因式分解 单元整体教学设计（北师大版初中数学八年级下册）

因式分解单元整体教学设计（北师大版初中数学八年级下册）

一、教学背景分析

（一）教材分析

本单元“因式分解”是北师大版初中数学八年级下册第四章的内容，属于“数与代数”领域的重要组成部分。本章内容在初中数学知识体系中起着承上启下的关键作用。【非常重要】它上承七年级所学的整式乘除运算，是整式乘法的逆向变形；下启后续的九年级分式运算、一元二次方程解法以及函数等内容，是解决更为复杂的代数问题的基础工具。【核心素养指向】本节内容蕴含着丰富的数学思想，包括逆向思维、化归与转化思想、数形结合思想以及模型思想，是培养学生运算能力、推理能力和抽象思维能力的绝佳载体。【教材地位】本章主要包括因式分解的概念、提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）以及简单的十字相乘法（作为选学或拓展内容）几大核心板块。

（二）学情分析

学生在七年级已经熟练掌握了整式的加减乘除运算，特别是对单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的法则有深刻理解，并且已经学习了平方差公式和完全平方公式的几何意义与代数推导。这为本单元学习因式分解奠定了坚实的知识基础。【基础】然而，学生长期以来习惯于整式的正向运算，对于“逆向变形”的思维模式尚处于萌芽阶段，可能会遇到认知障碍。【难点】学生容易混淆因式分解与整式乘法的区别，对分解是否“彻底”缺乏判断力，对如何恰当地选择分解方法感到困惑。因此，本单元的教学需要从学生已有的运算经验出发，通过类比、对比，引导他们构建新的认知结构。

二、教学目标与核心素养

【整体目标】

1.理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，体会数学知识之间的内在联系。【基础】

2.掌握提公因式法，能准确找出多项式中各项的公因式，并熟练进行分解。【重点】【高频考点】

3.掌握平方差公式和完全平方公式的特征，能运用公式法对符合形式的多项式进行因式分解。【重点】【高频考点】

4.了解因式分解的一般步骤，能综合运用提公因式法和公式法对多项式进行分解，直至不能再分为止。【非常重要】【综合应用】

5.在探索因式分解方法的过程中，发展逆向思维能力和推理能力，感受化归思想在解决问题中的作用。【核心素养】

三、教学实施过程

本单元共计安排6课时，以下为详细的教学实施过程设计。

第一课时因式分解的概念与提公因式法（一）

（一）创设情境，引入新知

教师首先呈现一个实际问题：给定一个长为(a+b)、宽为c的长方形，求其面积。学生迅速得出c(a+b)。接着，教师将这个长方形分割为两个小长方形，一个长为a、宽为c，另一个长为b、宽为c，则总面积又可表示为ac+bc。由此得到等式c(a+b)=ac+bc。教师引导学生回顾，这是整式的乘法运算。随后，教师将等式反转，得到ac+bc=c(a+b)，并提出问题：这个变形过程叫什么？它有什么意义？从而引出本节课的主题——因式分解。【基础导入】

（二）概念剖析，辨析比较

教师引导学生观察ac+bc=c(a+b)这一等式，明确其左边是一个多项式，右边是几个整式乘积的形式。教师给出因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。【核心概念】紧接着，教师组织学生进行小组讨论，辨析因式分解与整式乘法的关系。学生通过观察发现，整式乘法是“积化和”，因式分解是“和化积”，二者是互为逆运算的恒等变形。【重要辨析】教师通过板书对比展示：

整式乘法:(a+b)(a-b)=a²-b²

因式分解:a²-b²=(a+b)(a-b)

教师强调，因式分解的对象必须是多项式，结果是整式的乘积，并且变形前后的式子必须恒等。通过几道判断题（如判断x²+2x+1=x(x+2)+1是否为因式分解）来巩固学生对概念的理解。【基础练习】

（三）探索方法，提炼公因式

教师板书多项式：ma+mb+mc。提问：这个多项式各项有什么共同特点？学生观察得出，各项都含有相同的因式m。教师顺势给出公因式的定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。【核心概念】教师引导学生找出多项式3x²+6xy的各项的公因式。学生尝试后，教师总结找公因式的方法：【重点操作步骤】

1.定系数：各项系数的最大公约数。

2.定字母：各项都含有的相同字母。

3.定指数：相同字母的最低次幂。

按照这个方法，学生能准确找出3x²+6xy的公因式为3x。

（四）范例精讲，掌握提公因式法

教师以ac+bc为例，演示如何运用刚才找到的公因式进行分解：将公因式c提出来，多项式剩余部分a+b写在括号内，即c(a+b)。教师规范书写步骤，并命名这种方法为“提公因式法”。【核心方法】

教师出示例题：分解因式8a³b²-12ab³c。

教师引导学生按照“三步走”策略：

1.找公因式：系数8和12的最大公约数是4；相同字母a和b；a的最低次幂是a¹，b的最低次幂是b²。所以公因式为4ab²。

2.提公因式：将原多项式除以公因式，得到另一因式。(8a³b²-12ab³c)÷(4ab²)=2a²-3bc。

3.写成乘积形式：4ab²(2a²-3bc)。

教师强调，提公因式后，括号内的项数应与原多项式的项数相同。若某一项被完全提出，括号内对应位置应为“1”，不能省略。例如分解3x²y-6xy²+3xy，公因式为3xy，提取后结果为3xy(x-2y+1)。【难点突破】

（五）分层练习，巩固内化

学生独立完成以下练习：【基础练习】

1.分解因式：5x²y-10xy²。

2.分解因式：-4a³+16a²-18a。（教师强调首项系数为负时，通常将负号连同公因式一起提出，注意括号内各项变号）

3.分解因式：2m(m-n)+4n(n-m)。教师引导学生观察，发现(m-n)与(n-m)互为相反数，可通过变形将n-m化为-(m-n)，从而找出公因式2(m-n)。【重要技巧】

教师巡视指导，针对学生出现的错误（如漏项、符号错误）进行及时纠正和集体讲评。

（六）课堂小结，布置作业

教师引导学生回顾本节课所学内容：因式分解的概念及其与整式乘法的区别；公因式的定义及找法；提公因式法的步骤和应用技巧。【基础】作业布置为基础题和拓展题，以满足不同层次学生的需求。

第二课时提公因式法（二）与综合应用

（一）复习回顾，夯实基础

通过两道快速练习，检查学生对上节课内容的掌握情况：找出多项式6p(p+q)-4q(p+q)的公因式并进行分解。学生迅速反应公因式为2(p+q)，分解结果为2(p+q)(3p-2q)。【重要复习】

（二）深入探究，复杂情形

教师呈现例题：分解因式(2x+y)(3x-2y)-2x(2x+y)。

教师引导学生观察，多项式中两项都含有因式(2x+y)，这本身就是一个整体，应将其视为一个“整体公因式”提出。【整体思想】分解过程为：(2x+y)[(3x-2y)-2x]=(2x+y)(x-2y)。教师强调，提公因式后，括号内的项要进行合并同类项化简，并检查结果是否还能继续分解。

（三）能力提升，分解彻底

教师出示例题：分解因式-4m³+16m²-26m。

教师引导学生先观察系数和符号。学生提出公因式应为-2m。教师示范完整步骤：原式=-2m(2m²-8m+13)。教师追问：括号内的多项式还能继续分解吗？引导学生观察2m²-8m+13，发现其不是完全平方式，也不能再用提公因式，因此分解到此结束。【重要】教师强调，因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，这是检验分解是否彻底的关键标准。【难点】

（四）实际应用，模型构建

教师创设情境：如图，在一块边长为a的正方形空地的四角各修建一个半径为r的圆形花坛，请用代数式表示空地中剩余部分的面积，并对这个式子进行因式分解。学生列出代数式：a²-4πr²。教师引导，这个式子形式上符合平方差公式，但系数4π不是完全平方数，现阶段无法用公式分解，但可以提取公因式吗？4πr²系数不是整数，提公因式法在此处受到限制。由此引出，当多项式不符合提公因式条件时，我们需要探寻新的分解方法——公式法。【承上启下】

（五）课堂小结，方法梳理

师生共同总结提公因式法的关键：找准公因式、提尽公因式、符号处理要正确、分解结果要彻底。【重点归纳】

第三课时公式法——平方差公式

（一）复习引入，逆向思考

教师带领学生复习整式乘法中的平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。引导学生逆向观察，得到a²-b²=(a+b)(a-b)。教师指出，这正好符合因式分解的定义，即把一个多项式化成了几个整式的积的形式。由此引出利用平方差公式进行因式分解的方法。【基础】

（二）公式剖析，条件识别

教师引导学生深入剖析平方差公式的结构特征：【核心特征】

1.左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反（一正一负）。

2.右边是两个数的和与这两个数的差的积。

教师强调，公式中的a和b可以代表数、单项式，也可以是多项式。能运用平方差公式分解因式的多项式必须满足：①两项；②两项都能写成平方的形式；③两项符号相反。【重要判据】

（三）例题示范，规范应用

教师出示例题，分解因式：

1.4x²-9。

教师分析：4x²=(2x)²，9=3²，满足平方差公式条件。解：原式=(2x)²-3²=(2x+3)(2x-3)。

2.(x+p)²-(x+q)²。

教师引导学生将(x+p)和(x+q)分别看作一个整体，即公式中的a和b。解：原式=[(x+p)+(x+q)]·[(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q)。【整体应用】

3.16a^4-81b^4。

教师引导学生观察，16a^4=(4a²)²，81b^4=(9b²)²，第一次分解得(4a²+9b²)(4a²-9b²)。教师追问：还能继续分解吗？学生发现4a²-9b²仍然可以写成(2a)²-(3b)²，可以继续用平方差公式分解，而4a²+9b²在实数范围内不能再分解。所以最终结果为(4a²+9b²)(2a+3b)(2a-3b)。【非常重要】【分解彻底性】

（四）变式训练，灵活运用

学生完成以下练习：【高频考点】

分解因式：

(1)25m²-16n²

(2)a³b-ab（教师引导先提公因式，再应用公式）【综合】

(3)9(a-b)²-4(a+b)²

教师在巡视中重点指导学生识别“整体”和判断分解的彻底性，特别是对(2)题，强调“一提二套”的解题顺序。

（五）课堂小结，归纳步骤

教师引导学生总结运用平方差公式分解因式的步骤：首先观察多项式是否为二项式，其次判断两项是否能写成平方形式且符号相反，然后套用公式，最后检查各因式是否还能继续分解。【核心步骤】

第四课时公式法——完全平方公式

（一）温故知新，类比学习

教师复习完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。引导学生逆向思考，得到a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。由此引出利用完全平方公式进行因式分解的方法。【基础】

（二）特征分析，把握关键

教师引导学生观察符合完全平方公式的多项式的特征：【核心特征】

1.左边是三项式。

2.其中有两项是平方项，且符号都为正（即两个数的平方和）。

3.第三项是这两个数乘积的2倍（或-2倍），符号可正可负。

教师将这样的多项式称为“完全平方式”。【重要概念】教师强调，识别完全平方式的关键在于：找到两个平方项，并验证中间项是否为这两个数底数乘积的2倍。

（三）例题精讲，规范表达

教师出示例题，分解因式：

1.16x²+24x+9。

教师分析：16x²=(4x)²，9=3²，24x=2×4x×3，符合完全平方公式。解：原式=(4x)²+2·4x·3+3²=(4x+3)²。

2.-x²-4y²+4xy。

教师引导学生观察，首项为负，不符合公式中平方项为正的特征。如何处理？学生提出可以先提取负号。解：原式=-(x²+4y²-4xy)=-(x²-4xy+4y²)=-[x²-2·x·2y+(2y)²]=-(x-2y)²。【难点】

3.3ax²+6axy+3ay²。

教师引导学生发现，各项有公因式3a，应先提公因式。解：原式=3a(x²+2xy+y²)=3a(x+y)²。【综合】

（四）对比辨析，深化理解

教师给出几组多项式，让学生判断哪些能用完全平方公式分解，哪些能用平方差公式分解，哪些不能，并说明理由：【重要辨析】

(1)x²+x+1/4

(2)4m²-12mn+9n²

(3)9x²-6x-1

(4)a²+4ab-4b²

通过辨析，学生进一步巩固了两个公式的结构特征。

（五）巩固练习，形成技能

学生独立完成：【高频考点】

分解因式：

(1)25a²-20ab+4b²

(2)-a³+2a²b-ab²（先提公因式）

(3)(x²+1)²-4x²（先化为平方差形式，再考虑是否能用完全平方公式）

（六）课堂小结，方法梳理

师生共同总结公式法的适用条件，强调在分解因式时，首先要观察多项式是否有公因式（一提），再看几项式，决定用哪个公式（二套），并要检查是否分解彻底（三检查）。【非常重要】【解题流程】

第五课时十字相乘法（拓展与选学）

（一）问题引入，激发探究

教师提出问题：如何分解因式x²+5x+6？这个多项式既没有公因式，也不符合平方差或完全平方公式。从而引发学生的认知冲突，激发学习新方法的兴趣。【基础】

（二）逆向思考，构建模型

教师引导学生回忆整式乘法中的(x+2)(x+3)=x²+5x+6。那么，对于x²+5x+6，我们能否反过来找到两个一次因式呢？教师介绍十字相乘法：对于二次三项式x²+px+q，若能找到两个数a和b，使得a+b=p，ab=q，则x²+px+q=(x+a)(x+b)。【核心方法】

教师以x²+5x+6为例，演示十字相乘的过程：将二次项系数1分解为1×1，常数项6分解为2×3，交叉相乘再相加，1×3+1×2=5，等于一次项系数。则分解结果为(x+2)(x+3)。

（三）例题示范，掌握步骤

教师出示例题：

1.分解因式x²-7x+12。

教师引导学生寻找两个数，和为-7，积为12。这两个数同为负，即-3和-4。所以原式=(x-3)(x-4)。

2.分解因式x²+2x-8。

寻找两个数，和为2，积为-8。一正一负，且正数绝对值大，即4和-2。所以原式=(x+4)(x-2)。

3.分解因式2x²-5x-3。（二次项系数不为1）

教师介绍对于二次项系数不为1的情况，需将二次项系数也分解。2可分解为1×2，常数-3可分解为1×(-3)或(-1)×3，尝试交叉相乘，1×(-3)+2×1=-1，不等于-5；换为1×(-1)+2×3=5，不等于-5；再换为1×3+2×(-1)=1，不等于-5；最后尝试1×1+2×(-3)=-5，符合条件。所以原式=(x-3)(2x+1)。【难点】

（四）分层练习，逐步熟练

学生练习：【重点拓展】

(1)x²-8x+15

(2)x²+9x-22

(3)3x²+10x+7

(4)6x²-11x-10

（五）方法小结，明确适用范围

教师引导学生总结十字相乘法适用于分解二次三项式（或可化为二次三项式的多项式），其核心是尝试与验证，需要一定的数感。同时强调，这只是因式分解的一种补充方法，对于不能直接看出因式分解的二次三项式，它提供了一种有效的思路。【重要总结】

第六课时因式分解专题复习与综合提升

（一）知识建构，体系梳理

教师引导学生以思维导图的形式，回顾本章所学的所有因式分解的方法：【非常重要】【整体建构】

1.因式分解的定义。

2.分解原则：分解要彻底。

3.分解方法：

优先考虑：提公因式法（一提）。

其次考虑：公式法（二套）——平方差公式、完全平方公式。

拓展方法：十字相乘法。

一般步骤：一提二套三检查。

（二）易错点辨析，扫清障碍

教师集中展示学生在作业中常见的错误类型，组织学生“找茬”并改正：【难点突破】

1.概念混淆：如认为x²+2x+1=x(x+2)+1是因式分解。

2.提公因式不彻底：如分解3x²y-6xy²+3xy时，公因式找错为3xy，结果为3xy(x-2y)，漏掉了常数项1。

3.符号错误：如分解-4a²+9b²时，未正确处理负号，直接写为(2a+3b)(2a-3b)，应为(3b)²-(2a)²=(3b+2a)(3b-2a)。

4.公式误用：如将x²+4y²误用平方差公式分解。

5.分解不彻底：如将x^4-16分解为(x²+4)(x²-4)后停止，未将x²-4继续分解。

（三）综合应用，能力提升

教师呈现具有挑战性的综合