2022年上海梅川中学高一数学文月考试卷含解析

2022年上海梅川中学高一数学文月考试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

2x（x>0,

1.已知函数若/（，）+〃1）=°,则实数a的值等于

A.-3B.-1

参考答案：

A

2.已知3,b均为单位向量，其夹角为6,有下列四个命题:

Pi：a+6>l=

其中真命题是（

丹・73C.Pi,P4

D.4・04

参考答案:

3.已知边长为a的菱形AECD中,ZABC=60°,将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a,则三

棱锥D-ABC的体积为()

a3a3V3a3V2a3

A.6B.12c.12D.12

参考答案：

D

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

【分析】三棱锥B-ACD是一个正四面体.过B点作BO_L底面ACD,则点。是底面的目

心，由勾股定理求出B0,由此能求出三棱锥D-ABC的体积.

【解答】解：•・•边长为a的菱形ABCD中,ZABC=60°,将该菱形沿对角线AC折起,使

BD=a,

・•・由题意可得：三棱锥B・ACD是一个正四面体.如图所示：

过B点作BO_L底面ACD,垂足为0,

则点。是底面的中心,

2VI

=32

在Rt^ABO中,

••・三棱锥D-ABC的体枳V=7XSaacdXB0

11V6G

-xy—xyaX——axy——a77^

=3223=12.

故选:D.

4.已知3"xJ100,［x］表示不超过x的最大整数，则［x］=()

A.2B.3C.4D.5

参考答案：

B

【考点】函数的值.

【分析】由f(x)=3斗4在R上也是增函数,f(3)=54<100,f(4)=145>100,由此

能求出口］.

【解答】解：因为函数y=『与y=x，在R上都是增函数，

所以f(x)=3"x3在R上也是增函数.

又因为f(3)=54<100,f(4)=145>100,3'+x3=100,

所以3<x<4,

所以［x］=3.

故选：B.

5.在△A8C中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是()

AA=1O,J=45°,C=7O°

B〃=45q=4&A=6O°

ra=14力=16,4=45。

Da=7，=5./=8O°

参考答案：

BC

【分析】

本题中d项可确定三角度数的大小，故只有一解；6项中通过正弦定理求出来的满足题意

的角C有两个，故有两解；C项中通过正弦定理求出来的满足题意的角片有两个，故有两

解；0项中通过正弦定理求出来的满足题意的角8仅有一个，故有一解，最后即可得出答

案。

【详解】选项/：因为4=45?、C70?,所以笈二65\三角形的三个角是确定的值，故

只有一解；

选项6：由正弦定理可知击一右，即由.C<1,所有角C有两解；

选项c：由正弦定理可知&=$，即如/＜而A＜1,所以角3有两解；

选项〃:由正弦定理可知力=言,即痴/＞血员所以角方仅有一解，

综上所述，故选BC。

【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考杳了解三角形的相关性质，解三角形题

目解出的结果有两解的可能情况为在三角和为1时的前提下通过正弦定理求出来的知的大

小有两种可能，考查推理能力，是中档题。

6.

与不共线的三个点距离都相等的点的个数是（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）无数多个

参考答案：

D

7.函数y=3$inx+4c°=+5的最小正周期是（）

A.5B.2C.%D.2%

参考答案：

y=5sin（彳+©+5,T=—=2^r

D解析：1

8.卜列命题中，正确的是（）

A.\a\=\b\^>a=bB.\a\>\b\^>a>b

c.a=b^a//bD.IaI=o=a=o

参考答案：

c

9函数'一/"一石的定义域是（

）

A、（-2*1）Bxc、（一叫一。D、（-°°，2）

参考答案：

B

略

10.下列符号判断正确的是()

A.sin4>0B.cos(-3)>0C.tan4>0D.tan(-3)<0

参考答案：

C

【考点】GC：三角函数值的符号.

【分析】直接根据三角函数值的符号判断即可.

3兀

【解答】解：对于A：Vn<4<2,・・.sin4V0,tan4>0,・・・A不对,C对;

对于B：cos(-3)=cos3,2,/.cos(-3)=cos3V0,tan

(-3)=-tan3>0,.・.B,D不对;

故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.设集合A={工产+1―6=0},B={Wnu:+l=0},则B是A的真子集的一个充分不

必要的条件是.

参考答案：

11

——掰=.一

m=2(也可为3)

12.(3分)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x20时，f(x)=log2(x+1)+m+l,则

f(-3)=.

参考答案：

-2

考点：函数的值.

专题：函数的性质及应用.

分析：根据奇函数性质f(0)=0求得m的值，由f(-3)=-f(3),再由已知表达式

即可求得f(3).

解答：解：f(x)为定义在R上的奇函数,

所以f(0)=m+l=O,

m=-1,

f(-3)=-f(3)=-log2(3+1)=-log2«=-2.

故答案为：・2.

点评：本题考杳利用奇函数性质求函数值，考杳学生计算能力，属基础题.

2

13.各项都是正数的等比数列｝的公比q#l,且02,2^,马成等差数列，则

%+。4

参考答案:

解析：注意到%+%q只要求出q；由已知条件得

2(9)=4+%

...a/=3i(l+q)=/-g-l=0由此解得4=2Va»>0,Aq>0

・・・q

1+75

—2

%+。42V5—1

于是得4+%=1+6

14.圆/+/-4x-"-l°=°上的点到直线工+”14・0的最大距离与最小距离的

差是_________________________

参考答案：

18

15.若/(x)是定义域为R的函数，并且/(x+2)x[1-/(X)]=I+/(x),/(I)=

2+75,则/(1997)=o

参考答案：

&2

16.已知a,户是方程f+2x-7=。的两个根，则.

参考答案：

32

【分析】

由题得a+A的值，再把韦达定理代入,-y"得解.

【详解】由题得a♦生一2a/二一7.

所以Q2-y，=(。+向2-4^=4・2«=32

故答案为：32

【点睛】本题主要考杳一元二次方程的韦达定理的应用，意在考杳学生对该知识的理解学

握水平.

/(x)=

,於)在区间上的最大值记为g(M，则“E)

17.已知[KE+1]

的最大值为:

参考答案：

2

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知函数"©=卬卜,一2|。

⑴求不等式火x)<—1的解集；

(2)若.一N的解集为实数集R,求实数a的取值范围。

参考答案:

-3.*<£-I.

(1)由题可符/(&)=2«-1,-I<i<2,...................................................................2分

3.Q2.

-3<-i»x<-l,

................................................................4分

12i-l<-1,-1<*<2.

解蹲x<0.

所以不等式的解柒为(-8・0).…一~……................................5分

(2)由⑴可蹲

匕/JINI"_I|的解率为R.只高Ia_IIM3.........................................................7分

解福一2或344.

所以实数a的取值能用为(-g,-2]U[%+8).................................................10分

19.设等比数列1小｝的首项为,=2,公比为4(〃为正整数),且满足3.是&4与4的等差

2/-«*&*=出见戏AT)

中项；数列｛仇｝满足2

⑴求数列｛4"的通项公式;

(2)试确定/的值，使得数列｛乩｝为等差数列:

⑶当｛乩｝为等差数列时，对每个正整数是匕在.与之间插入0个2,得到一个新数

列｛C｝,设。是数列｛C"的前〃项和，试求满足《=文••的所有正整数机

参考答案：

(1)4=犷；(2)t=3；(3)E=2.

【分析】

(1)由已知可求出9的值，从而可求数列(％)的通项公式；

-tn

(2)由已知可求"2,从而可依次写出4，%,比若数列(冷)为等差数列，则

有“'与=25，从而可确定。的值；

(3)因为q='=.=2,0=4,%=%=2,检验知m=l,3,4不合题意，"=2

适合题意.当E-5时，若后添入的数2=J则一定不适合题意，从而°川必定是数列

｛4｝中的某一项，设JiM.”则2*-y一£+1=0误解，即有W--5都不合题意.故满足

题意的正整数只有m=2.

【详解】解⑴因为6aJ=叼,％,所以面’=82，

解得7.4或『二2(舍)，则g=2

又■=4所以4=配

2n7-tn

?4=------V

.一(£.瓦)力.士友=0H--

(2)由2，得2,

所以”=2/-4*,=16-4/^=12-2/

则由“♦4=2%得4=3

而当4=3时，，=J,由％•-&=2(常数)知此时数列为等差数列

(3)因为q='=q=2,易知m=1不合题意，网=2适合题意

当IWN3时，若后添入的数2=J,则一定不适合题意，从而J必是数列｛4｝中的某

一项，叫

则匚+・T4)+4(l+2-A)

=2**-2+2*U，D=J=2

整理得2'=d=M*+D-1,等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以无解。

综上：符合题意的正整数■=2.

【点睛】本题主要考察了等差数列勺等比数列的综合应用，考察了函数单调性的证明，属

于中档题.

20.已知在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为A(cosa,sina),B(2,0),

C(0,2),ae(0,兀).

⑴若画T画，求a的值：

12JF0I?TZ-Fjbi2a

(2)若3,求Mmz的值.

参考答案:

n5

(1)4；(2)9

【分析】

(1)先求出和.』「，然后根据向量模的坐标公式列式可解得lana=l,再得a=I；

155

(2)根据.lri?.4C=-3可得sin2a=-H,再根据原式=sin2a=・”.

【详解】(1)在(2-cosa,-sina)Z^二(-cosa,2-cosa),

由IAB\=\^C\^\M\2=\JCF，

5-4cosa=5-4sina,即tana=l.

又a£(0,兀)，...a=4

(2)AR'^^C=(2-cosa)(-cosa)+(-sina)(2-sina)

=cos2a-2cosa+sin2a-2sina

=2-2(sina+cosa)=-3,

25

.".sina+cosa=3,sin2a=(sina+cosa)2-1=-9,

2sMQhinla2xutO£oxa[xina^cosaj5

l^lanx=疝皿'cosa=sin2a=-9

【点睛】本题考查了平面句量数量积的性质及其运算，以及三角函数化简求值问题，属中

档题.

21.已知圆C:7+/+2r-3=0.

(1)求圆C的半径和圆心坐标；

(2)斜率为1的直线，〃与圆。相交于。、E两点,求AC0E面积最大时直线小的方程.

参考答案：

(1)圆。的圆心坐标为(-L°),半径为2；⑵工-尸+3=°或LjrT=0.

【分析】

（1）将圆C的方程化为标准方程，可得出圆C的圆心坐标和半径；

（2）设直线6的方程为了=**4即*-y+片=°,设圆心到直线6的距离d,计算出

直线w截圆C的弦长IM=2"4一利用基本不等式可得出ACDE的最大值以及等号

成立时对应的〃的值，利用点的到直线的距离可解出实数力的值.

【详解】（1）将圆。的方程化为标准方程得

因此，I员IC的圆心坐标为（T