北京市顺义区第一中学2025-2026学年第二学期高一年级4月考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市顺义区第一中学2025-2026学年第二学期高一年级4月考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.AB+CFA.AF B.BE C.AE D.−2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=(

)A.1+2i B.−2+i C.1−2i D.−2−i3.已知向量a=(−1,2)，b/​/a，那么向量b可以是A.(−2,−1) B.(−2,1) C.(1,2) D.(1,−2)4.如图，若直角梯形ABCD及其内部各点绕边AB所在的直线旋转360°，则得到的旋转体是(

)A.圆锥

B.圆台

C.圆锥与圆台的组合体

D.圆锥与圆柱的组合体5.已知向量a=2,x,b=−1,1，若a与A.2 B.22 C.26.设a、b是非零向量，则“存在实数λ，使得a=λb”是“a+A.充分必要条件 B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.在▵ABC中，三边长分为5，7，8，则最大角和最小角之和是(

)A.34π B.23π C.8.如图，在▵ABC中，点M是AB上的点且满足AM=3MB，P是CM上的点，且MP=15MC，设AB=A.12a+14b B.39.△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a2+b2−c2=A.底角是π6的等腰三角形 B.等边三角形

C.三边均不相等的直角三角形 D.10.已知点O(0,0)，A(2,1)，B(1,2).若平面区域D由所有满足OP=λOA+μOB(1≤λ≤2,1≤μ≤2)的点P组成，则A.32 B.3 C.6 D.二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.若复数z=1+2ii，则z=

．12.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A13.已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b

14.在▵ABC中，b=10，A=π6①若a=5，则角B的大小为

；②若角B有两个解，则a的取值范围是

．15.阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点A1−1,0，A20,−2，A33,0，A40,4，A5−5,0①对于任意正整数n，An②不存在正整数n，使得An③不存在正整数n，使得三角形AnAn+1④对于任意正整数n，三角形An其中所有正确结论的序号是

．

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知向量a=(3,−1)，b=(2,1)(1)求a⋅(2)求a−2(3)求a与a+b的夹角θ17.在△ABC中，b2+c2−62bc=a2．

(Ⅰ)求cosA的值；18.已知复数z=a+4ia∈R(i为虚数单位)(1)若1−iz是纯虚数，求z(2)若z=5，求a(3)若复数z2在复平面上对应的点位于第二象限，求a的取值范围．19.在▵OAB中，P为边AB上的一点，AP=2PB,OA=6,OB(1)设OP=xa+yb，试求(2)试求OP⋅(3)试求∠BOP的余弦值．20.设▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且asinB=(1)求角A大小；(2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求▵ABC的面积．条件①：a=19，条件②：cosC=13条件③：AB边上的高h=3，a=321.已知三维向量X0=a0,b0,c0,(1)当X0=(2)是否存在i∈N∗,使得Xi=(3)证明：存在k∈N+，当i≥k时，向量Xi=参考答案1.A

2.B

3.D

4.D

5.B

6.C

7.B

8.B

9.A

10.B

11.512.7313.214.π215.①④

16.(1)因为a=(3,−1)，b所以a⋅(2)因为a−2所以a−2(3)因为a+则a⋅又a=3则cosθ=即a与a+b的夹角θ的余弦值为

17.解：(Ⅰ)∵在△ABC中，b2+c2=a2+62bc，

由余弦定理cosA=b2+c2−a22bc，

∴cosA=62bc2bc=618.(1)1−i因为是纯虚数，所以a+4=04−a≠0，解得a=−4所以z=−4+4i．(2)因为z=a+4i，所以z=a−4i，z=(3)因为z=a+4i，所以z2=a+4i2=因为位于第二象限，所以a2−16<08a>0所以a的取值范围为0,4．

19.解：(1)由题意，OP=所以x=13，(2)由(1)可得，OP⋅(3)由(1)可得，OP=cos∠BOP=

20.解：(1)因为asinB=又因为B∈0,π，所以sinB≠0，则sinA=3(2)选①：由余弦定理可得a2=b2+c2选②：因为C∈0,π，cosC=1由正弦定理asinA=此时三角形两角一边确定，故三角形唯一确定，符合题意，又sinB=此时▵ABC的面积S=1选③：因为AB边上的高h=3，所以bsin由余弦定理a2=b2+c2−2bccos故▵ABC唯一，符合题意，此时▵ABC的面积S=1

21.解：(1)∵X∴a1=|1−2|=1，b1=|2−3|=1a2=|1−1|=0，b2=|1−2|=1，a3=|0−1|=1，b3=|1−1|=0，a4=|1−0|=1，b4=|0−1|=1，a5=|1−1|=0，b5=|1−0|=1，可知当i≥2时，向量序列以3为周期循环，循环节为(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)．∵(2026−2)÷3=674⋯⋯2，∴X2026与X4(2)不存在，理由如下：假设存在i∈N∗，使得ai∵ai=|ai−1∴|a不妨设ai−1≥bi−1≥ci−1又|ci−1−ai−1∴ai−1=bi−1故不存在i∈N∗，使得(3)设Mi=max∵ai+1=|ai∴M