福建2024年6月高中学业水平合格考数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）一、单选题：本题共19小题，每小题3分，共57分.1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（

）A． B． C． D．3．已知，，则角的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．命题“”的否定为（

）A． B．C． D．5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（

）A． B．C． D．6．（

）A． B．1 C． D．7．学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（

）A．18 B．20 C．22 D．308．在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（

）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心9．已知，则（

）A． B． C． D．10．已知为的边的中点.若，，则（

）A． B． C． D．11．设，则“”是“”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．（

）A． B． C． D．13．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．14．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（

）A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.4215．设3x＝4y＝36，则的值为（

）A．6 B．3C．2 D．116．如果，那么下面不等式一定成立的是（）A． B． C． D．17．把函数的图像上的所有的点向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原的一半，最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍，所得图像的表达式（

）A． B．C． D．18．已知向量，，则在上的投影向量是（

）A． B．C． D．19．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图），现测得药物15分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为12毫克.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（

）A．15分钟 B．分钟 C．18分钟 D．分钟二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.20．已知球的表面积为，则它的体积为__________.21．函数的最大值是_________.22．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________23．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是________.三、解答题：本题共3题，共27分.24．如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点．

(1)求三棱锥的体积(2)求证：∥平面；25．在中，.(1)求B；(2)若的周长为，求边上中线的长.26．已知函数，.(1)若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）；(2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】集合，,所以故选：B2．D【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.【详解】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，由古典概型得，故选：D.3．D【详解】由，，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，可得角的终边位于第四象限.4．B【分析】由命题否定的定义即可得解.【详解】命题“”的否定为.故选：B.5．C【分析】根据函数的单调性和奇偶性的定义，对各个选项中的函数逐一做出判断，从而得出结论．【详解】对于A，，当，，在上单调递减，所以在定义域内不是增函数，故A错误；对于B，，设，是一个偶函数，故B错误；对于C，，如图，由函数的图像可以看出既是奇函数又是增函数，故C正确；对于D，是一个偶函数，故D错误.故选：C.6．C【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】故选：C.7．B【分析】求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比，再列式计算作答.【详解】依题意，该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比为：，所以抽取的高二年级学生人数为.故选：B8．B【分析】根据题意，结合勾股定理，求得，即可求得答案.【详解】如图所示，分别连接，因为平面，可得又因为，利用勾股定理，可得，所以点一定是的外心.故选:B.9．A【分析】根据诱导公式即可求解．【详解】由得所以故选：A10．B【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用，表示出.【详解】由，所以.故选：B11．B【分析】根据二次不等式解法解出，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断．【详解】或，则，，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．12．C【分析】利用二倍角公式，化简求值.【详解】故选：C13．A【分析】根据对数函数及指数函数单调性，比较，，与0，1的大小关系即可得答案.【详解】解：因为，，，所以，，，所以，故选：A.14．D【分析】先分别求出甲地不下雨的概率，和乙地不下雨的概率，再根据独立事件的概率求解.【详解】因为甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，所以甲地不下雨的概率为0.7，乙地不下雨的概率为0.6，所以甲、乙两地都不下雨的概率为故选：D【点睛】本题主要考查独立事件的概率，对立事件的概率，属于基础题.15．D【解析】根据指数式与对数式的互化公式，结合已知和对数的运算性质进行求解即可.【详解】由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，∴＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.故选：D【点睛】本题考查了对数式与指数式的互化公式，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.16．CD【分析】举反例可排除AB，根据二次函数的性质可判断C，利用基本不等式可判断D.【详解】不妨令，，，可排除A与B；对于C，因为函数在上单调递减，且，所以，C正确；对于D，，由基本不等式“”，得,D正确.17．D【分析】本题可根据三角函数的图像变换得出结果.【详解】把函数的图像上的所有的点向右平移个单位，得到，再把所有的点的横坐标缩短到原的一半，得到，最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍，得到，故选：D.18．B【分析】根据向量数量积和模长的坐标运算，结合投影向量定义可求得结果.【详解】，，在上的投影向量为.故选：B.19．D【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入y＝6确定两个自变量的值，差即为有效时间．【详解】设药物燃烧时y关于x的函数关系式为代入（15，12）为，；设药物燃烧后y关于x的函数关系式为代入（15，12）为，∴，∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为；药物燃烧后y关于x的函数关系式为，把y＝6代入,得：x＝7.5，把y＝6代入，得：x＝30，∵30−7.5＝22.5，∴那么此次消毒的有效时间是22.5分钟，故选：D．20．【分析】先计算球的半径，再求体积【详解】设球的半径为R,则故答案为：21．2【分析】化简得到，得到最大值.【详解】，故函数的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了求三角函数最值，意在考查学生的计算能力.22．【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为.所以，所以.23．【分析】由样本数据结合下四分位数的定义求解即可.【详解】将样本数据按从小到大排列可得，，，，又，所以样本数据的下四分位数为，故答案为：.24．(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用锥体的体积公式即直接求解，（2）根据三角形的中位线可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证.【详解】（1）∵平面，所以三棱锥的高为，所以；（2）连接交于，连接，则为的中点，且为的中点，所以中位线//，且平面，平面，所以//平面.

25．(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理，结合二倍角的正弦公式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）根据正弦定理由，因为，所以，即，所以；（2）由（1）可知，而，所以，因此，由余弦定理可知：，因为的周长为，所以有，设边上中点为，所以，由余弦定理可知：，所以边上中线的长.26．(1)，在上单调递增(2)【分析】（1）函数为奇函数，举特例求出的值，再证明函数为奇函数，根据的正负，可观察出在上单调性.（2）由题意可知，而，分，，讨论求解.【详解】（1）∵为奇函数，则，解得.此时，又，又的定义域为，此时为奇函数所以若为奇函数，，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，又为定义在上