部编版五年级数学下册第四单元：《最小公倍数》教案：借助列举活动引导学生掌握找最小公倍数方法落实倍数应用训练培养逻辑思维与表达素养

部编版五年级数学下册第四单元：《最小公倍数》教案：借助列举活动引导学生掌握找最小公倍数方法，落实倍数应用训练，培养逻辑思维与表达素养部编版五年级数学下册第四单元：《最小公倍数》教案：借助列举活动引导学生掌握找最小公倍数方法，落实倍数应用训练，培养逻辑思维与表达素养课题与学情背景信息学科：五年级数学下册（部编版）；课题：第四单元《最小公倍数》；课型：概念与方法新授课。五年级学生已经熟练掌握了倍数的概念，能熟练地找出一个数的倍数（通常列出有限个），理解了倍数是整数倍的关系。他们已经学习了因数和公因数的相关知识，对“公有的”这个概念不陌生，具备初步的观察、比较和归纳能力，会运用列举法。学习本课题可能存在的认知冲突在于：一是从找一个数的倍数，迁移到同时找两个（或多个）数公有的倍数，即公倍数。二是理解“最小公倍数”是所有公倍数中最小的那个（除0外），并且它是唯一的。三是与求最大公因数形成对比后，理解求公倍数时，因为倍数的集合是无限的，所以需要策略性地找出一些（特别是最小的一个）。四是理解最小公倍数在解决“重合”、“相遇”、“周期”等实际问题中的广泛应用。学生的心理预期可能是“又是一种找公有的数”，容易将找公倍数和找公因数的方法混淆，对“最小”的理解停留在直觉，对寻找方法背后的策略（如列举一部分）理解不深。核心素养导向的教学目标知识与技能：理解公倍数和最小公倍数的意义。会用枚举法（列举法）准确找出两个数（几个数）的公倍数和最小公倍数。初步了解用分解质因数或短除法求最小公倍数的方法（可作为拓展）。能在实际问题（如“重合”、“周期”、“拼正方形”等问题）中，识别出需要求最小公倍数的情境，并运用知识解决问题。过程与方法：学生经历“复习倍数的求法→找出两个数的倍数集合（一部分）→寻找两个集合的交集（公倍数）并找出最小的非0公倍数（最小公倍数）→在实际问题中抽象出公倍数模型→尝试运用列举法解决实际问题”的学习过程。重点发展数感和模型思想。在操作和比较中，培养有序思考、归纳概括的能力。学习运用集合图（维恩图）表示公倍数，实现直观理解。情感态度与价值观：在探索最小公倍数的过程中，感受数学方法的严谨性和逻辑性。通过解决实际问题（如发车时间、铺砖等），体会数学在统筹规划、周期计算中的广泛应用，增强学习数学的兴趣和应用意识。培养合作交流、探索反思的学习习惯。教学重难点及突破策略教学重点：理解公倍数和最小公倍数的概念；掌握用列举法求两个数的最小公倍数。理由：这是本节课的核心知识，是后续学习异分母分数加减法（通分）的基础，也常用于解决周期性重合问题。教学难点：理解公倍数的意义；能灵活运用列举法准确、有序地找出两个数的公倍数及最小公倍数；将实际问题准确地抽象为求最小公倍数的问题。原因：倍数的个数是无限的，学生在列举时需要控制范围（一般先分别列出一些倍数，再找共同的）。与找公因数（因数个数有限）相比，方法略有不同，学生可能不适应。应用问题常与“过几天（或几圈）再次同时”、“最小的正方形”等情境有关，需要准确理解题意。突破策略：复习铺垫，引出“公倍数”：快速复习找一个数倍数的方法，通常写出前几个。例如：4的倍数有：4，8，12，16，20，24……6的倍数有：6，12，18，24，30，36……提问：“观察4和6的倍数，哪些数它们俩都有？”引出“公有的倍数”即公倍数的概念。借助集合图，直观呈现：沿用公因数集合图的思路。用一个圆圈代表4的倍数（列出的那些），另一个圆圈代表6的倍数（列出的那些）。两个圆圈重叠部分的数就是它们公有的倍数（公倍数）。引导学生从这些公倍数中找出最小的一个（除0外），引出最小公倍数。归纳定义，强调“最小”：引导学生在公倍数中找到最小的那个（这里显然是12）。明确：两个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个，叫做它们的最小公倍数。引出用符号[4,6]=12表示4和6的最小公倍数是12。创设情境，应用理解：情境一（周期重合）：甲公交站每6分钟发一班车，乙公交站每8分钟发一班车。早上6时两站同时发车，下次同时发车是几时几分？引导学生理解：从同时发车到下次同时发车，经过的时间必须是6和8的公倍数，且要求“下次”，就是求最小的那个公倍数，即[6,8]=24（分钟）。情境二（拼正方形）：用一种长3厘米、宽2厘米的长方形瓷砖，拼成一个正方形（不切割），正方形的边长至少是多少厘米？引导学生理解：正方形的边长必须是2的倍数（一行排几个长方形），也必须是3的倍数（一列排几个长方形），所以边长是2和3的公倍数。要求“至少”，就是求最小的公倍数，即[2,3]=6（厘米）。方法指导，有序枚举：指导学生用列举法求最小公倍数时，可以先分别、有序地写出两个数的一些倍数（一般写6-8个即可，或写到两数乘积的两倍左右），再从两个倍数列表中找出共同的数（即公倍数），最后选出最小的非零公倍数。让学生比较找最大公因数和找最小公倍数的方法异同，加深理解。初步了解快捷方法：在学生掌握列举法后，可以介绍利用分解质因数或短除法求最小公倍数的基本思想作为拓展，但本节课重点仍是掌握列举法理解概念。教学准备与资源描述教师材料：用两个交叠的圆形（维恩图）表示公倍数的图示。标有4和6的倍数集合图的卡片（倍数列到36左右）。几个求最小公倍数的实际问题情境卡片（如发车问题、铺砖问题、周期问题）。列举法求最小公倍数的步骤流程图或表格范例。[4,6]=?4的倍数：4,8,12,16,20,24,28,32,36,...6的倍数：6,12,18,24,30,36,...公倍数：12,24,36,...最小公倍数：12​4的倍数：4,8,12,16,20,24,28,32,36,...6的倍数：6,12,18,24,30,36,...公倍数：12,24,36,...最小公倍数：12​几张写有不同数字对的卡片，用于课堂练习。学生材料（同桌或四人小组一份）：探究学习单：第一部分“我会找倍数（复习）”；第二部分“我发现了‘共同’的倍数！”；第三部分“谁最小？（找最小公倍数）”；第四部分“我来解决问题（应用最小公倍数）”。学具：一些小长方形纸片（长、宽比例可设，如3×2cm的概念图）。学生预习要求：预习课本第68页例1、例2。复习如何找一个数的倍数（如4、6、8的倍数各写几个）。想一想：两个数的倍数中可能会有相同的吗？这些相同的倍数有什么用？教学过程第一环节：情境导入——从“重逢”问题走向数学概念师（创设情境）：“同学们，你们喜欢看运动会吗？在运动场上，两个好朋友小明和小红参加不同的比赛项目。小明跑一圈需要4分钟，小红跑一圈需要6分钟。早上9点整，他们同时从起点出发。请大家想一想，他们下一次同时到达起点，会是几点几分？”（学生思考，可能会有不同的推算方法。）师：“有的同学在画图，有的在列时间表。如果我们尝试用数学的眼光来分析：小明到起点的时间点是哪些？”（引导学生列4的倍数分钟：4，8，12,16,20,24……）“小红到起点的时间点呢？”（6的倍数分钟：6,12,18,24,30……）师：“那么，他们同时到起点的时间，就应该是这两个时间序列中共有的时刻，比如12分、24分……请问，下一次（最早的一次）同时到达的时间是？”生齐答：“12分钟以后。”师：“12这个数，既是4的倍数，又是6的倍数。像这样，两个数‘共有’的倍数，数学上叫做它们的公倍数。其中，最小的那个（除了0），叫做最小公倍数。今天，我们就来研究它！”（板书课题）【设计意图】从学生熟悉的“同时出发、再次相遇”的周期问题导入，使学生感受到学习最小公倍数的现实必要性。问题中的“同时”、“下一次”等词语精准地对应了公倍数和最小公倍数的核心特征。教师引导学生将时间点转化为4和6的倍数，再找出公倍数，最后找到最小的一个作为答案，这个过程自然地引出了公倍数和最小公倍数的概念，体现了数学建模的思想，激发了学生的探究欲。第二环节：探究新知——建构概念，掌握方法步骤一：定义公倍数和最小公倍数，并用集合图直观理解师：“我们刚才找到了4和6的一些公倍数，比如12、24、36……它们既是4的倍数，又是6的倍数。这样的数，我们叫做4和6的公倍数。”师（出示两个相交圆的维恩图）：“和公因数一样，我们可以用集合图来表示它们。请同学们在学习单上，先分别写出4的一些倍数和6的一些倍数（从最小的正整数倍开始，可以多写几个），然后把它们填入相应的圆圈里。看看重叠部分的数有哪些？”（学生操作，填图，完成后交流。教师巡视指导。）师（总结并提问）：“大家看到，重叠部分的数就是它们的公倍数。从这些公倍数中，找出最小的一个（非零），它就是——”生：“最小公倍数，12。”师：“对！我们把公倍数中最小的那一个，叫做这两个数的最小公倍数。4和6的最小公倍数就是12。我们可以用符号这样表示：[4,6]=12，中括号里写两个数，等号后面写它们的最小公倍数。同学们，8和12的最小公倍数是多少？用符号怎么表示？请大家试着找找看。”（学生尝试列举8和12的倍数。8的倍数：8，16，24，32，40，48...12的倍数：12，24，36，48...公倍数：24,48...最小公倍数：24。所以[8,12]=24。学生汇报后教师确认。）步骤二：学习列举法求最小公倍数（规范步骤，注意与公因数对比）师（板书或展示规范步骤）：“像这样，通过先分别列举两个数的倍数（各列一部分），再从这些倍数中找出共同的，最后选出最小的一个，这种方法叫做列举法求最小公倍数。”师：“请大家思考一下，用列举法找最大公因数和找最小公倍数，有什么相同点和不同点？”（引导学生讨论）预设学生回答：“相同点是都要先分别找一个数的因数（或倍数），再找公有的，最后找最大（小）的。”“不同点是：因数个数有限，可以找全；倍数无限，我们只列一部分。”师：“总结得非常到位！因数是有限的，所以找最大公因数时可以完整列举。但倍数是无限的，我们一般先列出一些必要的倍数来找出最小的公倍数。”步骤三：认识互质数和倍数关系下的最小公倍数（特殊情况）师：“请大家试着找出5和7的最小公倍数。”（学生列举：5的倍数：5,10,15,20,25,30,35...7的倍数：7,14,21,28,35...公倍数：35...最小公倍数：35。）师：“5和7的公因数有什么特点？”生：“公因数只有1，它们是互质数。”师：“没错。我们发现，如果两个数是互质数（公因数只有1），那么它们的最小公倍数就是——”生（可能猜出）：“它们的乘积。”师：“对！5×7=35。对于互质数，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。”师：“再请同学们找出6和12的最小公倍数。”（学生很快发现12就是6的倍数。）师：“如果两个数存在倍数关系，比如12是6的倍数，那么它们的最小公倍数就是——”生：“较大的那个数，12。”师：“这两种特殊情况（互质、成倍数关系），可以帮助我们更快地求出最小公倍数。”【设计意图】新知探究层次分明，逻辑清晰。第一步，在具体实例中建立“公倍数”、“最小公倍数”的概念，并用集合图强化直观理解，再通过符号表示进行抽象。第二步，将具体操作归纳为规范的“列举法”步骤，并与“找最大公因数”的方法进行比较，深化学生对两种不同“公有的数”的数学性质（有限与无限）的理解，避免混淆。第三步，引导学生探究两种特殊情况（互质、倍数关系）下最小公倍数的特点，帮助学生形成快速判断的意识和能力，这是对列举法的重要补充和优化。第三环节：巩固练习——分层应用，深化理解基础题（概念辨析与基本方法）：题干：①写出下面每组数的最小公倍数，并用集合图表示（学习单）。8和12的最小公倍数是（），写作[8,12]=()。7和8的最小公倍数是（），写作[7,8]=()。②判断：两个数的公倍数是无限的，但它们的最小公倍数只有一个。（）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。（）预期答案与讲解：①[8,12]=24，[7,8]=56。②第一句对（因为倍数无限，公倍数无限，但最小的正整数公倍数是唯一的）；第二句错（当两个数成倍数关系时，最小公倍数等于较大的数，比如6和12的最小公倍数是12，就等于其中较大的数12，所以不一定“都大”，可能等于其中之一）。教师讲解：“第一题是求最小公倍数和符号表示的基础练习。第二题深化理解公倍数的无限性和最小公倍数的唯一性，以及特殊情况下的范围。”应用题（实际问题建模）：题干：①五年级一班同学排队做操，每行排6人或8人都正好排完。已知全班人数在40到60人之间，这个班可能有多少人？②用一些长6厘米、宽4厘米的长方形纸片铺一个正方形（不切割），拼成的正方形的边长最小是多少厘米？需要多少块这样的长方形纸片？预期思路与点拨：①人数必须是6和8的公倍数。先求6和8的最小公倍数[6,8]=24。公倍数有24，48，72...符合40到60之间的公倍数是48。所以这个班可能有48人。②正方形的边长必须同时是6和4的倍数，即求6和4的最小公倍数[6,4]=12（厘米）。沿着长边：12÷6=2（块），沿着宽边：12÷4=3（块），总共需要2×3=6（块）。教师讲解：“第①题是求‘在一定范围内的公倍数’，是求最小公倍数的变式应用。第②题是典型的‘拼正方形’问题，综合运用最小公倍数和面积（或个数）计算。”挑战题（思维拓展与综合）：题干：①甲、乙、丙三人绕一个圆形广场散步，甲走一圈需要8分钟，乙走一圈需要12分钟，丙走一圈需要15分钟。如果他们三人同时从同一点出发，同向而行，那么至少过多少分钟他们三人再次在起点相遇？②已知A=2×3×5，B=2×5×7，那么A和B的最小公倍数是多少？（此为分解质因数法求最小公倍数埋下伏笔。）教师点拨：①求8、12、15的最小公倍数。可用列举分别的倍数来找公倍数：8的倍数：8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96,104,112,120...12的倍数：12,24,36,48,60,72,84,96,108,120...15的倍数：15,30,45,60,75,90,105,120...发现[8,12,15]=120（分钟）。②A和B的最小公倍数是它们所有质因数的乘积（相同质因数取最高次幂）：2×3×5×7=210。教师讲解：“第①题是求三个数的最小公倍数，拓展了应用范围。第②题初步接触用质因数分解求最小公倍数的方法，作为兴趣拓展。”第四环节：课堂小结——梳理脉络，明确应用师：“同学们，今天我们发现了倍数世界里的一个重要关系——最小公倍数。”（引导梳理）“我们从‘下次同时相遇’的问题出发，找到了两个数（如4和6）共有的倍数，也就是它们的公倍数。在无穷多个公倍数中，我们特别关注最小的一个正整数，就是最小公倍数。我们用符号[a,b]=最小公倍数来表示。”“求最小公倍数，我们掌握了列举法。先分别找倍数（列一些），再找公倍数，最后找最小公倍数。我们还发现了两种可以速算的情况：互质的两个数，最小公倍数是它们的乘积；成倍数关系的两个数，最小公倍数是较大的数。”“最后，我们看到，像‘过几天同时’、‘排成正方形’、‘循环相遇’这类问题，往往都可以通过求最小公倍数来解决。这让我们再次感受到数学在解决实际问题中的力量。”第五环节：作业布置——分层设计，巩固内化必做作业：巩固练习：完成课本练习十七第1、2、3题。概念应用：从生活中寻找或自己编一道可以用求“最小公倍数”解决的实际问题，并解答出来。选做作业（二选一）：思维挑战（拓展应用）：①有一筐苹果，如果7个7个数，或8个8个数，都剩1个，这筐苹果至少有多少个？②两个数的最大公因数是10，最小公倍数是60，其中一个数是20，另一个数是多少？（逆向思维，初步探索最大公因数与最小公倍数的关系）。数学游戏（趣味探究）：“找朋友”游戏。准备一些数字卡片（如4,6,8,12,18,24…），两人或多人玩。规则：每人随机抽一张卡片，轮流说出自己卡片上的数和对方卡片上的数的一个公倍数（或说最小公倍数），说对得分。比一比谁反应快、说得准。作业评价量表（Rubric）：优秀（★★★）：必做作业全对，求最小公倍数过程规范、准确；自编实际问题合理、模型提炼准确；选做作业思路清晰、解答正确，或游戏表现出色。良好（★★）：必做作业基本正确；有自编问题；完成了必做和一项选做。合格（★）：必做作业有少量错误，基本能找出公倍数和最小公倍数；有简单的自编问题但可能不够准确；未尝试选做作业。加油（待改进）：必做作业错误多，找倍数不全、