分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理

考纲・点击高考指数:★★★★★

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.

2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

基础知识梳理④夯基w实I▼基础盘点系统化I

[对应学生用书P167]

【梳理自测】

一、分类加法计数原理

1.（教材改编）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数

为（）

A.6B.5

C.3D.2

2.设x,y£N且工+），W3,则直角坐标系中满足条件的点回共有（）

A.3个B.4个

C.5个D.10个

答案：LB2.D

♦以上题目主要考查了以下内容：

完成一件事有〃类不同的方案，在第一类方案中有如种不同的方法，在第二类方案中

有砧种不同的方法，……，在第〃类方案中有，厮种不同的方法，则完成这件事情共有N=

如+用2~1种不同的方法.

二、分步乘法计数原理

1.（教材改编）由（M23这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有（）

A.23X个B.232个

C.174个D.168个

2.（教材改编）有不同颜色的四件衬衣与不同颜色的三条领带，如果一条领带与一件衬

衣配成一套.则不同的配法种数是.

3.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报

名方法共有种.

答案：I.C2.123.32

♦以上题目主要考查了以下内容：

完成一件事情需要分成〃个不同的步骤，完成第一步有〃八种不同的方法，完成第二步

有叱种不同的方法，……，完成第〃步有如种不同的方法，那么完成这件事情共有'=

〃取〃2•…♦〃的种不同的方法.

【指点迷津】

1.两个特点

分类加法计数原理的特点是独立、互斥；分步乘法计数原理的特点是关联、连续.解题

时经常是两个原理交叉在一起使用，两个原理综合使用时，一般先分类，再分步，分类要标

准明确，分步要步骤连续，有的题目也可能出现先分步，在“步”里面再分类.

2.两个关键

分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的步骤，既要合

理分类，又要准确分步.

聚焦考向透析④考点।透析06突破I'考句研析精法而］

JUJIA。KAOXiAN。TOUX1

［对应学生用书PI67］

考向一分类加法计数原理

幽k（2014•浙江省名校联考）如果正整数a的各位数字之和等于6,那么称a为“好

数”（如：6,24,2013等均为“好数”），将所有“好数”从小到大排成一列m，S，。3,…，

若。〃=2013,则，2=（）

A.50B.51

C.52D.53

【审题视点】2013是四位数，故“好数”按四位数，按三大类分首位为0、1、2每

一类再分，采用加法原理.

【典例精讲】本题可以把数归为“四位数”（含0006等），因此比2013小的“好数”

为OXXX,1XXX,2004,共三类数，其中第一类可分为：00XX,01XX,0600,

共7类，共有7+6+…+2+1=28个数；第二类可分为：10XX,11XX,I500,共

6类，共有6+5+4+3+2+1=21个数，故2013为第51个数，故〃=51,选B.

【答案】B

【类题通法】（1）分类加法计数原理的特点

①根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准；

②完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.

（2）使用分类加法计数原理应注意的问题

分类时标准要明确，分类应做到不重不漏.

1.从集合（1,2,3,…，10｝中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的

等比数列的个数为（）

A.3B.4

C.6D.8

解析：选D.当公比为2时，等比数列可为124或248：当公比为3时，等比数列可为

3II2

1,3,9:当公比为彳时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为彳，9w时，也有4个.

考向二分步乘法原理

物21（2012.高考辽宁卷）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不

同的坐法种数为（）

A.3X3B.3X（3!）3C.（3!）4D.9!

【审题视点】一家人视为一个整体，采用捆绑法，先排三个家庭，再排每个家庭的三

口人.

【典例精讲】第1步：3个家庭的全排列，方法数为3!,

第2步：家庭内部3个人仝排列，方法数为3!,共3个家庭，方法数为（3!»；

；・总数为（3!）X（3!因=（3!）4,故选C.

【答案】c

【类题通法】（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，必须要经过几步才能

完成这件事；（2）完成这件事需要分成若干个步曝，只有每个步骤都完成了才算完成这件事，

缺少任何一步，这件事都不可能完成；（3）解决分步问题时要合理设计步骤、顺序，使各步

互不干扰，还要注意元素是否可以重复选取.

2.用数字2、3组成囚位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有

个（用数字作答）.

解析：法一：用2.3组成四位数共有2X2X2X2=16（4、）,其中不出现2或不出现3的

共2个，因此满足条件的四位数共有16—2=14（个）.

法二：满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个2,三个3,共有4个：第二类

含有三个2,一个3共有4个：第三类含有二个2,二个3共有CZ=6（个），因此满足条件的

四位数共有2X4+Ci=14（个）.

答案：14

考向三两个原理的综合应用

IS商（2014.石家庄市模拟）为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文

艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项

目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为.（用数字

作答）

【审题视点】先分两类：参加乐器培训的是女生或男生，每一类中分步选舞蹈或演唱.

【典例精讲】若参加乐器培训的是女生，则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和

演唱培训，共有3X2X2=12种方案；若参加乐器培训的是男生，则各有1名男生、1名女

生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有2X3X2=12种方案，所以共有24中推荐方

案.

【答案】24

【类题通法】（I）解决此类综合题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”.

（2）解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时，应”先分类，后分步”.

。变式训练）

3.已知集合—2,3）,-4,5,6,一7},从两个集合中各取一个元素作为点

的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）

A.18B.10C.16D.14

解析：选D.M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共

有2X2个，在第二象限的点共有1X2个.N中的元素作点的横坐标，例中的元素作点的纵

坐标，在第一象限的点共有2X2个，在第二象限的点共有2X2个.所求不同的点的个数是

2X2+1X2+2X2+2X2=14（个）.

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［对应学生用书P168］

两个原理不清，分步与排列混淆致误

［易部:瞰临3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有（）

A.A1种B.G种

C.43种D.3“种

【正解】第1封信投到信箱中有4种投法：第2封信投到信箱也有4种投法：第3

封信投到信箱也有4种投注.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步计数原理可

得共有4?种方法，故选C

【答案】C

【易错点】（1）选择的标准出现错误，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法

有34种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中.

（2）与排列混淆，误认为3封信只能用三个信箱错选为A.

（3）与组合混淆，错选为B,U只表示适用了三个信箱，并没把信放入信箱，事情并没

“完成”.

【警示】（1）理清题目的条件、结论及完成的“事件”，合理选择分类原理和分步原

理.

(2)能否独立完成事情是区分分类还是分步的依据，如(1)中，把其中的一封信投到信箱

里，并没有完成任务，所以只能看做其中的一步，而不是一类.

(3)本题所完成的事是指：把3封信全部投到信箱，可以用一个信箱，也可用2、3个信

箱，故采用分步完成.

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1.(2013・高考山东卷)用0,1,…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为

()

A.243B.252

C.261D.279

解析；选B.0,1,2…，9玳能组成9X10X10=900(个)三位数，其中无重发数字的三位数

有9X9X8=648(个)，

・•・有重复数字的三位数有90()—648=252(个).

2.(2012・高考浙江卷)若从123,…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶

数，则不同的取法共有()

A.60种B.63种

C.65种D.66种

解析：选D.共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇

数，或全为偶数，或2个圻数和2个偶数，故不同的取法有Cg+C|+Cga=66(种).

3.(2013・高考福建卷，满足小人£{一1,01,2},且关于x的方程加+2