁。掌握角平分线的性质，并能灵活运用于解题，是提升几何推理能力的重要一步。本文将通过几道经典习题，深入剖析角平分线性质的应用，希望能为读者提供有益的启发。一、角平分线的核心性质回顾在探讨习题之前，我们有必要重温角平分线的核心性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。这一性质简洁明了，却蕴含着丰富的解题思路。其逆定理同样重要：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。这两个定理相辅相成，是我们解决与角平分线相关问题的主要依据。二、经典习题解析（一）直接应用性质求距离例题1：已知在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若AB=8，AC=6，△ABC的面积为21，求DE的长。分析与解答：由角平分线的性质可知，点D到AB和AC的距离相等，即DE=DF。设DE=DF=x。△ABC的面积可以看作是△ABD与△ACD的面积之和。即：S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD根据三角形面积公式，有：(1/2)×AB×DE+(1/2)×AC×DF=21将已知条件AB=8，AC=6，DE=DF=x代入上式：(1/2)×8×x+(1/2)×6×x=21化简得：4x+3x=21，即7x=21，解得x=3。因此，DE的长为3。思路点拨：本题直接考查角平分线性质的应用，通过将大三角形面积分割为两个小三角形面积之和，利用“等距离”这一特性，建立方程求解，思路清晰自然。（二）结合全等三角形证明线段关系例题2：已知在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AC平分∠BAD。求证：BC=CD。分析与解答：要证明BC=CD，我们可以考虑构造全等三角形。由于AC是角平分线，根据其性质，角平分线上的点到两边距离相等，这为我们构造全等条件提供了思路。过点C分别作AB和AD延长线的垂线，垂足分别为E、F。因为AC平分∠BAD，且CE⊥AB，CF⊥AD，所以CE=CF（角平分线性质）。又因为∠B+∠ADC=180°，而∠ADC+∠CDF=180°（平角定义），所以∠B=∠CDF。在△BCE和△DCF中：∠B=∠CDF（已证）∠BEC=∠DFC=90°（所作辅助线）CE=CF（已证）所以△BCE≌△DCF（AAS）因此，BC=CD（全等三角形对应边相等）。思路点拨：当题目中出现角平分线，且需要证明线段相等时，通过角平分线上一点向角的两边作垂线，构造出一对全等的直角三角形，是一种非常经典且有效的方法。本题还巧妙地利用了“同角的补角相等”这一知识点，为全等创造了条件。（三）利用角平分线判定定理确定点的位置例题3：已知在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，它们相交于点O。求证：点O在∠BAC的平分线上。分析与解答：要证明点O在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点O到∠BAC两边的距离相等即可。过点O分别作OF⊥AB于F，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H。因为BD是∠ABC的平分线，点O在BD上，且OF⊥AB，OG⊥BC，所以OF=OG（角平分线性质）。同理，因为CE是∠ACB的平分线，点O在CE上，且OG⊥BC，OH⊥AC，所以OG=OH。因此，OF=OH。又因为OF⊥AB，OH⊥AC，所以点O在∠BAC的平分线上（角平分线判定定理）。思路点拨：本题考查了角平分线性质定理与判定定理的综合应用。通过证明点到角两边距离相等，来确定点在角的平分线上，体现了“性质”与“判定”的辩证关系。三角形的三条角平分线交于一点（内心），这一重要性质也在此题中得到了体现。三、解题方法小结通过以上几道经典习题的解析，我们可以总结出运用角平分线性质解题的一些常用策略：1.直接应用性质求距离或证明线段相等：当题目中明确给出角平分线，且涉及到点到直线的距离时，首先应想到角平分线的性质，利用“距离相等”这一条件。2.构造辅助线——向两边作垂线：这是处理角平分线问题最常用的辅助线作法。通过作垂线，可以构造出全等的直角三角形，从而将角相等的条件转化为线段相等的条件。3.结合全等三角形：角平分线提供了角相等的条件，作垂线后又得到了直角相等和公共边（或角平分线性质得到的边相等），这些都是证明三角形全等的重要条件。4.利用判定定理定位角平分线：当需要证明某条线是角平分线时，可通过证明线上一点到角两边的距离相等