2024-2025学年浙江省S9联盟高二下学期期中联考数学试题含答案

2024-2025学年浙江省杭州市S9联盟高二下学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|x2−9<0}，B={y∈R|y=x2−1,x∈R}，则A∩B=()A.{0,1,2}B.{1,2}2.在复平面内，复数z=(2−5i)(−1−2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知A(3,1)，B(1,−2)，C(1,1)，则过点C且与线段AB平行的直线方程为()4.设x∈R，则“x>1”是“x2>x”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数f(x)=(x−2)ex的单调递增区间是()6.椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1、F2，以F1、F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e为()7.正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为()A.B.C.D.8.定理：如果函数f(x)及g(x)满足：①图像在闭区间[a,b]上连续不断；②在开区间(a,b)内可导；③对∀x∈利用该定理解决下面问题：已知f(x)=x2e−x，若存在正数a，b(a<b)，满足f(b)=λln+f(a)，则实数λ的取值范围是()4,4,4,4,4,4,4,4,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S11=110，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是A.a12=a3+a9=20C.sn有最大值D.当sn>0时，n的最大值为2110.已知函数f(x)=sin2x+.则下列结论正确的有()A.f(x)的最小正周期为πB.f()是f(x)的最大值C.把函数y=sin2x的图像上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y=f(x)的图像D.将函数y=f(x)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得图像关于原点对称，则φ的最小值为11.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是()A.棱C1D1上存在一点M，使得AM//平面B1PQB.直线A1C1到平面B1PQ的距离为C.过A1C1且与面B1PQ平行的平面截正方体所得截面面积为D.过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射击一次，那么甲、乙不全击中靶心的概率为.14.已知斜率为1的直线与抛物线y2=4x交于A，B两点，若△OAB的外心为M(O为坐标原点)，则当最大时，|AB|=.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C，a=2，C=.(1)若A=，求c；(2)若△ABC的面积S=3，求b，c.16.(本小题15分)已知数列的前n项和Sn=，数列是正项等比数列，满足b1=a2，b3=a8.(1)求{an}，{bn}的通项公式;bn,(n=2k)17.(本小题15分)(2)设cn=an,(n=2k−1)(k∈N∗)bn,(n=2k)17.(本小题15分)已知函数f(x)=ex−ax−1，g(x)=xlnx.(1)若f(x)存在极小值，且极小值为−1，求a;(2)若f(x)≥g(x)，求a的取值范围.18.(本小题17分)如图，在三棱锥P−ABC中，PB=PC，D为BC的中点，平面PAD⊥平面PBC.(1)证明：AB=AC；(2)若AB⊥AC，AB=2，PA=PD=1，求平面PAB与平面PAC的夹角的余弦值.19.(本小题17分)已知双曲线的实轴长为4，一条渐近线的方程为x，过点的直线l与C的右支交于A，B两点.(1)求C的标准方程；(2)P是x轴上的定点，且∠APB=90°.(ⅰ)求P的坐标；(ⅱ)若△APB的外接圆被x轴截得的弦长为16，求外接圆的面积.参考答案2.B3.C4.A5.D6.B7.C9.BC10.ACD11.BCD故△ABC为等边三角形，所以c=2.16.解：当n≥2时，an=Sn−Sn−1=又n=1时，a1=S1=1，符合an=n，故an=n，n∈N∗,设等比数列{bn}的公比为，则,解得an,n=2k−1bn,n=2kan,n=2k−1bn,n=2k所以T99=+2500=17.解：(1)求导f′(x)=ex−a，令f′(x)=0，则x=lna，因为f(x)存在极小值，且极小值为−1，所以f(lna)=elna−alna−1=−1，所以a=e，经检验，a=e符合题意；(2)由f(x)≥g(x)可得ex−ax−1≥xlnx，因为x>0(lnx中x的定义域为x>0)，移项可得a⩽在(0,+∞)上恒成立，设ℎ(x)=(x>0)，则a⩽ℎ(x)min，由单调性可知ℎ(x)在x=1处取得最小值=e−1，所以a的取值范围是(−∞,e−1].18.(1)证明：因为D为BC的中点，PB=PC，所以BC⊥PD，因为平面PAD⊥平面PBC，平面PAD∩平面PBC=PD，BC⊂平面PBC，所以BC⊥平面PAD，又因为AD⊂平面PAD，所以BC⊥AD，因为D为BC的中点，所以AB=AC；(2)解：如图，取AD的中点O，连接PO，因为PA=PD，所以PO⊥AD，由(1)BC⊥平面PAD，BC⊂平面ABC，所以平面PAD⊥平面ABC，因为平面PAD∩平面ABC=AD，PO⊂平面PAD，PO⊥AD，所以PO⊥平面ABC，如图，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，过点A且与PO平行的直线为Z轴，建立空间直角坐标系A−xyZ，因为AB⊥AC，AB=AC，AB=2，D为BC的中点，所以AD=BC=2，因为PA=PD=1，所以PA2+PD2=AD2，所以PA⊥PD，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(,,)，所以设平面PBA的一个法向量为-=(x1,y1,Z1)，设平面PAC的一个法向量为-=(x2,y2,Z2)，设平面PBA与平面PAC的夹角为θ,平面PAB与平面PAC的夹角的余弦值为19.解：(1)因为C的实轴长为2a，渐近线方程为y=±x，所以c的标准方程为−=1；(2)P是x轴上的定点，且∠APB=90∘,故直线斜率不为0，设直线l的方程为x=my+6，设A，B两点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立化简得，(m2−2)y2+12my+32=0，y1y2=<0y1y2=<0所以y1+y2=，y1y2=.2−t,y2)，=(m2+1)y1y2+(6−t)m(y1+y2)+(6−t)2所以(6−t)2解得t=2，所以P的坐标为(2,0);(3)因为PA⊥PB，所以△APB外接圆是以AB为直径的圆，记为圆T，因为△APB外接圆被x