2026年山东泰安市高三三模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高三三轮检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．若复数，为虚数单位，则（

）A． B． C． D．3．已知圆锥的底面半径为，其内切球的体积为，则圆锥的母线长为（

）A． B． C． D．44．已知中，，则（

）A． B． C． D．5．已知数列满足，则（

）A． B． C． D．6．若将6张互不相同的优惠券分给3名消费者，每名消费者至少分得1张，则不同的分法种数为（

）A．240 B．540 C．630 D．10807．已知在△ABC中，，M为BE与CD的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知是椭圆上异于顶点的任意点，为椭圆的左，右焦点，的内切圆圆心为，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列选项正确的有（

）A．已知，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“”的充要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．事件A与B相互独立的充要条件是D．已知等比数列的公比为q，则“”是“是单调递增数列”的必要不充分条件10．已知在三棱锥P-ABC中，，为边长为m的正三角形，则下列选项正确的是（

）A．PA与底面ABC所成角的正弦值为B．的取值范围为C．点B在平面PAC的射影H在直线PA上D．当时，三棱锥外接球的球心O与点P在平面ABC的异侧11．已知函数则下列选项正确的是（

）A．是偶函数 B．在上单调递减C．的极值点为 D．在上有且仅有4个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在的展开式中，的系数为______．13．已知双曲线的离心率为2，为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则_______．14．已知函数的导函数，的部分图象如图所示，点M是图象与x轴的一个交点，点D为图象在M左侧的第一个最低点，过M作直线l与图象交于B，C两点，若直线l的斜率，的最小值为8，则_______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)数列满足求数列的前2n项和．16．如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，．(1)证明：；(2)求D到平面MOB的距离．17．已知函数在处的切线方程为．(1)求a，b；(2)证明：．18．已知平面内的动点到点的距离与到直线的距离之比为，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)（i）已知点，试在上求一点，使的值最小，并求这个最小值；（ii）已知抛物线，直线不过原点，与抛物线N相交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率分别为，且，与W交于C，D两点，线段CD的中点为G，求G的轨迹方程．19．已知集合．(1)当时，从M中任取两个不同元素，求这两个元素都是偶数的概率；(2)当时，从M中任取一个元素观测后放回为一次试验，试验9次，记取到元素为奇数的次数为；求满足关于k的不等式（）的整数k的值；(3)已知集合，从Q中任取一个元素观测后放回为一次试验，试验两次，事件A为“两次试验取出元素的积为偶数”，事件B为“两次试验取出元素的和为偶数”，求．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】首先解绝对值不等式得到集合B，再根据交集的定义即可求解.【详解】由得或，解得或，所以或，所以或.2．D【分析】根据共轭复数的定义及模长公式求解即可．【详解】由，则，所以．3．B【分析】根据球的体积得到半径，结合截面图可得答案.【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1，作出截面图如下，因为底面半径为，所以，即,由内切圆的性质可得，即为正三角形，所以圆锥的母线长为.4．A【分析】由已知结合同角三角函数的基本关系求出，，然后结合诱导公式以及和差角公式进行化简即可求解.【详解】因为在中，，，所以，，因为，为锐角，所以，若，则为钝角，又可知，，此时，矛盾，故，则.5．C【分析】根据递推公式求出是等差数列，再求出表达式，求解即可.【详解】已知，所以，因此数列是首项为，公差为的等差数列.则.因此.6．B【分析】根据不同元素的分组分配问题求解，先分组，再分配.【详解】先对6张互不相同的优惠券分组，再分配.按“”分组后再分配，不同的分法种数为；按“”分组后再分配，不同的分法种数为；按“”分组后再分配，不同的分法种数为.所以不同的分法种数为.7．D【分析】利用向量的运算表示出，根据投影向量模长的表达式，结合基本不等式可求答案.【详解】设,因为，所以为中点，,因为三点共线，所以，解得；.,向量在上的投影向量的模为，即，，当且仅当，即时取到最小值.8．C【分析】由方程可知，，可得，，延长与x轴交于点，结合角平分线性质可得，，代入求解即可.【详解】由椭圆方程可知：，，，则，因为点是椭圆上，则，即，可得，且，则，可得，，延长与x轴交于点，因为，即，解得，又因为，，则，可得，即，解得.9．BC【分析】根据向量的夹角公式可判断A；由同角三角函数的平方关系可判断B；根据事件相互独立的定义可判断C；根据等比数列与指数函数的关系可判断D.【详解】对于A，因为，是两个非零向量，所以与的夹角为钝角或，所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件，故A错误.对于B，因为，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确.对于C，根据事件相互独立的定义可知，事件A与B相互独立的充要条件是，故C正确.对于D，当时，若，则，由指数函数的性质可知是减函数，所以“”推不出“是单调递增数列”；若等比数列是单调递增数列，则是增函数，所以且或且，所以“是单调递增数列”推不出“”，所以“”是“是单调递增数列”的既不充分也不必要条件，故D错误.10．ACD【分析】对于A,作平面于点，作垂足分别为点，点，发现的投影在角平分线上，再通过数量关系计算出PA与底面ABC所成角的正弦值；对于B，先使用三角形全等证明为等腰三角形，通过余弦定理把的半角三角函数表达出来，从而得到的取值范围；对于C，通过证明平面平面，又平面平面，从而得到点B在平面PAC的射影H在直线PA上；对于D，通过建立空间直角坐标系来求出球心坐标，由三棱锥外接球的球心O与点P在平面ABC的异侧，求得的取值范围.【详解】对于选项A,如图所示，作平面于点，作垂足点分别为点，点，那么为PA与底面ABC所成角，因为平面，所以，又因为，所以，平面,同理可得平面,所以，,又因为所以，,为全等的两个等腰直角三角形所以，所以，所以，,故，，所以，选项A正确；对于选项B，取中点，由于,所以，,由于所以，，函数在上单调递增；所以，,又,故的取值范围为,所以，选项B错误；对于选项C，取中点,连接，则由A选项可知，在时，,同理可得，由A选项可知，,三角形为正三角形，所以，所以，所以，平面又平面所以，平面平面，又平面平面所以，点B在平面PAC的射影H在直线PA上,故选项C正确;对于选项D,如图以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，那么由于为正三角形，故外心也是重心，设为点,则坐标为，设球心为点，由于平面,所以设坐标为，那么由可得，化简得，即三棱锥外接球的球心O与点P在平面ABC的异侧，则，故选项D正确.11．ABD【分析】对于A，求出定义域，利用偶函数的定义即可判断；对于B，利用导数即可求解；对于C，利用导数与极值点的关系求解即可；对于D，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理判断即可.【详解】由,解得：，所以的定义域为，定义域关于原点对称，由于，所以是偶函数，故A正确；对于B，当时，，则，当时，，所以在上单调递减,故B正确；对于C，当时，令，解得：，当时，令，解得：，综上，的极值点为或,故C错误；对于D，当时，，则不是的零点，当时，由B可知，在上单调递减，则在上单调递增，由于，，当时，，由于，，故在上有唯一零点，由于，当时，，所以在上有唯一零点，所以在上有两个零点，根据偶函数的对称性可得在也有两个零点，综上在上有且仅有4个零点,故D正确.12．【详解】的展开式的通项，令，得，即．13．【分析】根据已知条件求出的长度，进而在和，分别求出和，从而求出即可得解.【详解】因为，一条渐近线方程为，如图，作出符合题意的图形，则，，又，所以，即，，在中，，在中，，所以.14．【分析】根据导函数得出，求点位于图象上且是点左侧的第一个最高点时直线的斜率进而得出的最大值，再根据极化恒等式化简即可求出.【详解】设的最小正周期为，因为，所以，设，当点位于图象上且是点左侧的第一个最高点时，，则，因为直线l的斜率，所以点必在点左侧的第一个最高点的右侧，则的最大值为，因为的最小值为，所以，得，即，得，故.15．(1)(2)【分析】（1）根据的关系及等比数列的定义求解；（2）数列的奇数项及偶数项分别求和即可得解.【详解】（1）当时∴当时，又是等比数列，（2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列，偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列，，.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过面面垂直得到，继而通过平面PAD，最终完成证明（2）建系利用向量法求解或利用等体积法求解【详解】（1）连接PO，BD，如图一所示，，，∵平面平面ABCD，平面平面，平面，平面ABCD，平面ABCD，，又平面PAD，平面PAD，又平面PAD，.（2）由（1）得,又∵O为AD的中点,，,是正三角形，,.法一：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系，则，，设平面MOB的一个法向量为，则即，取，则，，∴点D到平面MOB的距离，∴点D到平面MOB的距离为.法二：连接MD，设点D到平面MOB的距离为h，，，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的，即，，，，∴点D到平面MOB的距离为.17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）先求导数得出切线斜率结合点在切线上及切点在曲线上列式求解；（2）由（1）得，由，得存在，使，从而有，再结合的单调性及零点求得的最小值，通过证得即可证得结论.【详解】（1）由，得，在处的切线方程为，，即，解得，.（2）由（1）知，定义域，，则，，∴存在，使，，即.均在上单调递增，∴在上单调递增,当时，，单调递减；当时，，单调递增.，.，即．18．(1)(2)（i），；（ii）（且）【分析】（1）因为已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比，结合两点间距离公式、点到直线距离公式列出等式，化简得到轨迹的方程。（2）（i）因为轨迹是椭圆，先根据椭圆的第二定义，将转化为点到相应准线的距离，再将进行变形，利用几何意义找到最小值的取得条件，进而确定点的位置；（ii）设直线的方程，与抛物线的方程联立，结合斜率条件得到直线中参数的关系；再将直线与椭圆的方程联立，利用中点坐标公式得到点坐标与直线参数的关系，最后消去参数得到的轨迹方程.【详解】（1）由题意知，P到直线的距离，，整理得.∴轨迹W的方程为.（2）（i）过点作，垂足为.

由题意知，得；.为定点，为直线上的动点，当，即，，三点共线时取得最小值，即；的最小值.此时点的纵坐标为1，则，解得.点在第一象限，.因此，，的最小值为.（ii）如图所示：

设直线的方程为.联立，消去x得；根据韦达定理可得，.，，，，即；，即.直线的方程为.设，，.联立，消去x得；Δ，解得.根据韦达定理得，.为线段的中点，，即.，即；直线不过原点，，即，得.，，.（且）∴点G的轨迹方程为（且）.19．(1)(2)