1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定第1课时

.5.2全称量词命题与存在量词的否定1．若p：∀x∈R，|x|≤1，则()A．p：∃x∈R，|x|>1B．p：∀x∈R，|x|>1C．p：∃x∈R，|x|≥1D．p：∀x∈R，|x|≥12．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>03．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数4．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为()A．∀x∈N，x3≤x2 B．∃x∈N，x3>x2C．∃x∈N，x3<x2 D．∃x∈N，x3≤x25．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题綈p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题6．命题“∃x∈N，x2>1”的否定是________．7．命题：∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________．8．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________．9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)∀x∈R，x2>0；(2)∃x∈R，x2＝1；(3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；(4)等腰梯形的对角线垂直．10．命题p是“对某些实数x，若x－a>0，则x－b≤0”，其中a，b是常数．(1)写出命题p的否定；(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？11．下列命题的否定是真命题的是()A．三角形角平分线上的点到两边的距离相等B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根12．已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．a<0 B．0≤a≤4C．a≥4 D．0<a<413．命题∀x∈R，x2－x＋3>0的否定是________，命题∃x∈R，x2＋1<0的否定是________．14．已知命题p：任意x∈R，x2＋2ax＋a>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是____________．15．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋116．已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．【答案与解析】1．答案A解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，∀x∈R，|x|≤1的否定为：∃x∈R，|x|>1，故选A.2．答案B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.3．答案B解析量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.4．答案D解析命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题；∴綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．故选D.5．答案C解析命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.6．答案∀x∈N，x2≤1解析由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题“∃x∈N，x2>1”的否定为“∀x∈N，x2≤1”．7．答案∀x∈R，x2－x＋1≠0.解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：∀x∈R，x2－x＋1≠0.8．答案存在x∈R，使得x2－2x＋4>0解析原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为：存在x∈R，使得x2－2x＋4>0.9．解(1)命题的否定：∃x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．(2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1，因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假．(3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假．(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．10．命题p是“对某些实数x，若x－a>0，则x－b≤0”，其中a，b是常数．(1)写出命题p的否定；(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？解(1)命题p的否定：对任意实数x，若x－a>0，则x－b>0.(2)b≤a.11．答案B解析A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题，B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题，C的否定：有些等边三角形不相似，假命题，D的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题，故选B.12．答案D解析∵命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)>0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×eq\f(1,4)<0，即Δ＝(a－2)2<4，则－2<a－2<2，即0<a<4，故选D.13．答案∃x∈R，x2－x＋3≤0∀x∈R，x2＋1≥014．答案{a|a≤0，或a≥1}解析若命题p为真命题，则Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1，所以当p为假命题时，a的取值范围是a≤0或a≥1.15．答案D解析由题意可知，全称量词命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1”，故选D.16．解因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a<0；综上知，实数a的取值范围是{a|－3≤a≤0}．A级必备知识基础练1.[探究点三]命题“∀x∈R,2x2+3x-5>0”的否定是()A.∀x∈R,2x2+3x-5<0B.∀x∈R,2x2+3x-5≤0C.∃x∈R,2x2+3x-5≤0D.∃x∈R,2x2+3x-5<02.[探究点一]下列命题中是存在量词命题的是()A.平行四边形的对边相等B.同位角相等C.任意实数都存在相反数D.存在实数没有倒数3.[探究点二·2024山西运城高二月考]下列命题中为真命题的是()A.∃x∈N,使4x<-3B.∀x∈R,x2+2>0C.∀x∈N,2x>x2D.∃x∈Z,使3x-2=04.[探究点三]命题“∃m∈N,m2+1∈N”的否定是(A.∃m∉N,m2+1B.∃m∈N,m2+1C.∀m∉N,m2+1D.∀m∈N,m2+15.[探究点三]已知命题p的否定为“∃x∈R,x2+1≤1”,则下列说法中正确的是()A.命题p为“∃x∈R,x2+1≥1”且为真命题B.命题p为“∀x∉R,x2+1>1”且为假命题C.命题p为“∀x∈R,x2+1>1”且为假命题D.命题p为“∃x∈R,x2+1≥1”且为假命题6.[探究点四]命题“∀x∈{x|1≤x≤2},x≥a”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥1 B.a<1C.a≥4 D.a≤47.[探究点二、三]写出下列命题的否定,并判断真假:(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;(3)某些梯形的对角线互相平分;(4)被8整除的数能被4整除.B级关键能力提升练8.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则p的否定是()A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根9.[2024河北模拟预测]命题p:∀x>1,x+2x-3>0,命题q:∃x∈R,2x2-4x+3=0,则()A.p真q真 B.p假q假C.p假q真 D.p真q假10.(多选题)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有()A.∃x∈R,x2-x+14<B.所有的正方形都是矩形C.∃x∈R,x2+2x+2≤0D.至少有一个实数x,使x3+1=011.(多选题)下列命题为存在量词命题的有()A.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点PB.有的有理数能写成分数形式C.线段的长度都能用正有理数表示D.存在一个实数x,使等式x2-3x+2=0成立12.若命题p:∃x∈R,x2-4x+a=0为假命题,则实数a的取值范围是;命题p的否定是.

13.某中学开展小组合作学习模式,高一某班某组小明同学给组内小亮同学出题如下:若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求实数m的范围.小亮略加思索,给了小明一道题:若命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求实数m的范围.你认为,两位同学出的题中m的范围是否一致?(填“是”或“否”).

14.命题“∃x∈R,使mx2-(m+3)x+m≤0”是假命题,求实数m的取值范围.C级学科素养创新练15.(多选题)下列命题是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的有()A.有一个x∈R,使得x2>3成立B.对有些x∈R,使得x2>3成立C.任选一个x∈R,都有x2>3成立D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立16.命题p是“对任意实数x,有x-a>0,或x-b≤0”,其中a,b是常数.(1)写出命题p的否定;(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真?答案：1.C由全称量词命题的否定知原命题的否定为∃x∈R,2x2+3x-5≤0.故选C.2.D根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知,A选项,“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质,是全称量词命题;B选项,“同位角相等”是所有的同位角都相等,是全称量词命题;C选项,“任意实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词,故其为全称量词命题;D选项,“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词,其为存在量词命题.故选D.3.B对于A,由4x<-3,得x<-34,所以不存在自然数使4x<-3成立,所以A错误;对于B,因为∀x∈R,x2≥0,所以x2+2≥2>0,所以B正确;对于C,当x=2时,2x=x2=4,所以C错误;对于D,由3x-2=0,得x=23∉Z,所以D错误.故选4.D原命题为存在量词命题,故其否定为∀m∈N,m2+1∉N.故选5.C∵命题p的否定为存在量词命题,∴命题p:∀x∈R,x2+1>1,当x=0时,x2+1=1,∴p为假命题.故选C.6.B命题“∀x∈{x|1≤x≤2},x≥a”为真命题,则a≤1,只有{a|a<1}是{a|a≤1}的真子集,故选项B符合题意.7.解(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m,方程x2+x-m=0都有实数根”,其否定是“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根”,注意到当Δ=1+4m<0,即m<-14时,一元二次方程没有实根,因此该命题的否定是真命题(2)命题的否定:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,是假命题.(3)命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.(4)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题.8.C命题p是存在量词命题,其否定为全称量词命题,即对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根.9.D对于命题p:因为x>1,所以x>1,所以x+2x-3=2(x+14)2-258>2(1+14)2-258=0,即命题p为真命题;对于命题q:因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以方程2x2-4x+3=0无解,即命题10.AC命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量词命题,故排除B.再根据命题的否定为真命题,即原命题为假命题.又D为真命题,故选AC.11.BD12.{a|a>4}∀x∈R,x2-4x+a≠0若命题p为假命题,则命题p的否定:∀x∈R,x2-4x+a≠0为真命题,则Δ=(-