2025-2026学年山西大学附属中学高二下学期3月月考数学试题含答案

高中山西大学附中2025～2026学年第二学期3月月考高二数学试题考查时间：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.2.设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是A.1 B.2 C.4 D.63.函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（）A. B.C D.4.设等比数列的前n项和为，若，则（）A. B. C. D.5.已知数列满足，设，则数列的前2026项和（）A. B. C. D.6.已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与相交于点，则（）A B.2 C.3 D.48.已知，，，则a，b，c的大小关系正确的一项是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列命题正确的有（）A.若，则B.已知函数，若，则C.若，则D.曲线上点P处切线的倾斜角的取值范围是10.为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则（）A.若，则的最小值为3B.点到直线的距离的最小值为C.若存在点，使得过点可作两条相互垂直的直线与圆都相切，则的取值范围为D.过直线上一点作抛物线两条切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为11.如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（）A.数列的通项公式 B.数列的通项公式C. D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________．13.已知直线与函数图象相切，则实数_____．14.抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上的另一点反射后，平行于入射光线射出，则______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列的前n项和为，，，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．16.已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求的方程；（2）若为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与交于两点，求面积的最大值.17.已知函数，．（1）求函数的单调性；（2）若函数在上单调递减，求a的取值范围．18.已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）设，记数列前项和，求证：.19.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：．（1）分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围．（2）已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线．（i）求曲线的方程；（ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积．

山西大学附中2025～2026学年第二学期3月月考高二数学试题考查时间：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由椭圆定义可求，由焦点坐标可求，根据关系可得方程.【详解】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且，所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得，所以椭圆方程是．故选：B．2.设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】【详解】试题分析：设前三项为，则由等差数列的性质，可得，所以，解得，由题意得，解得或，因为是递增的等差数列，所以，故选B．考点：等差数列的性质．3.函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据的图像，先判断和，进而得到的单调区间，逐一验证即可求解.【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为，当或时，，所以的单调增区间为，故选：B.4.设等比数列的前n项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解法一：结合已知条件利用等比数列前n项和的基本量运算求解即可；解法二：利用等比数列前n项和的性质求解即可.【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，，则公比，否则，，，不符题意；所以，解得，所以．所以．解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列，则，即，求得，故，所以．5.已知数列满足，设，则数列的前2026项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先应用已知等式作差计算得出，再应用裂项相消法计算求解.【详解】因为①，当时，②，由①-②得到，得到，又时，，满足，所以，则，所以，则数列的前2026项和为.故选：C.6.已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用几何性质确定中得，利用可得的关系，即可得椭圆离心率.【详解】解：如图，抛物线的准线与轴的交点为因为是椭圆的左､右焦点，所以抛物线准线为：直线，所以因为是底角为的等腰三角形，则则则，整理得：所以离心率.故答案为：A.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与相交于点，则（）A. B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先根据离心率得出及，从而得到渐近线方程；再设过右焦点且与渐近线平行直线，并与双曲线方程联立解得交点的坐标；接着利用两点距离公式求出，结合双曲线定义得到，最终计算出两线段长度的比值.【详解】已知双曲线离心率，所以：，又，代入得：，故渐近线方程为，取右焦点，并作平行于渐近线的直线：，联立直线与双曲线方程得：，化简：，，分子：，所以，，代入直线方程求：，因此，点位于双曲线右支，故，由双曲线定义，得：，故故选：C8.已知，，，则a，b，c的大小关系正确的一项是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取对数得，设，利用导数判断出函数的单调性可得答案.【详解】因为，，，则，设，则，设，则，当时，，所以在上单调递减，则，所以，即在上单调递增，因为，所以，即，即，所以.故选：D二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列命题正确的有（）A.若，则B.已知函数，若，则C.若，则D.曲线上点P处切线的倾斜角的取值范围是【答案】BC【解析】【分析】利用导数公式求导判断ABC选项，根据导数和倾斜角的关系和正切函数图象判断D选项．【详解】对于A，易得，故A错误；对于B，，令，解得，故B正确；对于C，，则，解得，故C正确；对于D，，即，而，则，故D错误.故选：BC10.为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则（）A.若，则的最小值为3B.点到直线的距离的最小值为C.若存在点，使得过点可作两条相互垂直的直线与圆都相切，则的取值范围为D.过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】利用抛物线的定义，结合几何法可判断A，利用点到直线的距离公式，结合二次函数可判断B，利用切线问题转化为到圆心的距离问题，再结合二次函数可判断C，设，切点，，的斜率为，得到，再得到切点弦直线方程，进而得到直线过定点，即可判断D．【详解】由可得：，焦点，准线方程为，过点作准线的垂线，垂足为，则，故A正确；设抛物线上的动点，则由点到直线的距离公式可得：，故B错误；设存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，圆心,则，即，从而把问题转化为抛物线上存在点P到点的距离为，设，则，即，故C正确；设，切点，，的斜率为，由题意知切线斜率存在，设为，联立得，，即，，原方程为，，所以切线方程为：，即，同理切线方程为：，由于切线与切线相交于点，所以有：与成立，由于切点满足直线方程，即直线方程为：，因为，则，即，所以直线恒过定点，故到直线距离的最大值为，故D正确．故选：ACD．11.如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（）A.数列的通项公式 B.数列的通项公式C. D.【答案】ABD【解析】【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形，则直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得，则，即，则，设，则，，则，可得，即，由，可得，故得，所以数列是以2为首项，以2为公差等差数列，则，故A正确；对于B，，则，故B正确；对于C，因为是等腰直角三角形，其面积，则由平方和公式，可得，故C错误；对于D，因为，，当时，，则，故D正确．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意结合椭圆方程的标准形式列式求解即可.【详解】因为方程表示椭圆，则，解得且，所以实数的取值范围为.故答案为：.13.已知直线与函数的图象相切，则实数_____．【答案】##【解析】【分析】设函数在点处的切线为，根据导数的几何意义列式计算可求得.【详解】设函数在点处的切线为，函数的定义域为.由，得，所以，所以，解得（舍去）或.又，所以切点为，又切点在直线上，所以，解得.故答案为：.14.抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上的另一点反射后，平行于入射光线射出，则______．【答案】【解析】【分析】由已知可求得点，设直线的方程为，联立方程组，可求得，从而可求.【详解】令，得，即.由抛物线光学性质可知直线经过焦点，设直线的方程为，代入，消去得，则，所以，所以.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列的前n项和为，，，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）;（2）．【解析】【分析】（1）利用与的关系得到数列通项的递推关系式，再利用递推关系式构造基本数列求通项公式；（2）利用分组求和法求出.【小问1详解】（1）解：由，得，得，则，因，，所以，满足上式，所以，又，所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列．所以，．【小问2详解】（2）由（1）得所以即．16.已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求的方程；（2）若为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与交于两点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）根据给定条件，得出关于的方程组求解.（2）设出直线的方程，利用韦达定理列出三角形面积的函数关系，再利用基本不等式求出最大值.【小问1详解】由椭圆的离心率为，得，则，由点在，得，联立解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】设直线的方程为，，由消去得，，，则的面积，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为1.17.已知函数，．（1）求函数的单调性；（2）若函数在上单调递减，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）应用分类讨论，利用导数研究的区间单调性，即可解得；（2）将问题化为在上恒成立，再应用导数求右侧的最值求参数范围.【小问1详解】由已知，，，当时，，令的图象开口向下，且，所以时，，即，则在上单调递增，时，，即，则在上单调递减；当时，，则，所以时，，则在上单调递增，时，，则在上单调递减；当时，的图象开口向上，且，或时，，即，则在，上单调递增，时，，即，则在上单调递减．当时，的图象开口向上，且且不恒为0，此时，即，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增；【小问2详解】在上单调递减，时，恒成立，即恒成立，，而，，，，，故a的取值范围是．18.已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）设，记数列的前项和，求证：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）将取倒数，判断数列是等差数列，根据等差数列的通项公式可求数列的通项公式.（2）利用“裂项求和法”求数列的前项和.（3）利用“错位相减法”求数列的前项和，再进行比较判断.【小问1详解】由题设，又，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，可得，故.【小问2详解】由（1）知，所以，则.【小问3详解】由（2）得，则，所以，两式相减得：，即，所以，因为，所以.19.古希腊数学家欧几里得在